云南省大理第一中學(xué) 王永生 (郵編：671003)

行到水窮處 坐看云起時(shí)
——一道解析幾何填空題的教學(xué)隨想

云南省大理第一中學(xué) 王永生 (郵編：671003)

解數(shù)學(xué)題是對(duì)學(xué)生個(gè)性品質(zhì)的歷練.通過(guò)一道解析幾何填空題的教學(xué),從“識(shí)以領(lǐng)之,方能中鵠;仰之彌高,鉆之彌堅(jiān)和入乎其內(nèi),出乎其外”三個(gè)方面就“行到水窮處,坐看云起時(shí)”心境的形成進(jìn)行了論述.

解析幾何;習(xí)題教學(xué);教學(xué)隨想

每周,筆者都有請(qǐng)學(xué)生上臺(tái)講評(píng)本周學(xué)習(xí)中疑難問(wèn)題的習(xí)慣.一般利用晚自習(xí)時(shí)段,就一兩道典型問(wèn)題進(jìn)行深度學(xué)習(xí).結(jié)果,下面的試題讓筆者大跌眼鏡.

試題 已知拋物線y2＝4x上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)B、C和點(diǎn)A(1,2),且∠BAC＝90°,則動(dòng)直線BC必過(guò)定點(diǎn)______.

全班無(wú)一人能作答.照例,只好筆者親自出馬了.由于筆者事先也未做任何準(zhǔn)備,可以說(shuō)有些倉(cāng)促上陣.雖然一波三折,但是結(jié)果還算圓滿,過(guò)程也異常精彩.

圖1

1 識(shí)以領(lǐng)之,方能中鵠

教師講題不應(yīng)該只講怎么做,更應(yīng)該要講清楚為什么這么做.即要教會(huì)學(xué)生“知其然,更知其所以然.”基于此,筆者引導(dǎo)學(xué)生開(kāi)始了下面的解題之旅.

教師：要求動(dòng)直線BC恒過(guò)的定點(diǎn),由圖1可知,直線BC可以垂直于x軸,則可從這一特殊情形入手.不妨設(shè)定點(diǎn)P的坐標(biāo)為 (x0,y0),由對(duì)稱性可知B(x0,2),C(x0,－2),于是由∠BAC＝90°可知AB⊥AC,那要如何將此條件坐標(biāo)化,轉(zhuǎn)化為關(guān)于x0的方程呢?

學(xué)生1：可利用斜率公式由kAB·kAC＝－1進(jìn)行轉(zhuǎn)化;也可以轉(zhuǎn)化為平面向量的數(shù)量積,即＝0進(jìn)行計(jì)算.

教師：請(qǐng)大家選擇一種方式求出x,并請(qǐng)同學(xué)1上臺(tái)板演求解過(guò)程.

教師：此時(shí)可以肯定定點(diǎn)的橫坐標(biāo)為5,但在此特殊情況下又該如何確定其縱坐標(biāo)呢?

學(xué)生：……

教師：若能確定,由于該題是填空題,則可完成求解.可一時(shí)卻不易找到方法.為此,還得從一般情形考慮.

當(dāng)動(dòng)直線BC斜率存在時(shí),若能得到其點(diǎn)斜式方程y－y0＝k(x－x0),則可確定其恒過(guò)定點(diǎn)(x0,y0),此為最終要達(dá)到的目標(biāo),也是問(wèn)題求解的方向所在.那應(yīng)從何入手呢?

學(xué)生：…….(稍作思考)

至此,題已解完.請(qǐng)同學(xué)們歸納一下解題的基本程序,并指出其關(guān)鍵點(diǎn).

學(xué)生2：先討論特殊情形,即動(dòng)直線BC垂直于x軸的情形,初步確定定點(diǎn)的橫坐標(biāo)為5;后再討論動(dòng)直線BC斜率存在的情形.

學(xué)生3：一開(kāi)始有些束手無(wú)策,現(xiàn)在已初步清楚恒過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題的解決辦法,但作為一道填空題,如果不具備一定的解題經(jīng)驗(yàn),成功解題是否用時(shí)太多?

教師：整個(gè)求解過(guò)程,思路很清晰,但答題過(guò)程確實(shí)有些麻煩.但平時(shí)學(xué)習(xí)應(yīng)不同時(shí)于考試,正所謂“學(xué)如弓弩,才如箭簇,識(shí)以領(lǐng)之,方能中鵠.”就是說(shuō)“學(xué)問(wèn)的根基如弓,人的才能如箭,學(xué)識(shí)引導(dǎo)箭頭射出,才能命中目標(biāo).”也就是說(shuō),成功解題需要具有一定的學(xué)問(wèn)和才能,但見(jiàn)識(shí)也很重要.平時(shí)學(xué)習(xí)應(yīng)注重學(xué)問(wèn)和才能的提升,更重要的是還要不斷增長(zhǎng)見(jiàn)識(shí),考試時(shí)方能更好地命中目標(biāo).

確實(shí),對(duì)此填空題,以上解法有小題大做之嫌,能否小題小做呢?

此時(shí),剛好下晚自習(xí),整題的講評(píng)歷時(shí)近40多分鐘.和往常一樣,筆者仍然留下了一個(gè)問(wèn)題,一方面是啟發(fā)學(xué)生進(jìn)一步進(jìn)行思考,另一方面是為后面的講評(píng)埋下伏筆.

2 仰之彌高,鉆之彌堅(jiān)

晚自習(xí)后回到家,筆者對(duì)所留的問(wèn)題繼續(xù)進(jìn)行思考,并查閱了一些資料,直到深夜兩點(diǎn)多才沉沉睡去.第二天早上的數(shù)學(xué)課,筆者將所研究的結(jié)果和學(xué)生進(jìn)行了下面的分享.

教師：昨晚下自習(xí)后有同學(xué)繼續(xù)研究此題的求解了嗎?

學(xué)生：(齊生回答)沒(méi)有.

教師：學(xué)習(xí)應(yīng)該要趁熱打鐵,否則就會(huì)事倍功半,難以達(dá)到應(yīng)有的效果.

學(xué)生：其它學(xué)科作業(yè)還有很多,已無(wú)暇顧及了.

教師：那好.現(xiàn)在我們一起來(lái)思考.此題求解要怎樣才能實(shí)現(xiàn)小題小做呢?

可另尋它途,繼續(xù)探索簡(jiǎn)便解法;也可將其一般化,得到統(tǒng)一的結(jié)果后直接代入結(jié)論求解.我選擇的是后者.

一般地,若拋物線y2＝2px上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)B、C和定點(diǎn)A(x0,y0)滿足 ∠BAC＝90°,則動(dòng)直線BC必過(guò)定點(diǎn).

此時(shí)應(yīng)怎樣思考和解決該問(wèn)題呢?

學(xué)生：可同試題的解法,分直線BC的斜率存在和不存在兩種情況進(jìn)行討論.

教師：很好,請(qǐng)同學(xué)們現(xiàn)在完成,學(xué)生4上臺(tái)板演解答過(guò)程.

學(xué)生4：……(過(guò)程略)

教師：據(jù)此可知?jiǎng)又本€必過(guò)定點(diǎn)2p＋x0,－y0(),于是,不難得前面試題的答案為 5,－2( ).可見(jiàn),站在巨人的肩膀上可以很好地現(xiàn)實(shí)小題小做.當(dāng)然,如果是解答題,還得嚴(yán)格推理,規(guī)范作答,切不可大題小做.此題還可進(jìn)行如下解答.

(另法1)設(shè)B(x1,y1),C(x2,y2)為拋物線上任意兩點(diǎn),因?yàn)锳B⊥AC,所以

(x0－x1)(x0－x2)＋(y0－y1)(y0－y2)＝0,即 (y20－y21)(y20－y22)＋4p2(y0－y1)(y0－y2)＝0.

又因 為y0、y1、y2互 不 相 等,所 以 (y0＋y1)(y0＋y2)＝－4p2,

整理,得y1y2＝－4p2－(y1＋y2)y0－2px0

所以此直線BC恒過(guò)定點(diǎn)(2p＋x0,－y0),當(dāng)x1＝x2時(shí),結(jié)論也成立.

(另法2)設(shè)直線BC的方程為x＝my＋n,點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別為(x1,y1)、(x2,y2).

所以 (y1－y0)(y2－y0)＝0或 (y1＋y0)(y2＋y0)＋4p2＋2px0－y20＝0.

所以n＝－my0＋x0或n＝my0＋2p＋x0,又△＞0恒成立,從而n＝my0＋2p＋x0,直線BC的方程為x－(2p＋x0)＝m(y＋y0),故直線BC過(guò)定點(diǎn)(2p＋x0,－y0)

不難看出,另法2的做法可有效避免進(jìn)行討論,其關(guān)鍵是設(shè)BC的方程為x＝my＋n.

定點(diǎn)問(wèn)題的主要類型是動(dòng)直線恒過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題.解決此類問(wèn)題一般理論依據(jù)是直線的點(diǎn)斜式方程或斜截式方程.其求解方法一般有兩種,通法的解題步驟為：

第一步,根據(jù)運(yùn)動(dòng)變化產(chǎn)生的原因引入?yún)⒆兞?建立形如F(x,y,k)＝0(k為參變量)的等量關(guān)系;

第二步,分離參變量,得到形如f(k)g(x,y)＋h(x,y)＝0的方程;

第四步,將定點(diǎn)坐標(biāo) (x0,y0)代入原式檢驗(yàn),下結(jié)論.

當(dāng)然,也可通過(guò)特殊情況先找到這個(gè)定點(diǎn),明確解決問(wèn)題的方向后,再進(jìn)行一般性的證明,即所謂的特殊探路,一般證明.這兩種方法中,通法思路清晰,但一般運(yùn)算量較大,對(duì)運(yùn)算能力要求較高;而特法的關(guān)鍵是先獲得定點(diǎn)的坐標(biāo)或方向,運(yùn)算量相對(duì)較小,但對(duì)幾何直觀和分析問(wèn)題能力要求較高.于是,在具體解決問(wèn)題時(shí)應(yīng)靈活進(jìn)行選擇.的直線與橢圓交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為A′,求證：直線A′B恒過(guò)定點(diǎn).

說(shuō)明 作為解答題,此題可用通法證明,也可使用特法,過(guò)程略,答案為(4,0).

教師：通過(guò)今天的探索,同學(xué)們又有何感想呢?

學(xué)生5：解完一道題后,不能就此結(jié)束,還應(yīng)該進(jìn)一步進(jìn)行深入研究.若是選擇題,可養(yǎng)成“小題應(yīng)小做”的習(xí)慣.不斷優(yōu)化解法,在“一題多解”和“多題一解”中真正提高解題能力.

教師：確實(shí),對(duì)于一些有價(jià)值的數(shù)學(xué)問(wèn)題,同學(xué)們應(yīng)“仰之彌高,鉆之彌堅(jiān).”即“努力攻讀,深入研究,力求達(dá)到極高水平.”如此,方能真有所學(xué).

3 入乎其內(nèi),出乎其外

至此,此題的講評(píng)才結(jié)束,而早上的兩節(jié)數(shù)學(xué)課在不知不覺(jué)中也搭了進(jìn)去.雖然仍有些許的疲憊,可筆者心底卻無(wú)比的暢快,真有一種“入乎其內(nèi)”且“出乎其外”的感覺(jué).

3.1 教學(xué)的藝術(shù)在于對(duì)時(shí)機(jī)的把握

如往常一般,此題如果只是完成第一時(shí)段的教學(xué)而沒(méi)有第二天的跟進(jìn),那么就會(huì)錯(cuò)失解析幾何中恒過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題突破的契機(jī),這樣學(xué)生只會(huì)學(xué)到此類問(wèn)題求解的一些招式,從而難以形成體系.如果再次碰到類似問(wèn)題,學(xué)生仍會(huì)束手無(wú)策,或者因畏難而不情愿的放棄.于是總會(huì)有老師認(rèn)為已經(jīng)講過(guò),學(xué)生就應(yīng)該能做對(duì)的愿景.可事實(shí)是,如果沒(méi)有講清楚,學(xué)生一知半解,這在教學(xué)中仍然是后患無(wú)窮的.事實(shí)上,教學(xué)的藝術(shù)在一定程度上就是對(duì)教學(xué)時(shí)機(jī)的把握.首先,沒(méi)有學(xué)生上臺(tái)講評(píng)就已經(jīng)說(shuō)明學(xué)生真的不會(huì)求解此類問(wèn)題,此時(shí)教師就該挺身而出,給學(xué)生一些解題的示范.正所謂“不憤不啟,不悱不發(fā).”即“不到他努力想弄明白而不得的程度不要去開(kāi)導(dǎo)他;不到他心里明白卻不能完善表達(dá)出來(lái)的程度不要去啟發(fā)他.”這就是對(duì)時(shí)機(jī)的把握.其次,通過(guò)第一時(shí)段的講評(píng),對(duì)于一般的問(wèn)題,教學(xué)也就到此結(jié)束了.而且,一般情況下,第一時(shí)段的講評(píng)耗時(shí)已經(jīng)過(guò)多,學(xué)生在心里早放棄了學(xué)習(xí).所以,此時(shí)不宜再進(jìn)一步進(jìn)行后面的教學(xué),而是讓學(xué)生課后再“悟”一下,同時(shí)提出思考問(wèn)題,為后續(xù)教學(xué)埋下伏筆.最后,在教學(xué)的第二時(shí)段安排了三個(gè)訓(xùn)練題,讓學(xué)生認(rèn)真體會(huì)兩種方法的選擇,從而徹底掌握此類問(wèn)題的求解.

前段時(shí)間對(duì)于微專題教學(xué)的討論非常熱烈,其關(guān)鍵是微專題的選擇和教學(xué)時(shí)機(jī)的把握.若能將此教學(xué)方式借機(jī)融入常規(guī)教學(xué)中,定能發(fā)揮其更為強(qiáng)大的作用.

3.2 讓深度學(xué)習(xí)真實(shí)地發(fā)生

“深度學(xué)習(xí)是指在理解學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上,學(xué)習(xí)者能夠批判性地學(xué)習(xí)新的知識(shí)和思想,并將新的知識(shí)和思想融入已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中,能夠在眾多的思想間進(jìn)行聯(lián)系并能夠?qū)⒁延械闹R(shí)遷移到新的情境中,作為決策和解決問(wèn)題的一種學(xué)習(xí)方式.”現(xiàn)在的學(xué)生平時(shí)作業(yè)普遍較多,每天為完成各科作業(yè)而疲于奔命,根本無(wú)暇進(jìn)行深度學(xué)習(xí).而數(shù)學(xué)學(xué)科的學(xué)習(xí)如果不進(jìn)行深度的思考和訓(xùn)練的跟進(jìn),則很難把握實(shí)質(zhì).為此,這就需要教師善于把握時(shí)機(jī),在一些有價(jià)值的問(wèn)題上舍得花時(shí)間,引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深度學(xué)習(xí),讓學(xué)生真實(shí)感受到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂(lè)趣.

深度學(xué)習(xí)是學(xué)習(xí)內(nèi)容、學(xué)習(xí)方式、學(xué)習(xí)時(shí)空和學(xué)習(xí)工具走向多元化的一種學(xué)習(xí),因此,學(xué)習(xí)的多元化將成為深度學(xué)習(xí)效果的一項(xiàng)衡量標(biāo)準(zhǔn).

前面的試題對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)確實(shí)是一個(gè)難題,在學(xué)生事先已經(jīng)進(jìn)行過(guò)思考的基礎(chǔ)上,教師的講評(píng)必不可少.為此,在引導(dǎo)學(xué)生完成解答后,還應(yīng)讓子彈在學(xué)生的腦海中再飛一會(huì)兒.而后及時(shí)提出問(wèn)題,進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深度學(xué)習(xí).后繼學(xué)習(xí)學(xué)生確實(shí)很難獨(dú)立完成,此時(shí)如果教師缺位,則學(xué)習(xí)效果將會(huì)很差.所以在學(xué)生學(xué)習(xí)的過(guò)程中,要讓深度學(xué)習(xí)能夠真實(shí)地發(fā)生,教師的引導(dǎo)作用切不可忽視,只要做到既不缺位也不越位就好.當(dāng)然,課前的研究與探索、課堂上的學(xué)習(xí)與交流和課后的鞏固與提高應(yīng)是深度學(xué)習(xí)必不可少的環(huán)節(jié).而這與翻轉(zhuǎn)課堂的理念也是相一致的.

3.3 為伊消得人憔悴

每個(gè)數(shù)學(xué)老師都可能有過(guò)這樣的體驗(yàn),睡前切不可再思考問(wèn)題,否則極有可能徹夜難眠,或是半夜還在睡夢(mèng)中解題.

下晚自習(xí)回家后,筆者進(jìn)一步的思考確實(shí)很有成效.可后果就是當(dāng)夜難以入眠,只好半夜讀起《萬(wàn)歷十五年》,直到看完《世間已無(wú)張居正》一章后才慢慢睡去,第二天完成教學(xué)任務(wù)后,人已十分憔悴,可心底卻還是十分的滿足.這幾乎是每個(gè)高中數(shù)學(xué)教師工作的基本狀態(tài),雖然說(shuō)古今成大事的第二層境界是“為伊消得人憔悴,衣帶漸寬終不悔.”可個(gè)中滋味又有誰(shuí)能體會(huì)呢?

教學(xué)需要精心預(yù)設(shè),更期待精彩的生成.可在教學(xué)時(shí),更需要善于抓住時(shí)機(jī),順勢(shì)而為.此時(shí),對(duì)教師的要求更高,而且為完成教學(xué),可能還要付出一定的代價(jià).正所謂“行到水窮處,坐看云起時(shí).”“其實(shí),山水本身并不能感染人,感染人的是那份徜徉于山水間的情懷.‘行到水窮處,坐看云起時(shí)’的情懷是獨(dú)到的,不僅僅是一般的閑適,而是一種深刻的禪理境界.”解數(shù)學(xué)題是如此.“行到水窮處”是常態(tài),可并不是每個(gè)人都有“坐看云起時(shí)”的心境,而這恰恰需要一定的歷練.所以需要通過(guò)解題對(duì)學(xué)生的個(gè)性品質(zhì)進(jìn)行培養(yǎng).即使學(xué)生具有一定的數(shù)學(xué)視野,認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值和人文價(jià)值,崇尚數(shù)學(xué)的理性精神,形成審慎的思維習(xí)慣,體會(huì)數(shù)學(xué)的美學(xué)意義.

而人生境界又何嘗不是如此.在人生的不同時(shí)期,都會(huì)有“行到水窮處”的可能,屆時(shí),學(xué)生方能真正體會(huì)并達(dá)到“坐看云起時(shí)”的境界.

2017-09-18)