錯(cuò)在哪里

1 江蘇省海州高級(jí)中學(xué)

蔣新龍 (郵編：200922)

解法錯(cuò)了!錯(cuò)在哪里?

不妨讓我們先來看看正確解法：

為什么兩種方法能得到兩個(gè)不一樣的最小值呢?

首先此題不管是錯(cuò)解還是正解的本質(zhì)都是運(yùn)用不等關(guān)系減元,錯(cuò)解中將所求z看作雙變量x＋y和x的表達(dá)式,兩次運(yùn)用不等關(guān)系減元,分別去掉變量x＋y和x,從而得到最小值1.正解中將所求z看作雙變量x和y的表達(dá)式,兩次運(yùn)用不等關(guān)系分別去掉變量x和y,從而得到最小值－.兩者本質(zhì)上沒有區(qū)別,為什么會(huì)出現(xiàn)

答案不一樣的最小值呢?出現(xiàn)錯(cuò)誤的原因是什么呢?

我們可以畫出條件所確定的可行域,記點(diǎn)(x,y)為P,條件所確定的可行域?yàn)閳D中陰影部分,

正解中第一個(gè)不等關(guān)系在去掉變量x的同時(shí)等號(hào)成立條件“x＝y(tǒng)＋1”將點(diǎn)P限制在射線BC上運(yùn)動(dòng),由此可得另一個(gè)變量y的范圍為[0,＋∞)(與實(shí)際范圍一致),進(jìn)而可得在點(diǎn)D(,而錯(cuò)解中第一個(gè)不等關(guān)系在減掉變量x＋y的同時(shí)等號(hào)成立條件“x＋y＝1”將點(diǎn)P限制在射線BA上運(yùn)動(dòng),由此可得另一個(gè)變量x的范圍為(－ ∞,1](變量x的實(shí)際范圍為R),縮小了題中變量x的范圍,進(jìn)而可得在點(diǎn)B(1,0)取得最小值1(比實(shí)際最小值大).即錯(cuò)解中第一個(gè)不等關(guān)系成立條件縮小了減元后關(guān)系式中留元x的范圍,使得實(shí)際最小值條件不可取,從而最小值變大.所以我們?cè)谶\(yùn)用不等關(guān)系減元的同時(shí),要關(guān)注留元的范圍.實(shí)際上,如果將此題所求改為z＝＋2y,則兩種方法均可得到最小值1.

別解

2 新疆生產(chǎn)建設(shè)兵團(tuán)第二中學(xué)

張麗娟 張國治 (郵編：830002)

題目 (王廣祥.課堂新坐標(biāo)高中同步導(dǎo)學(xué)案數(shù)學(xué)必修1[M].大連理工大學(xué)出版社2017(4)第96頁第8題)

已知x、y∈ (0,1),若lgx＋lgy＝lg(x＋y),則lg(1－x)＋lg(1－y)＝ .

解析 (該資料提供的標(biāo)準(zhǔn)解答)

lg(x＋y)＝lgx＋lgy＝lg(xy)?x＋y＝xy,故lg(1－x)＋lg(1－y)＝lg[(1－x)(1－y)]＝lg(1－x－y＋xy)＝lg1＝0.

題目錯(cuò)了!錯(cuò)在哪里?

上述題目及解答似乎無懈可擊,但卻犯了一個(gè)致命的錯(cuò)誤,即符合題意的x、y是否存在?出題者在編擬試題時(shí)有心理上的“潛在假設(shè)”,即認(rèn)為符合題意的x、y是存在的,但實(shí)際上本題一開始的前提便有誤,所以“差若毫厘,謬以千里”.

錯(cuò)誤剖析：

首先思考的問題是為何有x、y∈(0,1)的限制?其范圍從何而來?不難發(fā)現(xiàn)題設(shè)條件和待求的式子中l(wèi)gx＋lgy＝lg(x＋y),lg(1－x)＋lg(1－y)的限制條件為,得到x、y∈ (0,1),似

思考 如何能救偏補(bǔ)弊?使得此題不失為一道提升能力訓(xùn)練思維的好題.

試題修正：

已知x、y∈(1,＋∞),若lgx＋lgy＝lg(x＋y),則lg(x－1)＋lg(y－1)＝ .

解析 lg(x＋y)＝lgx＋lgy＝lg(xy)?x＋y＝xy,故lg(x－1)＋lg(y－1)＝lg[(x－1)(y－1)]＝lg(xy－x－y＋1)＝lg1＝0.

由此題我們進(jìn)行剖析可見,對(duì)于題目的編制應(yīng)遵循條件相容性原則,即題設(shè)條件之間不能互相矛盾.此題的錯(cuò)誤比較隱蔽,需要深刻地從不同角度剖析.事實(shí)上,通過正本清源發(fā)現(xiàn)本質(zhì)的錯(cuò)誤在于命題者忽視了lgx＋lgy＝lg(x＋含條件.

解后反思：

試題編擬過程中題目的條件對(duì)于推出結(jié)論是充分的,而有些條件不充分的題目.之所以存在,是由于編擬試題和解題時(shí)有心理上的“潛在假設(shè)”,或邏輯上的“以偏概全”.當(dāng)然,在試題編擬過程中要特別注意隱含條件,題設(shè)條件不能與本系統(tǒng)的公理、定理、已知正確的結(jié)論等相矛盾,而且題設(shè)中的多個(gè)條件之間也不能互相矛盾.故我們應(yīng)注重在解題環(huán)節(jié)中需要“?；仡^看看”,養(yǎng)成良好的檢查習(xí)慣.數(shù)學(xué)解題及數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該以學(xué)生已有的知識(shí)基礎(chǔ)和經(jīng)驗(yàn)為出發(fā)點(diǎn)和落腳點(diǎn),跟著學(xué)生感覺走,努力尋求自然的解法.當(dāng)然,自然的解題思路,往往體現(xiàn)在經(jīng)過科學(xué)合理編制、仔細(xì)反復(fù)推敲的數(shù)學(xué)試題上.