□翟洪亮

（江蘇省太湖高級中學(xué)，江蘇無錫214125）

圓錐曲線與直線相交的關(guān)聯(lián)問題*
——在章頭圖引領(lǐng)下對2017年全國高考Ⅰ卷（理）20題的探究

□翟洪亮

（江蘇省太湖高級中學(xué)，江蘇無錫214125）

圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值問題是高考中的重點(diǎn)題型，有些圓錐曲線的高考試題看似平常，實(shí)質(zhì)超常，往往蘊(yùn)含漂亮的性質(zhì)，有較大的研究空間和教學(xué)價(jià)值.由章頭圖知圓錐曲線都是由平面去截圓錐的截口而得，故在一種圓錐曲線中具有的性質(zhì)通?？梢灶惐鹊狡渌愋偷膱A錐曲線去.

圓錐曲線；斜率；定點(diǎn)；定值；類比；章頭圖

圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值問題是高考中的重點(diǎn)題型，高考試題是經(jīng)過命題專家組精心命制而成的，有些試題看似平常，實(shí)質(zhì)超常，往往蘊(yùn)含漂亮的性質(zhì)，有較大的研究空間和教學(xué)價(jià)值，需要我們?nèi)ネ诰颍蓤A錐曲線與方程的章頭圖可知，圓錐曲線是由平面去截圓錐的截口而得，故在一種圓錐曲線中具有的性質(zhì)通?？梢灶惐韧茝V到其他類型的圓錐曲線中去.在圓錐曲線與方程的章頭圖的引領(lǐng)下，現(xiàn)對2017年全國高考Ⅰ卷（理）中的一道解析幾何題進(jìn)行探究，與大家進(jìn)行交流．

一、試題呈現(xiàn)

（1）求C的方程；

（2）設(shè)直線l不經(jīng)過P2點(diǎn)且與C相交于A，B兩點(diǎn)．若直線P2A與直線P2B的斜率之和為-1，證明：l過定點(diǎn)．

分析 作為一道高考試題，命題者獨(dú)具匠心，要求考生從所給四點(diǎn)中進(jìn)行選擇，通過甄別，在對橢圓基本性質(zhì)考查的同時(shí)，也進(jìn)行對學(xué)生推理能力和運(yùn)算能力的考查，試題短小精悍，給人留下清新飄逸的感覺，在解題時(shí)用點(diǎn)斜式直線方程求定值，首先要考慮斜率是否存在，具體解法如下.

參考解答（1）由于P3，P4兩點(diǎn)關(guān)于y軸對稱，故由題設(shè)知C經(jīng)過P3，P4兩點(diǎn).

程為+y=1.

（2）當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)其直線方程為y=kx+m(m≠1)，與橢圓C方程聯(lián)立得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0．

設(shè) A(x1,y1)，B(x2,y2)，則即(2k+1)x1x2+(m-1)(x1+x2)=0，將 x1+x2=-代入得 m=-2k-1，此時(shí) Δ=-64k，存在 k使Δ＞0成立．

所以l的方程為y=k(x-2)-1，過定點(diǎn)(2,-1)．

當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，設(shè) A(s,t)，B(s,-t)，由直線P2A與直線P2B的斜率之和為-1，得=-1，解得 s=-2，此時(shí)l的方程為x=2，與橢圓C只有一個(gè)交點(diǎn)，不合題意，舍去．

綜上可得，直線l過定點(diǎn)(2,-1)．

二、探究過程

對于此題，給出多余條件，讓學(xué)生先排除再求解，這種命題風(fēng)格自然想到2009年江蘇省高考第14題：設(shè){an}是公比為q的等比數(shù)列，|q|＞1，令 bn=an+1（n=1,2,…），若數(shù)列{bn}有連續(xù)四項(xiàng)在集合{- 53,-23,19,37,82}中，則6q= __．兩者類似，如出一轍．直線P2A與直線P2B的斜率之和為-1，與直線l的斜率k的取值無關(guān)，故可以不考慮Δ＞0．此題條件簡單，結(jié)論不一般！別解如下.

解：（1）P1(1,1)，P2(0,1)只能有一點(diǎn)在橢圓C上，同理只能有一點(diǎn)在橢圓C上，所以P1(1,1)一定不在橢圓C上．由P2(0,1)在橢圓C上得b=1，由在橢圓C上得a=2，所以橢圓C的方程為

（2）設(shè)直線l過定點(diǎn)D(x0,y0).當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè) A(x1,y1)，B(x2,y2)，直線 l2的 方 程 為y-y0=k(x-x0)，代入+y=1 ，得(4k2+1)x2+8k(y0-kx0)x+4(y0-kx0)2-4=0．故x1+x2=

又因?yàn)閗P2A+kP2B=即(2k+1)x1x2+(y0-kx0-1)(x1+x2)=0，即(x02-2x0)k2+2(y0-1-x0y0)k+(y02-1)=0．

因?yàn)橹本€P2A與直線P2B的斜率之和為-1，與直線l的斜率 k的取值無關(guān)，所以

當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，同參考答案（略）．

綜上可得，直線l過定點(diǎn)(2,-1)．

做完此題，筆者進(jìn)行如下探究．

探究1若直線P2A與直線P2B的斜率之和為定值λ，直線l是否過定點(diǎn)？定值λ與定點(diǎn)的坐標(biāo)之間存在什么關(guān)系？

解 設(shè)直線l過定點(diǎn)D(x0,y0)．當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè) A(x1,y1)，B(x2,y2)，直線l2的方程為y-y0=k(x-x0)，代入+y=1，得(4k2+1)x2+8k(y0-kx0)x+4(y0-kx0)2-4=0．故x1+x2=又因?yàn)閗P2A+kP2B=即(2k-λ)x1x2+(y0-kx0-1)(x1+x2)=0，整理得(-λx2-2x)k2+(2y+2λxy-2)k+(λ-λy2)000000=0．

因?yàn)橹本€P2A與P2B的斜率之和為定值λ，與k的取值無關(guān)，故解得又直線l不經(jīng)過P2點(diǎn)，所以直線l過定點(diǎn)(-,-1)．當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，設(shè) A(s,t)，B(s,-t)，由已斜率之和為定值 λ，得得 s=-，當(dāng) -2＜-＜2時(shí)，即當(dāng)λ＜-1或λ＞1時(shí)，直線l的方程為x=-，也過定點(diǎn) (-,-1)．否則-1≤λ＜0 或0＜λ≤1，直線l與橢圓C不存在兩個(gè)交點(diǎn)，不合題意，舍去．

由上可知，定點(diǎn)是在定直線y=-1上，直線P2A與直線P2B的斜率之和為定值λ是隨著定點(diǎn)D(x0,y0)的橫坐標(biāo)的數(shù)值的變化而改變的，且定值λ=-．

結(jié)論1若直線P2A與直線P2B的斜率之和為定值λ（λ≠0），則直線l經(jīng)過定直線y=-1上的定點(diǎn)(x,-1)，且λ=-．

能否將上述性質(zhì)推廣到一般情況？

證明：設(shè)直線l過定點(diǎn)D(x0,y0)．當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè) A(x1,y1)，B(x2,y2)，直線l的方程為 y-y0=k(x-x0)，代入b2x2+a2y2-a2b2=0，得 (a2k2+b2)x2+2a2k(y0-kx0)x+a2(y0-kx0)2-a2b2=0.故x1+x2=

因?yàn)橹本€PA與直線PB的斜率之和為λ，所以上式成立與k的取值無關(guān)，所以解得或又直線l不經(jīng)過P點(diǎn)，所以直線l過定點(diǎn)

當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，設(shè) A(s,t)，B(s,-t)，由已知斜率之和為定值 λ，得得當(dāng)時(shí)，即當(dāng)或時(shí)，l的方程為x=-，也過定點(diǎn)(-,-b)．否則 -≤λ＜0或0＜λ≤，直線l與橢圓C不存在兩個(gè)交點(diǎn)，不合題意，舍去．

由于點(diǎn)P(0,b)是橢圓的上頂點(diǎn)，位置特殊，因此自然地聯(lián)想到其他頂點(diǎn)時(shí)的情況，通過探究，同樣可得：

（1）若點(diǎn) P(0,-b)，則直線l經(jīng)過定直線y=b上的點(diǎn)D(x0,b)，且

（2）若點(diǎn) P(a,0)，則直線l經(jīng)過定直線x=a上的定點(diǎn)D(a,y0)，且

（3）若點(diǎn)P(-a,0)，則直線l經(jīng)過定直線x=-a上的定點(diǎn)D(-a,y0)，且

由圓錐曲線與方程的章頭圖和章頭語可知，用一個(gè)垂直于圓錐的軸的平面去截圓錐，截口曲線是一個(gè)圓；用一個(gè)不垂直于圓錐的軸的平面去截圓錐，當(dāng)截面與圓錐的軸夾角不同時(shí)，可以得到不同的截口曲線，它們分別是橢圓、雙曲線、拋物線，我們通常把圓、橢圓、雙曲線、拋物線統(tǒng)稱為圓錐曲線．既然圓、橢圓、雙曲線、拋物線都是由圓錐被平面所截，那么它們往往也具有類似的性質(zhì)．橢圓中的上述性質(zhì)在圓、雙曲線、拋物線中是怎樣的呢？

限于篇幅原因，以下探究過程省略．在圓C:x2+y2=r2中，通過探究可得如下結(jié)論：

結(jié)論4已知圓C:x2+y2=r2，設(shè)直線l不經(jīng)過點(diǎn)P，且與C相交于A，B兩點(diǎn)．若直線PA與直線PB的斜率之和為定值λ（λ≠0）．

（1）若點(diǎn) P(0,r)，則直線l經(jīng)過定直線y=-r上的定點(diǎn)D(x0,-r)，且

（2）若點(diǎn)P(0,-r)，則直線l經(jīng)過定直線y=r上的定點(diǎn)D(x0,r)，且

（3）若點(diǎn) P(r,0)，則直線 l經(jīng)過定直線x=r上的定點(diǎn)D(r,y0)，且

（4）若點(diǎn) P(-r,0)，則直線l經(jīng)過定直線x=-r上的定點(diǎn)D(-r,y0)，且

（1）若點(diǎn) P(a,0)，則直線l經(jīng)過定直線x=a上的定點(diǎn)D(a,y0)，且

（2）若點(diǎn) P(-a,0)，則直線 l過定直線x=-a上的點(diǎn)(-a,y0)，且

在拋物線y2=2px (p＞0)中通過探究，可得如下結(jié)論：

結(jié)論6已知拋物線y2=2px (p＞0)的頂點(diǎn)為P，設(shè)直線l與C相交于A，B兩點(diǎn)．若直線OA與直線OB的斜率之和為定值λ（λ≠0），則直線l經(jīng)過定直線x=0上的定點(diǎn)D(0,y0)，且

*本文系江蘇省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃課題“對高中數(shù)學(xué)教科書中章頭圖和章頭語的教學(xué)研究”〔課題編號：B-b/2016/02/118〕的研究成果.