郜舒竹

【摘 要】數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中經(jīng)常需要對應(yīng)思考的過程，學(xué)生在這樣的思考過程中經(jīng)常會出現(xiàn)各式各樣的錯誤，錯誤的背后蘊含著符合學(xué)生年齡特征的直覺規(guī)律。主要反映為：數(shù)量相同、意義相同和順序相同。發(fā)現(xiàn)這樣的直覺規(guī)律有益于教師解釋學(xué)生出現(xiàn)的錯誤，讀懂學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的思維。

【關(guān)鍵詞】錯誤；直覺規(guī)律；對應(yīng)思考

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中經(jīng)常需要對應(yīng)思考，比如將“三百二十一”寫為“321”的過程，就需要對數(shù)的漢語表達與數(shù)字表達兩者之間進行對應(yīng)思考。在計算中需要對參與運算的數(shù)之間進行對應(yīng)思考。解決文字問題時需要對文字信息與算式或者圖形之間進行對應(yīng)思考。學(xué)生在進行此類對應(yīng)思考過程中，經(jīng)常會出現(xiàn)依據(jù)自身直覺產(chǎn)生的理解，其中一些理解具有普遍性和必然性，因而也就具有規(guī)律性。努力發(fā)現(xiàn)這樣的直覺規(guī)律（Intuitive Rule），有益于教師解釋學(xué)生產(chǎn)生錯誤的合理性，讀懂學(xué)生思維的規(guī)律性。

一、語言轉(zhuǎn)換中的直覺與誤解

在思考與兩個或者多個結(jié)構(gòu)之間對應(yīng)關(guān)系有關(guān)的問題時，人們潛意識中會對不同結(jié)構(gòu)之間的對應(yīng)關(guān)系有一種自己的直覺理解，而后的思考就會沿著這樣的理解繼續(xù)下去。比如，在思考將“我是一名教師”這句話翻譯為英文的時候，潛意識中會把這句話看作是一個由“我”“是”“一名”和“教師”四個元素構(gòu)成的結(jié)構(gòu)，直覺理解是只需要將對應(yīng)元素的英文單詞與相應(yīng)的漢字或者詞匯一一對應(yīng)地組合起來，做到“元素數(shù)量相同、元素順序相同、元素意義相同”，就完成了翻譯（見圖1）。

而事實上，這樣的直覺理解在有些情況下是可以的，在許多情況下卻是不適用的。比如將兩人見面時常說的問候語“你好”翻譯為英文，就不能采用一一對應(yīng)的方式翻譯為“You good”?！霸缟虾谩币膊荒芊g為“Morning good”，等等。因此這種“數(shù)量相同、順序相同、意義相同”的直覺理解，實質(zhì)上是結(jié)構(gòu)之間對應(yīng)關(guān)系的誤解（Misconception）。學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中所出現(xiàn)的許多錯誤，其實也源于這樣語言轉(zhuǎn)換過程中的誤解。

比如，在多位數(shù)讀寫過程中，如果讀出或用漢字寫出“四百三十二萬零六十五”，學(xué)生在寫出相應(yīng)阿拉伯數(shù)字的時候，往往會出現(xiàn)如圖2所示的錯誤。

這樣的問題與前面英漢翻譯的過程類似，學(xué)生潛意識中將“四百三十二萬零六十五”看作是一個由“四百三十二”“零”和“六十五”三個元素構(gòu)成的結(jié)構(gòu)，將三個要素分別翻譯為“432”“0”和“65”，而后保持原有順序依次排列，就得到“432065”。這個過程可以用圖3直觀地表示出來。

類似的錯誤極為普遍，比如將“二十一萬三千”，寫為“2013000”等（見圖4）。

這種“一一對應(yīng)”的誤解導(dǎo)致的錯誤還經(jīng)常出現(xiàn)在“單位轉(zhuǎn)換”以及鐘表上時間讀寫的過程中，比如將“2.25時”轉(zhuǎn)換為“2時25分”。將“3.2時”轉(zhuǎn)換為“3時2分”等（見圖5）。

初學(xué)鐘表認識的學(xué)生會將鐘表上直觀顯示的“時針指向11，分針指向2”，讀作或?qū)懽鳌?1：02”，同樣將“時針指向8，分針指向6”，讀作或?qū)懽鳌?：06”。遵循的是視覺上的“意義相同”。

用于數(shù)學(xué)課程內(nèi)容表達的語言主要包括文字、圖形和符號，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中經(jīng)常需要進行語言之間的轉(zhuǎn)換，這種轉(zhuǎn)換一旦出現(xiàn)元素數(shù)量、元素意義或者元素之間的順序發(fā)生變化的情況，就不符合學(xué)生的直覺思考，也就成為容易出現(xiàn)誤解和錯誤的內(nèi)容。

二、加、減計算中的直覺與誤解

類似情況在計算過程中也會出現(xiàn)。比如低年級學(xué)生在計算“523+25”時，會出現(xiàn)如圖7所示的錯誤答案。

像“523+25”這樣的計算，通常會被教師認為是很簡單的，學(xué)生出現(xiàn)錯誤不應(yīng)該，因為計算過程中并沒有出現(xiàn)“進位”的情況。在加法豎式計算中，只有出現(xiàn)進位的情況，才是學(xué)生最容易出錯的。但在調(diào)查中發(fā)現(xiàn)，對于低年級學(xué)生來說，沒有出現(xiàn)進位的“523+25”，相比出現(xiàn)進位的“593+25”，錯誤率要高。其中的原因就與對應(yīng)思考中的直覺與誤解有關(guān)。

學(xué)生對于加法計算的經(jīng)驗中，潛意識中至少會有兩個理解：第一，加法應(yīng)當是對至少兩個數(shù)才可以進行的計算，一個數(shù)不能做加法；第二，兩個加數(shù)的各個數(shù)位上的數(shù)字應(yīng)當一一對應(yīng)?；谶@樣的理解，當面對“523+25”的豎式時（見圖8），其中個位“3+5”和十位“2+2”都順利計算后，對于孤立存在的“5”就有一種不知所措的感覺。

學(xué)生在潛意識中“加法需要兩個加數(shù)”想法的驅(qū)使下，就努力尋找“能夠與5做加法的數(shù)”。按照就近原則，就可能用到臨近的數(shù)字“2”，得到“523+25=748”。（見圖7a）；也有可能用到臨近的數(shù)字“4”，就得到“523+25=948”（見圖7b）。另外一種可能是認為對于“5”，加法運算沒有發(fā)生，就會出現(xiàn)“523+25=48”（見圖7c）。endprint

相對于出現(xiàn)進位的計算題“593+25”，其中十位數(shù)字“9+2”的計算等于11 ，需要向百位進一，此時與學(xué)生頭腦中“加法需要兩個加數(shù)”的想法吻合，因此可以順利地通過“5+1=6”完成計算。因此對一些學(xué)生來說，出現(xiàn)進位的“593+25”，相比沒有出現(xiàn)進位的“523+25”更符合對應(yīng)思考中的直覺規(guī)律，因此錯誤率更低。

加法計算中，兩個加數(shù)位數(shù)不同時出現(xiàn)的錯誤，對于低年級學(xué)生來說極其普遍（見圖9），一個重要原因是源于對應(yīng)思考中的誤解。這種對應(yīng)誤解產(chǎn)生的錯誤在減法計算中也同樣會出現(xiàn)，比如對于“276-14”，調(diào)查發(fā)現(xiàn)學(xué)生會得到錯誤結(jié)果“162”，原因在于當計算完個位和十位的減法計算后，被減數(shù)百位出現(xiàn)孤立的“2”，因此學(xué)生在“需要尋找一個減數(shù)”想法的驅(qū)使下，就會選擇臨近的數(shù)字實現(xiàn)與“2”的減法計算。

綜上可以看出，學(xué)生許多計算題出現(xiàn)的錯誤并不是因為“粗心、馬虎、不認真”的“算錯”，而是依照自己的直覺構(gòu)建了另外一個題目或算法。比如，在圖9中的“84-4=8”，學(xué)生在潛意識的直覺中是把“84”看作一個由“8”和“4”構(gòu)成的結(jié)構(gòu)，而不是“80”和“4”構(gòu)成的結(jié)構(gòu)，因此學(xué)生所完成的計算是“從8和4中減去4”，而不是原題所要求的從“80和4中減去4”。其根本原因在于對于“84”這個符號表達產(chǎn)生了誤解。由此也進一步說明低年級兒童認識“位值（Place Value）”其實是相當困難的，困難的原因是與低齡兒童的直覺規(guī)律（Intuitive Rule）相違背。凡與直覺規(guī)律相違背的內(nèi)容，通常叫作具有“反直覺”的特征（Counter Intuitive）。

三、文字題中的對應(yīng)思考

對應(yīng)思考中的直覺規(guī)律也會出現(xiàn)于文字題的解決過程中。比如對于問題：“湖面上有一些天鵝，飛走5只，還剩23只，湖面上原來有多少只天鵝？”教師期望學(xué)生列出算式“5+23”，而后計算出結(jié)果“28只”。而學(xué)生往往直接寫出算式和結(jié)果為“28-5=23（只）”（見圖10）。

事實上，題目所描述的情境在學(xué)生頭腦中形成了一個由“湖面上原有天鵝”“飛走”“還?！比齻€要素構(gòu)成的結(jié)構(gòu)，而且這三個要素是按照時間先后順序自然排列的（見圖11）。

依據(jù)這樣的結(jié)構(gòu)，第一個元素是“湖面上天鵝數(shù)量”，學(xué)生心算出等于28只；“飛走”對應(yīng)“減號”；“還剩”對應(yīng)“等號”。因此一一對應(yīng)地寫出算式“28-5=23（只）”。而教師期望的“5+23=28（只）”的寫法，打亂了這種保持順序的對應(yīng)思考，因此也就違背了學(xué)生的直覺規(guī)律。

這樣的反直覺首先違背了“飛走”和“還剩”的意義，在學(xué)生的經(jīng)驗中，這兩個詞匯都應(yīng)當與“減少”有關(guān)，也就是應(yīng)當與減法直接相關(guān)，而且在問題情境中并沒有發(fā)生與加法有關(guān)的過程，因此學(xué)生首先想到的是寫出一個減法算式；第二，違背了結(jié)構(gòu)中要素間原有的順序，學(xué)生潛意識中是按照情境中實際發(fā)生的順序書寫算式，而教師期望的寫法中的順序與文字敘述的順序完全不同。因此學(xué)生按照自己的直覺所寫出來的算式，往往與教師所期望的寫法不同，也就不足為奇了，應(yīng)當視為是另外一種不同的寫法，而不是錯誤的寫法。

如今的課堂教學(xué)改革，期望從“教為中心”轉(zhuǎn)變?yōu)椤皩W(xué)為中心”，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中就會依據(jù)自己的直覺規(guī)律產(chǎn)生多樣的想法，其中包括正確的，也包括錯誤的。這些錯誤是學(xué)生自主學(xué)習(xí)過程中的必然產(chǎn)物，其中蘊含著的思維規(guī)律需要我們認真地去發(fā)現(xiàn)和積累，進而真正“讀懂學(xué)生”。

作為教師應(yīng)當相信：“錯誤是必然的，錯誤是普遍的，錯誤是有規(guī)律的，錯誤是有用的。”面對學(xué)生出現(xiàn)的錯誤應(yīng)當采取的態(tài)度是“寬容錯誤，積累錯誤，研究錯誤，利用錯誤”，讓錯誤真正成為教學(xué)資源。

（北京首都師范大學(xué)初等教育學(xué)院 100048）endprint