福建省南安市教師進(jìn)修學(xué)校 陳俊斌 (郵編：362300)

基于教師數(shù)學(xué)說題教研活動的思考與認(rèn)識

福建省南安市教師進(jìn)修學(xué)校 陳俊斌 (郵編：362300)

1 國內(nèi)外研究現(xiàn)狀綜述

1.1 國內(nèi)研究現(xiàn)狀綜述

上世紀(jì)90年代,“說數(shù)學(xué)”就引起了國內(nèi)教育界的高度關(guān)注.曹才翰先生和章建躍博士所著的《數(shù)學(xué)教育心理學(xué)》中提出通過“說數(shù)學(xué)”的教學(xué)活動能有效實現(xiàn)“數(shù)學(xué)的交流,2003年頒布的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》提出“提高數(shù)學(xué)表達(dá)和交流能力”的課程目標(biāo),直到21世紀(jì),國內(nèi)數(shù)學(xué)教育工作者把“說數(shù)學(xué)”研究擴(kuò)大到實踐層面,不斷把“說數(shù)學(xué)”細(xì)化從而出現(xiàn)了教師“說題”教學(xué)活動.2011年出版的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》,提高了學(xué)生“說”的地位,更重視提升學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力,而開展學(xué)生說題教研活動便是提升學(xué)生能力的一種實質(zhì)性舉措.對中學(xué)數(shù)學(xué)說題的研究較早,但發(fā)展不成熟,大多是一線教師零散經(jīng)驗的積累和總結(jié),未成體系.本文結(jié)合教研實踐主要談?wù)劷處熑绾芜M(jìn)行數(shù)學(xué)現(xiàn)場說題.

1.2 國外研究現(xiàn)狀綜述

對于說題,最早可以追溯到古希臘著名的哲學(xué)家蘇格拉底的“產(chǎn)婆術(shù)”教學(xué)法.他主要采用話式、討論式、啟發(fā)式的教育方法,通過向?qū)W生提問,不斷揭露對方回答問題中的矛盾,引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出一般性的結(jié)論,它的本質(zhì)是教師引導(dǎo)學(xué)生去“說”,在“說”的過程中提升認(rèn)識(師生互動說).1989年加拿大數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中,第一次提出把“說數(shù)學(xué)”作為評課的標(biāo)準(zhǔn);新加坡的《大綱》十分重視學(xué)生用語言表達(dá)數(shù)學(xué)的能力;俄羅斯《大綱》則在描述培養(yǎng)學(xué)生習(xí)慣方面更加明確,要求學(xué)生無論是口頭交流還是書面交流都要清晰流暢;美國數(shù)學(xué)教師協(xié)會(NCTM)在2000年制定的《學(xué)校數(shù)學(xué)的原理和標(biāo)準(zhǔn)》中的學(xué)習(xí)原理指出：“學(xué)生應(yīng)該以理解的方式學(xué)習(xí)數(shù)學(xué),在自身經(jīng)驗和原有知識的基礎(chǔ)上建構(gòu)對新知識的理解.”因此,教學(xué)中需要讓學(xué)生說出自己的思維過程;法國的數(shù)學(xué)教學(xué)大綱提出要讓學(xué)生能夠“明確地表述”,“使學(xué)生在書寫和口頭交流方面形成清楚的習(xí)慣”;日本的數(shù)學(xué)教學(xué)大綱中也要求學(xué)生能夠“數(shù)學(xué)的表示、表達(dá)”.此外,荷蘭、英國等國家的教學(xué)大綱或課程標(biāo)準(zhǔn)也都把學(xué)生能“說數(shù)學(xué)”作為一個重要目標(biāo).

2 相關(guān)概念及案例

在日常的教育教學(xué)中我們經(jīng)常會聽到這樣的交流：“某某同學(xué)講的這道題,比老師講的還明白”;“某某同學(xué)某學(xué)科會講題,他這科的成績比其他學(xué)科就是高!”;“你看,這組習(xí)題我在下面自己研究透了,給自己講明白了,上課的時候得心應(yīng)手”.作為教研員,下校聽課調(diào)研時,經(jīng)?？吹接行┙處熒险n滿堂灌、學(xué)生被動聽,花大量時間解題訓(xùn)練,不注重調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)積極性,不關(guān)注或少關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)思維活動.

鑒于此,從2014年10月起我們開始組織中學(xué)數(shù)學(xué)教師現(xiàn)場“說題比賽”,在我們的推動下,我市各初、高中教研片每年均有開展相應(yīng)活動,其中2014年10月29日五星中學(xué)教研片(6所)舉行初中數(shù)學(xué)說題比賽(教師);2015年4月13日,實驗中學(xué)教研片舉行初中學(xué)生數(shù)學(xué)“說題”比賽活動;僑光中學(xué)初中教研片每年都會根據(jù)我們的活動安排相應(yīng)地舉行片區(qū)人員選拔賽.2016年8月,以此活動為基礎(chǔ)的課題《中學(xué)數(shù)學(xué)師生說題教研活動的理論與實踐研究》被泉州市教育科學(xué)規(guī)劃領(lǐng)導(dǎo)小組辦公室批準(zhǔn)為泉州市教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃(第一批)立項課題之一(批準(zhǔn)編號：QG1351－161).三年來,我們開展了南安市2014年中學(xué)數(shù)學(xué)教師現(xiàn)場“說題”比賽、2015年中學(xué)生數(shù)學(xué)“說題”交流評比活動、2015年中學(xué)數(shù)學(xué)教師現(xiàn)場“說題”交流比賽、2016年中學(xué)生數(shù)學(xué)現(xiàn)場說題比賽、2017年中學(xué)數(shù)學(xué)教師現(xiàn)場說題比賽共十場市級教研活動(分初中組、高中組),共有初中組教師68人次,高中組教師45人次,初中組學(xué)生63人次,高中組學(xué)生61人次參加現(xiàn)場說題比賽.我們還分別于南安三中(2017.1.4)、洪梅中學(xué)(2017.3.31)、柳成中學(xué)(2017.4.6)、五星中學(xué)(2017.5.9)開設(shè)四節(jié)課題研究市級觀摩課(初中、高中各兩場),讓學(xué)生在中學(xué)數(shù)學(xué)課堂中進(jìn)行說題展示.老師們認(rèn)可學(xué)生數(shù)學(xué)課堂說題對訓(xùn)練學(xué)生思維與表達(dá)、暴露學(xué)生知識體系中存在問題、引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)學(xué)課堂體驗成功等方面有獨到的作用.現(xiàn)筆者結(jié)合本市開展的中學(xué)數(shù)學(xué)教師現(xiàn)場“說題”比賽活動及教研實踐對幾個相關(guān)概念進(jìn)行界定.

2.1 數(shù)學(xué)說題

數(shù)學(xué)說題是指說題者在精心解題的基礎(chǔ)上,面對被說題者,闡述自己對該題的知識內(nèi)涵、能力要求、思想方法、拓展變式、反思總結(jié)等方面作出解說,以口頭表達(dá)為主,以數(shù)學(xué)思想方法為依據(jù),以問題本身涉及的知識內(nèi)涵為基礎(chǔ)的一種教學(xué)研究活動.簡單地說,“說題”就是把審題、分析、解答和回顧等思維過程按一定順序說出來的一種教研展示活動.

從說題主體來看,說題可分為教師說題、學(xué)生說題、教師和學(xué)生互動說題.

2.2 教師現(xiàn)場說題

教師通過“選題、做題、想題、改題、編題”等一系列活動,向同行、專家等系統(tǒng)而概括地把自己對題目的理解、分析、解答和反思的思維過程按一定規(guī)律和順序表達(dá)出來,是一種深層次的備課.教師說題主要包括如下環(huán)節(jié)：一說“背景來源”,即試題來源于教材、中(高)考試題、經(jīng)典試題或數(shù)學(xué)競賽試題改編等;二說“試題立意”,即指明試題考查哪些知識點,什么能力,哪些思想,考查目標(biāo),考試說明對應(yīng)的要求;三說試題解法.一方面說教師如何分析講解,如講題的基本方法,具體操作流程等;另一方面說如何指導(dǎo)學(xué)生作答,比如指導(dǎo)學(xué)生注意根據(jù)分值,分點分層作答、指導(dǎo)學(xué)生根據(jù)材料尋找采分點意識;指導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成相應(yīng)的答題習(xí)慣;四說“拓展引申”,即結(jié)合學(xué)情、考情說對試題的評價或改進(jìn),解題規(guī)律的推廣,試題的拓展及變式分析,對今后命題趨勢的分析及方向預(yù)測.

案例1 (泉州市2013－2014學(xué)年度必修2模塊水平測試卷第24題)

如圖,已知三棱柱ABC－A1B1C1中,BB1⊥平面ABC,且AC⊥BC,AA1＝3,AC＝CB＝2.E、F分別為線段B1C1、BB1上的動點.

(I)證明：直線AC⊥平面B1BCC1;

(II)若BF＝B1E＝x(0＜x＜2),當(dāng)x為何值時,三棱錐F－AEB1的體積最大?最大值為多少?

(III)在(II)的條件下,在平面A1B1C1內(nèi)過B1點作一條直線與平面AEF平行,且與A1C1交于點P,并直接寫出的值,要求保留作圖痕跡(不要求證明過程和求解過程).

本題為我市“2014年中學(xué)數(shù)學(xué)現(xiàn)場說題比賽”南安一中洪老師的說題試題,該教師從題目立意、解題思路、解后反思、追根溯源、衍生拓展、總結(jié)提升六個方面進(jìn)行現(xiàn)場說題,現(xiàn)節(jié)取部分內(nèi)容以展示教師如何進(jìn)行現(xiàn)場說題.

解題思路分析 第(I)題是送分的小問,考查簡單的線面垂直問題.學(xué)生在解決該步的時候可能存在的問題是容易忽視判定線面垂直的條件,比如“兩直線相交”即“BC∩BB1＝B”.第(II)步解題的關(guān)鍵實現(xiàn)兩個轉(zhuǎn)化：一是體積的轉(zhuǎn)化：VF－AEB1＝VA－FEB1;二是幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題：由BF＝B1E＝x,有B1F＝3－x,所以時,三棱錐F－AEB1的體積最大,最大值為.這也是中等學(xué)生可以拿到分?jǐn)?shù)的一步,可能存在的主要問題有：如何把三棱錐進(jìn)行頂點轉(zhuǎn)換,如何正確求解一個二次函數(shù)的最值.

第(III)問,難點在作圖,而作圖是學(xué)生學(xué)習(xí)的薄弱點,需要他們具備較強(qiáng)的空間想象力,可采用如下兩種方法作出直線B1P.在正確作出直線B1P后,再把空間問題平面化,即可順利求出

學(xué)生在解決本小題可能存在的錯誤有：一是把“直線與平面AEF平行“有經(jīng)驗”地變成了“直線與平面AC1F平行”;二是誤認(rèn)為平面AEF與平面A1B1C1的交線為MN等.

點評 這里老師說題主要從解題講題的角度示說,主要說教師如何分析講解,解題思路分析、解題的關(guān)鍵點、學(xué)生疑難點等方面,目的是針對學(xué)生理解問題中可能出現(xiàn)的難點,指導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成良好的解題習(xí)慣,總結(jié)出經(jīng)驗性解題規(guī)律,促進(jìn)教師講題效率和學(xué)生學(xué)習(xí)質(zhì)量的提高,從而推動教師和學(xué)生的共同發(fā)展.

案例2 (2014全國I卷理科第21題)

(1)求a,b;(2)證明：f(x)＞1.

本題為我市“2017年中學(xué)數(shù)學(xué)現(xiàn)場說題比賽”南安一中廖老師選取的說題試題.該師從題目背景、解法初探、進(jìn)一步探究、解法總結(jié)、試題拓展、解題反思等方面進(jìn)行說題.現(xiàn)節(jié)取其中比較典型的部分以展示該教師如何進(jìn)行現(xiàn)場說題.

解法初探 首先由(1)知f(x)＝exlnx＋要證f(x)＞1的第一個想法便是求f(x)min,誠然想法很單純,但是道路太坎坷,但不妨試一試,可求得(x＞0).顯然此處的一階導(dǎo)函數(shù),相當(dāng)復(fù)雜,是否繼續(xù)前行,得有一個判斷,否則很可能一條胡同走到黑,費(fèi)時費(fèi)力沒有好成效.我們認(rèn)為,一階導(dǎo)數(shù)應(yīng)該有四個理想的模式：①恒大于0或者恒小于0;②可求出具體零點;③有單調(diào)性(可直接觀察出或者二階導(dǎo)數(shù)恒正或恒負(fù)),④二階導(dǎo)函數(shù)可求出零點.而此處一階導(dǎo)數(shù)并沒有看到上述理想的四種狀態(tài),顯然二次導(dǎo)(除去恒正的項ex－1,x2)再求導(dǎo)也沒利用價值,所以考慮放棄此法(四階導(dǎo)數(shù)才恒正).某些解法沒能看出有這四種理想狀態(tài),但是照樣能解出題,所以才稱其為理想狀態(tài).意思就是能理想最好,不理想也無妨,也能解題.

點評 解法一所用的方法是處理不等式恒成立問題最常用的通法,也就是將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為差函數(shù)最值問題,但這里的一階導(dǎo)數(shù)的零點目前高中學(xué)生尚無法求出,故我們采用“設(shè)而不求”的方法處理,另外此種方法共需求導(dǎo)三次,難度不可謂不大.

點評 變形②較變形①化簡更徹底,化簡到我們熟悉的函數(shù)g(x)＝xlnx以及,充分體現(xiàn)了化歸轉(zhuǎn)化思想的真諦,繼而通過加強(qiáng)命題證明原命題,計算量較法一大幅減少,真可謂磨刀不誤砍柴工.

由教材選修2—2第32頁B組第1題的第3小題的原題易證ex≥x＋1由于ex≥x＋1,可將x用x－1替換可得到ex－1≥x,所以求導(dǎo)易得g(x)min＞0,所以原命題得證.

解法四(他山之石)

點評 此法借助兩個函數(shù)不等式ex≥ex和來直接證題,相當(dāng)簡潔明了.但這兩個不等式在平時的學(xué)習(xí)當(dāng)中,學(xué)生要能有意識地去記憶和運(yùn)用,才能信手拈來,用得得心應(yīng)手,恰到好處.

這里老師說題主要從壓軸題的多種解法角度示說,主要說解題思維的全過程,最常見的解法碰壁后如何處理(化歸),學(xué)生解題經(jīng)驗的積累運(yùn)用等方面,目的是培養(yǎng)學(xué)優(yōu)生善于發(fā)現(xiàn)轉(zhuǎn)化、歸納總結(jié),克服解決難題的心理畏懼感,深化學(xué)生思維,為成功拿下壓軸題奠定良好的知識儲備和心理基石.

3 說題的思考

3.1 說題的形式

(1)一題一說

在教研活動中,不事先給說題者指定題目,由說題者根據(jù)自身需要,選擇所說的試題.說題者可查閱相關(guān)資料,認(rèn)真學(xué)習(xí)相關(guān)理論,深刻研究試題所涵蓋數(shù)學(xué)知識的結(jié)構(gòu)與分類,圍繞試題來源、考查目標(biāo)、解法分析、拓展價值分析等方面,進(jìn)行一系列的充分準(zhǔn)備,然后再在教研活動現(xiàn)場向評委(專家)示說.

評析 本題說者可從試題的來源、試題的解法探究(三種解法)、試題的推廣(簡單改編)、試題的命題思路探尋、試題的實質(zhì)性改造、教學(xué)啟示等方面進(jìn)行說題.

(2)一題多說

在教研活動中,組織者指定說者針對同一習(xí)題(試題),在同一次活動中展開示說.在活動中,教師能展示自身教育理論功底、學(xué)科知識掌握程度、解題方法理解能力、對教學(xué)前瞻性理念的探求等,參與者能得到案例示范和理論滋養(yǎng)兩方面的收益,營造良好的教研氛圍.學(xué)生在說題時,能展現(xiàn)其解答及思考過程,暴露對試題的思維過程.長期堅持說題,能提升其數(shù)學(xué)語言交流能力,培養(yǎng)學(xué)生敢于探索和創(chuàng)新的精神.

案例4 (2011年三明市質(zhì)檢文科第21題)

在足球場上,甲由A處向北偏東45°的方向作勻速直線奔跑,速度為52米/秒,甲從A處奔跑的同時,乙從A處正東20米的B處出發(fā),朝北偏東θ的方向作勻速直線奔跑(其中),速度為35米/秒.建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.

圖1

(Ⅰ)求甲、乙兩人奔跑t秒后,他們各自所處位置的坐標(biāo);

(Ⅱ)試問：甲乙兩人出發(fā)后多長時間相距最近?最近距離為多少米?

評析 對本題,組織者可對說題者提出如下的說題要求：(1)試題及解法展示;(2)試題的評析(優(yōu)、劣、存在的問題);(3)改編說明(主要闡述思路和理由);(4)改編題展示;(5)改編題期望說明(主要考查目標(biāo),試題預(yù)設(shè)難度和區(qū)分度);(6)改編題的解法(以通性通法為主);(7)其它需要說明的問題.

比如對本題可以進(jìn)行這樣的試題評析：本題以學(xué)生熟悉的足球場為背景,背景公正、合理,考查三角問題的實際應(yīng)用,考查學(xué)生綜合分析問題和解決問題的能力;問題解決的過程中要求學(xué)生能利用圖形結(jié)合實際問題,建立坐標(biāo)系,實現(xiàn)點的坐標(biāo)化,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想;利用兩點間距離公式,把最近距離問題化為二次函數(shù)的最小值問題,體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化思想;存在的問題是試題中沒有指出甲在足球場的具體位置,t的范圍如何進(jìn)行具體限制?

(Ⅰ)求甲、乙兩船航行4小時后,他們各自所處位置的坐標(biāo);

(Ⅱ)試問在(Ⅰ)的條件下,如何確定乙船航行的方向?使兩船此時距離最近,最近距離是多少?

改編說明 把足球場改為海域,避免t的進(jìn)一步限制,把行駛的時間設(shè)為定值,把乙行駛的方向角設(shè)置為變量,難度設(shè)置成“易”,使中等偏下的同學(xué)都能求解;第(II)問中等難度,使中等程度的學(xué)生能順利求解.改編后的試題環(huán)環(huán)相扣、梯度分明,能較好地體現(xiàn)試題的區(qū)分度,有效區(qū)分出知識掌握程度不同的學(xué)生,體現(xiàn)“不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”理念.

(3)多題一說

在教研活動中,說題者針對多道試題,就其共性方面(通解、數(shù)學(xué)思想方法等)展開示說.如圍繞以下四道高考試題可就“數(shù)形結(jié)合”思想來進(jìn)行多題一說.

題1 (2009高考遼寧·理8)已知函數(shù)f(x)＝Acos(ωx＋φ)的圖象如 圖 所 示,

說題1 利用對稱性,由形到數(shù).

題2 (2013高考安徽·理8)函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖所示,在區(qū)間 a,b[ ]上可找到n個不同的數(shù)x1,x2,…,xn,使得

A.3,4{} B.2,3,4{ }

C.3,4,5{ } D.2,3{}

說題2 “由數(shù)思形”,建立對應(yīng)關(guān)系.

題3 (2013高考安徽·理10)若函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c有極值

點x1、x2,且f(x1)＝x1,則關(guān)于x的方程3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0的不同實根個數(shù)是

A.3 B.4 C.5 D.6

說題3 “由數(shù)思形”、“以形助數(shù)”

由數(shù)思形：由極值點的意義可得x1、x2是方程3x2＋2ax＋b＝0的兩實根,再由該方程結(jié)構(gòu)特征(二次項系數(shù)正)可得函數(shù)f(x)的單調(diào)性(先增后減再增),從而可利用單調(diào)性作出該函數(shù)的草圖,故要判斷方程3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0的不同實根個數(shù),只需觀察直線t＝x1,t＝x2與函數(shù)f(x)圖象的交點個數(shù)情況.

以形助數(shù)：作出直線t＝x1,t＝x2以及函數(shù)f(x)的草圖可得解.

題4 (2012高考浙江·理17)設(shè)a∈R,若x＞0時均有[(a－1)x－1](x2－ax－1)≥0,則a＝_____.

說題4 “由數(shù)到形”、數(shù)形結(jié)合.

按照常規(guī)思路,本題求解時通常分為兩種情況：

受傳統(tǒng)的經(jīng)驗影響,可能會認(rèn)為本題是錯題或解不出來.事實上,本題可先“由數(shù)到形”,即把所給含參不等式轉(zhuǎn)化成兩個函數(shù)值的符號相同問題,然后通過分別作圖,觀察它們的共同特征,“數(shù)形結(jié)合”地得出它們的另一個交點位置是確定的,從而有效地避免了傳統(tǒng)解法的分類及繁雜的數(shù)學(xué)運(yùn)算及推理,順利求出參數(shù)a的值.

4 結(jié)論

教師現(xiàn)場說題比賽、教師備課組說題活動的開展,既充分發(fā)揮出說題者的作用,使其自身的教育理論得以提煉,還往往發(fā)揮了集體智慧,亦給旁人帶去思考與觸動.本課題研究開展一年以來,我們能充分調(diào)動我市各中學(xué)的積極性,邊實驗、邊交流、邊展示、邊傳播.課題組成員所在學(xué)校數(shù)學(xué)組教師共開設(shè)片區(qū)級以上的展示課共20多節(jié),課題組成員所在學(xué)校教師(學(xué)生)在南安市級及其以上的優(yōu)秀教學(xué)論文、教學(xué)設(shè)計、教學(xué)案例、現(xiàn)場說題比賽評選活動中有80多人次獲獎,課題組成員所在校的班級學(xué)生參加全國初中數(shù)學(xué)競賽獲南安市級以上獎勵的有9人次,全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽、泉州市高中數(shù)學(xué)競賽獲泉州市級以上獎勵的有22人次,參加南安市中學(xué)生數(shù)學(xué)小論文評選獲獎的有30多人次.

教師在說題前,要進(jìn)行一系列準(zhǔn)備工作,如查閱相關(guān)資料,認(rèn)真學(xué)習(xí)相關(guān)理論,深刻研究數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)與分類,掌握試題的來源、考查目標(biāo)、考查知識點等.通過這些活動,教師提高了自身素質(zhì),教研水平得到提升.在現(xiàn)場說題時,教師能充分展現(xiàn)數(shù)學(xué)教育的理論功底、數(shù)學(xué)知識的掌握程度、數(shù)學(xué)方法的理解能力及對數(shù)學(xué)本質(zhì)認(rèn)識,通過教師現(xiàn)場說題比賽,教師的數(shù)學(xué)素養(yǎng)得到提升,很快成為教改教研的骨干.

1 陳俊斌.一道高考數(shù)學(xué)試題引發(fā)的探究與思考[J].數(shù)學(xué)通訊,2017(1)：30-33

本文為泉州市教育科學(xué)“十三五規(guī)劃”(第一批)立項課題《中學(xué)數(shù)學(xué)師生說題教研活動的理論與實踐研究》(QG1351－161)研究成果.

2017-09-28)