夏春峰

【摘 要】程序性知識(shí)典型錯(cuò)題是學(xué)生在運(yùn)用數(shù)學(xué)“怎么做”知識(shí)時(shí)發(fā)生的錯(cuò)誤。這類(lèi)知識(shí)的錯(cuò)誤在實(shí)踐和研究中占大多數(shù)，究其原因，一方面是沒(méi)有理解陳述性知識(shí)的意義，另一方面是沒(méi)有掌握程序性知識(shí)本身。學(xué)生如果沒(méi)有掌握這類(lèi)知識(shí)，必將影響其策略性知識(shí)的掌握和運(yùn)用。對(duì)此，在研究中梳理和剖析程序性知識(shí)典型錯(cuò)題的表現(xiàn)及成因，并提出相應(yīng)的教學(xué)策略。

【關(guān)鍵詞】程序性知識(shí)；典型錯(cuò)題；歸因分析；教學(xué)策略

程序性知識(shí)是有關(guān)“怎么辦”的知識(shí)，主要涉及概念和規(guī)則的應(yīng)用。作為小學(xué)數(shù)學(xué)程序性知識(shí)，是關(guān)于小學(xué)數(shù)學(xué)領(lǐng)域“做什么”“怎么做”的知識(shí)，其思維條理化為數(shù)學(xué)程序性知識(shí)的主要特征，演繹、推理為主要表現(xiàn)方式。

什么是數(shù)學(xué)程序性知識(shí)典型錯(cuò)題？我們認(rèn)為，學(xué)生在運(yùn)用數(shù)學(xué)程序性知識(shí)解題時(shí)，在口答、書(shū)面作業(yè)或檢測(cè)中反映出來(lái)的錯(cuò)誤率較高（全班的錯(cuò)誤率≥15%）的數(shù)學(xué)錯(cuò)題，稱(chēng)之為程序性知識(shí)典型錯(cuò)題。程序性知識(shí)典型錯(cuò)題可以從錯(cuò)誤出現(xiàn)的人數(shù)多、頻率高、糾正難等幾個(gè)維度去判斷鎖定。據(jù)不完全統(tǒng)計(jì)，程序性知識(shí)典型錯(cuò)題在各類(lèi)知識(shí)典型錯(cuò)題中占60%以上。所以，梳理、分析和應(yīng)用程序性知識(shí)典型錯(cuò)題對(duì)改進(jìn)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)有著十分重要的作用。

一、程序性知識(shí)典型錯(cuò)題的成因分析

在實(shí)踐中，我們發(fā)現(xiàn)產(chǎn)生程序性知識(shí)典型錯(cuò)誤的主要原因有以下這些方面。

（1）“怎么做”的程序目標(biāo)不明。程序性知識(shí)是關(guān)于“怎么做”的知識(shí)，在“怎么做”前首先需要明確“做什么”的程序目標(biāo)，偏離了目標(biāo)，那“怎么做”的程序就毫無(wú)意義了。

【典型錯(cuò)題1】甲、乙兩人跑同樣長(zhǎng)的一段路，甲要16分鐘，乙要20分鐘，甲跑得速度比乙快百分之幾？

學(xué)生錯(cuò)解：（20-16）÷20=20%

顯然，學(xué)生把所要解決的問(wèn)題“甲跑得比乙快百分之幾”，誤解成了“甲跑的時(shí)間比乙少百分之幾”，這里的“甲跑得比乙快百分之幾”實(shí)質(zhì)上是“甲跑的速度比乙跑的速度快百分之幾”。對(duì)“做什么”理解有誤，那也就是偏離了“怎么做”的程序目標(biāo)。

（2）“怎么做”的信息提取有誤。程序性知識(shí)在明確“做什么”的程序目標(biāo)后，需要圍繞目標(biāo)的達(dá)成和解決，選擇有用的信息執(zhí)行“怎么做”。

【典型錯(cuò)題2】在直徑為9米的圓形花壇外面有一條寬1米的環(huán)形小路。這條小路的面積是多少？

學(xué)生錯(cuò)解1： 學(xué)生錯(cuò)解2：

學(xué)生知道，求圓環(huán)（小路）的面積是外圓的面積減去內(nèi)圓的面積，然后，在選擇外圓或內(nèi)圓的半徑時(shí)，出現(xiàn)了錯(cuò)誤?！板e(cuò)解1”把“（9+1）÷2=5.5米”當(dāng)作了圓環(huán)的外圓半徑，“錯(cuò)解2”先把“9÷2=4.5米”當(dāng)作外圓的半徑，而把環(huán)寬的一半“1÷2=0.5米”當(dāng)作了內(nèi)圓的半徑。造成這一信息提取錯(cuò)誤的根本原因是對(duì)“小路寬1米”也就是對(duì)環(huán)寬的理解不到位。

（3）“怎么做”的程序規(guī)則不清。程序性知識(shí)在“怎么做”時(shí)，需要遵循有關(guān)“規(guī)則”來(lái)做，如果學(xué)生對(duì)有關(guān)“規(guī)則”理解不清或掌握有誤，那么在“怎么做”時(shí)就會(huì)發(fā)生“規(guī)則錯(cuò)誤”。這種錯(cuò)誤往往發(fā)生在計(jì)算法則、運(yùn)算順序、定律、性質(zhì)、計(jì)算公式等的運(yùn)用上。

【典型錯(cuò)題3】計(jì)算：32+20×3

學(xué)生錯(cuò)解：32+20×3=52×3=153

這一錯(cuò)誤就是違背了“先乘再加”這一“規(guī)則”，而主要原因是學(xué)生對(duì)這一“規(guī)則”的不理解和沒(méi)掌握。

（4）“怎么做”的程序環(huán)節(jié)缺失。程序性知識(shí)在“怎么做”時(shí)需要環(huán)節(jié)緊扣，步步推進(jìn)，如果缺失某一環(huán)節(jié)往往就會(huì)發(fā)生錯(cuò)誤。

【典型錯(cuò)題4】用簡(jiǎn)便方法計(jì)算：[49]×2.8+7.2÷[94]

學(xué)生錯(cuò)解：[49]×2.8+7.2÷[94]=[49]×[94]×（2.8+7.2）=1×10=10

從上述的典型錯(cuò)解中，可以看出學(xué)生知道可用乘法運(yùn)算定律來(lái)簡(jiǎn)算，但由于缺失了把“7.2÷[94]”先轉(zhuǎn)化為“7.2×[49]”這一環(huán)節(jié)，使得學(xué)生為“湊整”而違背運(yùn)算規(guī)則來(lái)所謂的簡(jiǎn)算。如果提醒和強(qiáng)化學(xué)生在簡(jiǎn)算前先把“7.2÷[94]”轉(zhuǎn)化為“7.2×[49]”，那么，學(xué)生能一下子判別接下去的環(huán)節(jié)可用乘法分配律來(lái)簡(jiǎn)算。所以，對(duì)此類(lèi)錯(cuò)題的教學(xué)需要強(qiáng)化“轉(zhuǎn)化”這一前置環(huán)節(jié)的引導(dǎo)和訓(xùn)練。

（5）“怎么做”的程序思維僵化。程序性知識(shí)的“怎么做”往往是有程序的，有“規(guī)則”可循，然而如果程序思維僵化，套用“規(guī)則”，就往往會(huì)產(chǎn)生“重外形，輕本質(zhì)”的錯(cuò)誤。

【典型錯(cuò)題5】一個(gè)運(yùn)動(dòng)場(chǎng)如下圖，兩邊是半圓形，中間是長(zhǎng)方形。這個(gè)運(yùn)動(dòng)場(chǎng)的周長(zhǎng)是多少米？

[o][100m][32m]

學(xué)生錯(cuò)解：3.14×32×2+（100+32×2）×2=528.96（米）

從上述典型錯(cuò)解中，可以看出這是一種明顯的套用圓的周長(zhǎng)和長(zhǎng)方形周長(zhǎng)計(jì)算公式的程序僵化，改變這一僵化思維的關(guān)鍵是要真正理解“這個(gè)組合圖形周長(zhǎng)”的含義。

二、程序性知識(shí)典型錯(cuò)題的教學(xué)策略

對(duì)于程序性知識(shí)典型錯(cuò)題的教學(xué)，要從兩方面入手，一方面是典型錯(cuò)題出現(xiàn)前的提前干預(yù)；另一方面是學(xué)生錯(cuò)誤產(chǎn)生后的改錯(cuò)糾錯(cuò)。

（一）提前防錯(cuò)的干預(yù)策略

提前防錯(cuò)是指教師預(yù)設(shè)學(xué)生可能產(chǎn)生的錯(cuò)誤，在學(xué)生做題前，提前干預(yù)，將錯(cuò)誤阻止在“萌芽”狀態(tài)，使學(xué)生頭腦中構(gòu)建起“怎么做”的正確思路和方法。提前干預(yù)的策略有：

1.加強(qiáng)陳述性知識(shí)教學(xué)，為“怎么做”夯實(shí)程序基礎(chǔ)

陳述性知識(shí)是關(guān)于“是什么”的知識(shí)，在小學(xué)數(shù)學(xué)中主要是指概念、法則、公式、性質(zhì)、定律等，而這些知識(shí)是關(guān)于程序性知識(shí)“怎么做”的基礎(chǔ)。比如，學(xué)生對(duì)于乘法分配律都沒(méi)有理解和掌握，那他怎么會(huì)運(yùn)用這個(gè)定律進(jìn)行有關(guān)的簡(jiǎn)算呢？所以，陳述性知識(shí)是程序性知識(shí)的基礎(chǔ)，只有知道了“是什么”，才能知道“怎么做”。

2.范例教學(xué)，為“怎么做”提供程序規(guī)范

程序性知識(shí)在操作活動(dòng)或心智活動(dòng)時(shí)，有著一定的思維操作程序，因此程序性知識(shí)典型錯(cuò)題教學(xué)，可采取范例教學(xué)法，幫助學(xué)生掌握其思維操作程序。所謂范例教學(xué)法，是指學(xué)習(xí)時(shí)按照課本提供的范例，將數(shù)學(xué)程序性知識(shí)的思維操作程序一步一步地展現(xiàn)出來(lái)，然后根據(jù)這種程序逐步掌握程序性知識(shí)關(guān)于“怎么做”的心智活動(dòng)。

小學(xué)數(shù)學(xué)課本中的例題就是關(guān)于“怎么做”的范例，所以加強(qiáng)例題的思維操作程序教學(xué)顯得十分重要。如“解方程”例3（人教版教材五年級(jí)上冊(cè)第68頁(yè)），課本中展示了如何解形如“a-x=b”此類(lèi)方程的思維操作步驟：第一步是等式兩邊加上相同的式子；第二步等式兩邊互換位置；第三步等式兩邊同減9，就得到x=11；第四步把x=11代入原方程中進(jìn)行檢驗(yàn)。學(xué)習(xí)時(shí)只需要明確范例所反映的此類(lèi)方程的解題程序和方法，并按照這種程序和方法進(jìn)行求解即可掌握此類(lèi)解方程的程序性知識(shí)和技能。

3.預(yù)設(shè)錯(cuò)例，為“怎么做”實(shí)施防錯(cuò)策略

教師根據(jù)教學(xué)規(guī)律、教學(xué)經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)的重難點(diǎn)，可以對(duì)學(xué)生在“怎么做”時(shí)可能會(huì)產(chǎn)生的典型錯(cuò)誤做出預(yù)設(shè)，通過(guò)預(yù)設(shè)學(xué)生的典型錯(cuò)例，改進(jìn)教學(xué)，實(shí)施提前干預(yù)。

【典型錯(cuò)題6】求下圖平行四邊形的面積。

[10.8cm][10cm][8cm]

學(xué)生錯(cuò)解1：10.8×8

學(xué)生錯(cuò)解2：10×8

從上述典型錯(cuò)例中可知，對(duì)于平行四邊形面積的計(jì)算方法，必須關(guān)注“底”和“高”的對(duì)應(yīng)問(wèn)題，因此，教師在推導(dǎo)平行四邊形面積計(jì)算公式的新授課時(shí)，可以切入預(yù)設(shè)性錯(cuò)誤，先讓學(xué)生大膽設(shè)想，下面平行四邊形的面積怎么計(jì)算？學(xué)生可能有三種預(yù)設(shè)性方法，其中2、3種是預(yù)設(shè)性錯(cuò)誤。

先來(lái)猜猜這個(gè)平行四邊形的面積可以怎么求？

[高4米][底6米][鄰邊5米]

預(yù)設(shè)1：用“底×高”計(jì)算：6×4=24（平方米）

預(yù)設(shè)2：用“底×鄰邊”計(jì)算：6×5=30（平方米）

預(yù)設(shè)3：用“鄰邊×高” 計(jì)算：5×4=20（平方米）

這三種方法，哪種才是計(jì)算平行四邊形面積的正確方法呢？通過(guò)探究使學(xué)生真正理解平行四邊形面積的計(jì)算方法是“底×高”，就是必須“底×所在底上的高”。

（二）錯(cuò)誤生成的糾錯(cuò)策略

學(xué)生有些錯(cuò)誤是難以預(yù)設(shè)的，為此，當(dāng)學(xué)生錯(cuò)誤生成后，教師更多地需要采取有效的糾錯(cuò)策略，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)的意義建構(gòu)。學(xué)生錯(cuò)誤生成后，首要的是尋找錯(cuò)因，只有使學(xué)生明確了錯(cuò)誤原因，才能對(duì)癥下藥，改錯(cuò)糾錯(cuò)。尋找錯(cuò)因，教師可以從以下幾方面入手。

1.目標(biāo)有否偏失：“做什么”的問(wèn)題，我把握了嗎

一些問(wèn)題限于學(xué)生的理解能力和認(rèn)知水平，往往使學(xué)生對(duì)問(wèn)題的把握失誤，從而造成了解決問(wèn)題目標(biāo)的偏失。

【典型錯(cuò)題7】右圖是某學(xué)校教師喜歡看的電視節(jié)目統(tǒng)計(jì)圖，喜歡看“新聞聯(lián)播”的人數(shù)比喜歡看“焦點(diǎn)訪談”的多幾分之幾？

學(xué)生錯(cuò)解：28%-15%=13%

學(xué)生以為求喜歡看“新聞聯(lián)播”的人數(shù)比喜歡看“焦點(diǎn)訪談”的多幾分之幾，就是把喜歡看“新聞聯(lián)播”的占28%和喜歡看“焦點(diǎn)訪談”的占15%相減就行了。針對(duì)這一典型錯(cuò)解，教師可讓學(xué)生說(shuō)說(shuō)問(wèn)題“喜歡看‘新聞聯(lián)播的人數(shù)比喜歡看‘焦點(diǎn)訪談的多幾分之幾”表示求什么人數(shù)占什么人數(shù)的幾分之幾，使學(xué)生對(duì)問(wèn)題有一個(gè)正確的了解，糾正偏離“做什么”的程序目標(biāo)。

2.信息有否誤讀：“怎么做”的信息，我讀透了嗎

【典型錯(cuò)題8】學(xué)校有一個(gè)正方形花壇，四周種了一圈綠籬，綠籬總長(zhǎng)28米。這個(gè)花壇的面積是多少？

學(xué)生錯(cuò)解：28×28=784（平方米） ，答：這個(gè)花壇的面積是784平方米。

學(xué)生在閱讀理解提取信息時(shí)，把“四周種了一圈綠籬，綠籬總長(zhǎng)28米”這一信息當(dāng)作花壇的邊長(zhǎng)了，所以造成了上述的錯(cuò)解。

3.程序有否出錯(cuò)：“怎么做”的程序，我到位了嗎

有些程序性知識(shí)典型錯(cuò)例，是由于學(xué)生“怎樣做”的程序不到位造成的。

比如，前面的“典型錯(cuò)題4”，用簡(jiǎn)便方法計(jì)算：[49]×2.8+7.2÷[94]，錯(cuò)誤的出現(xiàn)往往是沒(méi)有先把“7.2÷[94]”轉(zhuǎn)化成“7.2×[49]”這一前置環(huán)節(jié)而造成的。所以，針對(duì)這一錯(cuò)解，要讓學(xué)生先轉(zhuǎn)化，然后觀察數(shù)據(jù)特點(diǎn)，應(yīng)用相關(guān)的運(yùn)算定律進(jìn)行簡(jiǎn)算。

總之，程序性知識(shí)典型錯(cuò)題是學(xué)生在運(yùn)用數(shù)學(xué)“怎么做”知識(shí)時(shí)發(fā)生的錯(cuò)誤，這類(lèi)知識(shí)的錯(cuò)誤在實(shí)踐和研究中占大多數(shù)。我們只要把握這類(lèi)錯(cuò)題關(guān)于“怎么做”程序性的錯(cuò)因，進(jìn)而預(yù)設(shè)錯(cuò)因，巧用錯(cuò)例，改進(jìn)教學(xué)。

（浙江省紹興市上虞區(qū)百官小學(xué) 312300）endprint