【摘 要】培養(yǎng)思維品質(zhì)是發(fā)展智力與能力的突破口。合理設(shè)計(jì)和運(yùn)用“開放題”，不僅有利于引導(dǎo)學(xué)生探索多樣化的解題策略，而且能培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。 “開放題”“答案”開放，有利于在“分類”中培養(yǎng)思維的靈活性；有利于在“求異”中培養(yǎng)思維的深刻性；有利于在“直覺”中培養(yǎng)思維的創(chuàng)造性。

【關(guān)鍵詞】開放題；靈活性；深刻性；創(chuàng)造性

【基金項(xiàng)目】本文系全國教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃教育部重點(diǎn)課題（2014年度）“數(shù)學(xué)開放題學(xué)習(xí)對小學(xué)生思維發(fā)展影響的評測研究”（編號：DHA140327）和江蘇省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃重點(diǎn)資助課題“數(shù)學(xué)開放題融入小學(xué)數(shù)學(xué)常態(tài)課堂的研究”（編號：B-a/2016/02/14）的階段性研究性成果。

中圖分類號：G623.5 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1671-0568（2017）31-0012-03

數(shù)學(xué)從它產(chǎn)生的那一天起就與思維有著緊密的聯(lián)系，同時(shí)又以其內(nèi)在的結(jié)構(gòu)性、邏輯性、靈活性和創(chuàng)造性成為培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生思維的有效載體。合理設(shè)計(jì)和運(yùn)用“開放題”，不僅有利于引導(dǎo)學(xué)生探索多樣化的解題策略，而且能培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)。培養(yǎng)思維品質(zhì)是發(fā)展智力與能力的突破口。這即是“授人以魚不如授人以漁”。

一、“答案”開放，有利于在“分類”中培養(yǎng)思維的靈活性

思維的靈活性，它是指智力活動的靈活程度，包括思維起點(diǎn)靈活、過程靈活，概括遷移能力強(qiáng)，善于組合分析，結(jié)果往往是合理而靈活的結(jié)論，國外學(xué)者稱其為發(fā)散思維。在解答“開放題”時(shí)，在出現(xiàn)多種情況時(shí)，要引導(dǎo)學(xué)生充分考慮各種情況，學(xué)會用分類的思路進(jìn)行討論，這非常有利于培養(yǎng)思維的靈活性。

【例1】不同方向 不同答案

在一條公路上，客車和貨車同時(shí)從相距50千米的兩地開出?？蛙嚸啃r(shí)行40千米，貨車每小時(shí)行60千米，開出多少時(shí)間，兩車相距80千米？（如圖1）

【分析與解】

初讀本題，不可盲目思考、解答，而應(yīng)仔細(xì)分析，全面地思考，分多種情況一一考慮。

1. 客車和貨車同向而行

（1）貨車追客車。因?yàn)閮绍囈呀?jīng)相距50千米，如果兩車要相距80千米，那貨車應(yīng)比客車多行80+50=130千米，需130÷（60-40）=6.5（小時(shí)）。如圖2。

（2）客車追貨車。雖然客車比貨車速度慢，但因現(xiàn)在只相距50千米，則可讓客車去追貨車，使兩車相距80千米。那貨車比客車多行80-50=30（千米），則要用30÷（60-40）=1.5（小時(shí)）。如圖3。

2. 客車和貨車相向而行

就是讓客車和貨車先相向而行，待相遇后繼續(xù)行駛，使兩車相距80千米。此時(shí)，兩車共行80+50=130（千米），要用130÷（60+40）=1.3（小時(shí)）。如圖4。

3. 客車和貨車相背而行

即讓客車和貨車按相反方向行駛，使兩車之間的距離成為80千米。去掉已經(jīng)相距的50千米，還要行駛80-50=30（千米），需要30÷（60+40）=0.3（小時(shí)）。如圖5。

在此基礎(chǔ)上再引導(dǎo)學(xué)生試一試：一條公路邊的東西兩村相距500米，甲乙兩人同時(shí)從東西兩村出發(fā)，沿公路行走。甲每分鐘走60米，乙每分鐘走75米， 3分鐘后兩人之間的路程是多少米？

（1）在這道題中沒有告訴我們甲乙兩人的行走方向，所以解答這道題應(yīng)該分情況加以討論。（自己先畫一畫線段圖，想一想有幾種不同的情況？）

（2）想一想：如果把“3分鐘后兩人之間的路程是多少米？”改為“5分鐘后兩人之間的路程是多少米？”在四種不同情況中的結(jié)果各是多少？在解題思路上是否都相同？

【例2】不同分類 不同答案

倉庫里有以下四種規(guī)格的長方形、正方形。

①長0.6米，寬0.4米；②長0.6米，寬0.5米

③長0.5米，寬0.4米；④邊長0.4米

張師傅想從中選5張鐵皮，焊接成一個(gè)無蓋的長方體（或正方體）水箱，可以選哪幾種規(guī)格的鐵皮，各要選幾張？你能找到多少種不同的選法？在表中填一填。

【分析與解】

我們一般把長方體分成三類：正方體、沒有正方形的普通長方體、有相對兩個(gè)面是正方形的長方體。（1）正方體：選法一；（2）沒有正方形的普通長方體：選法二、選法三、選法四；（3）有相對兩個(gè)面是正方形的長方體：選法五、選法六、選法七、選法八。 8種選法，只有4種不同的容積。

反思：開放題的答案是豐富多彩的。不同的思考角度將會產(chǎn)生不同的解題思路或方法，體現(xiàn)出不同的思維方式和思維品質(zhì)。由于思考角度的不同，解決問題的方法也發(fā)生了變化。因此，在解決“開放題”時(shí)，在出現(xiàn)多種情況時(shí)，要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會用分類的思路進(jìn)行討論，培養(yǎng)思維的靈活性與開放性，這是數(shù)學(xué)嚴(yán)密性的一種體現(xiàn)。在教學(xué)時(shí)，要引導(dǎo)學(xué)生不盲目從事，不被局部現(xiàn)象所迷惑；要引導(dǎo)學(xué)生善于從不同的角度去思考，做到整體把握，全面分析，三思而后“答”。通過上例可以看出，同一問題往往有多種不同的答案。要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會多角度地思考問題，在分析時(shí)應(yīng)當(dāng)分類思考、有序列舉，自覺地去想“還有沒有其他答案？”

二、“答案”開放，有利于在“求異”中培養(yǎng)思維的深刻性

思維的深刻性，不僅表現(xiàn)在思維的邏輯性上，而且表現(xiàn)在思維的深度、廣度和難度上，因?yàn)槿说乃季S是語言的思維，是一種理性的認(rèn)識，它以概括和推理為指標(biāo)。不同的思考角度會產(chǎn)生不同的解題方法，體現(xiàn)出不同的思維層次?！伴_放題”要引導(dǎo)學(xué)生多角度思考，在“多思”中學(xué)會“多解”，在“求異”中培養(yǎng)思維的深刻性。

【例3】不同畫法 不同答案

甲乙兩人從A、B兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行。每人都在A、B兩地間不停地來回運(yùn)動。第一次在距離A地3千米的C處相遇，第二次在距離B地2千米的D處相遇。求A、B兩地間的距離。endprint

【分析與解】

從第一次相遇到第二次相遇間，甲、乙共行了兩個(gè)全程。那么，從開始到結(jié)束，甲乙兩人合走了三個(gè)全程。具體可以分以下三種情況討論：

（1）甲、乙各轉(zhuǎn)變一次方向，如圖6。

甲乙兩人合走一個(gè)全程時(shí)，甲行了3千米。那么，甲乙兩人合走三個(gè)全程時(shí)，甲就應(yīng)該行3×3=9（千米）。從圖2中看到甲共走了一個(gè)全程還多2千米，所以一個(gè)全程就是：9-2=7（千米）。

（2）甲的運(yùn)動方向未變，乙轉(zhuǎn)變了兩次方向。如圖7。

甲乙兩人合走一個(gè)全程時(shí)，甲行了3千米。那么，甲乙兩人合走三個(gè)全程時(shí)，甲就應(yīng)該行3×3=9（千米）。從圖3中看到甲共走了一個(gè)全程還差2千米，所以一個(gè)全程就是：9+2=11（千米）。

（3）乙的運(yùn)動方向未變，甲轉(zhuǎn)變了兩次方向。如圖8。

甲乙兩人合走一個(gè)全程時(shí)，甲行了3千米。那么，甲乙兩人共合走三個(gè)全程時(shí)，甲就應(yīng)該行3×3=9（千米）。從圖4中看到甲共走了三個(gè)全程還差2千米，所以一個(gè)全程就是：（9+2）÷3=（千米）

可見，用線段圖來畫一畫，數(shù)與形相結(jié)合，往往可以啟發(fā)我們?nèi)娣治鰡栴}，更加深入地解決問題。

【例4】不同挖法 不同答案

從一個(gè)棱長10厘米的正方體木塊挖去一個(gè)長10厘米、寬2厘米、高2厘米的小長方體，剩下部分的表面積是多少？

【分析與解】

一般思維：有三個(gè)思考角度，沿一條棱挖，剩下部分的表面積是：10×10×6-2×2×2=592（平方厘米）；在某個(gè)面挖，剩下部分的表面積是：10×10×6+10×2×2-2×2×2=632（平方厘米）；挖通某兩個(gè)對面，剩下部分的表面積是：10×10×6+10×2×4-2×2×2=672（平方厘米）。

求異思維：許多同學(xué)認(rèn)為就只有以上3個(gè)答案?！斑€有沒有其他答案呢？”實(shí)際上，如果在某個(gè)面斜著挖，剩下部分的表面積是：10×10×6+10×2×2+2×2×2=648（平方厘米）。

反思：“開放題”教學(xué)要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷探究思路的過程，注重引導(dǎo)巧思妙解，使學(xué)生經(jīng)歷下列過程：

（1）面對問題從“無辦法”到“有辦法”。要鼓勵(lì)學(xué)生結(jié)合具體問題，進(jìn)行大膽嘗試、假設(shè)、猜想、聯(lián)想，引導(dǎo)學(xué)生充分挖掘隱蔽條件，深入理解題意，抓住問題關(guān)鍵，合理解決問題。

（2）從“有辦法”到“辦法多”。在得到基本的解題思路和方法之后，又不能讓學(xué)生被這些基本解法所束縛，而要鼓勵(lì)學(xué)生能深入思考，敢于多角度、多方面、多層次地探索和發(fā)現(xiàn)，使學(xué)生敢于求異。

（3）從“辦法多”到能迅速捕捉到“機(jī)智的巧妙辦法”。教師要留給學(xué)生“探索、求異、創(chuàng)新“的余地，留給學(xué)生思考、想象和創(chuàng)造的空間，尊重和激勵(lì)學(xué)生的獨(dú)立思維方式，讓學(xué)生的智慧得以“閃光”。

三、“答案”開放，有利于在“直覺”中培養(yǎng)思維的創(chuàng)造性

思維的創(chuàng)造性、創(chuàng)造性思維、獨(dú)創(chuàng)性或創(chuàng)造力，可視為同義語。思維的創(chuàng)造性突出表現(xiàn)出五個(gè)特點(diǎn)：一是新穎、獨(dú)特且有意義的思維活動；二在內(nèi)容上，是思維加想象；三是在智力創(chuàng)造性或創(chuàng)造性思維中，新形象和新假設(shè)的產(chǎn)生帶有突然性，這叫“靈感”，靈感是人的全部高度積極的精神力量（高度注意），一般在“原型”啟發(fā)下凸顯出來，在中學(xué)階段有靈感的萌芽或初步表現(xiàn)；四是分析思維和直覺的統(tǒng)一，前者是按部就班的邏輯思維，后者則是直接領(lǐng)悟的思維。

結(jié)合“開放題”的學(xué)習(xí)，要引導(dǎo)學(xué)生從不同角度去思考問題，做到整體把握，全面分析，在“直覺思維”中培養(yǎng)思維的創(chuàng)造性。下面請看筆者十八年前的一則學(xué)生數(shù)學(xué)小論文：

【例5】答案是“豐富多彩”的

思維訓(xùn)練課上，老師出示一道題：用一張長40厘米、寬20厘米的長方形鐵皮做一只深5厘米的無蓋鐵皮盒（焊接處的鐵皮厚度不計(jì)），求這只鐵皮盒的容積。

這道題應(yīng)該難度不大，把鐵皮的四個(gè)角割去四個(gè)邊長為5厘米的正方形（如圖9），不就行了嗎？這樣這只鐵皮的容積就等于30×10×5=1500（立方厘米）

老師聽了學(xué)生的分析，夸獎(jiǎng)其思維敏捷，這時(shí)另一位學(xué)生說：“老師，我還有不同的解法和不同的答案?！薄安豢赡埽胁煌慕夥ㄎ蚁嘈?，可有不同的答案，我才不信呢！這又不是語文！”同學(xué)們爭執(zhí)起來。老師讓這位學(xué)生繼續(xù)說下去?！拔覀兛梢岳酶钛a(bǔ)方法，把長20厘米的一邊割掉兩個(gè)邊長為5厘米的正方形，并且把它補(bǔ)到另一側(cè)的中間（如圖10），這樣它的容積就是（40-5）×10×5=1750（立方厘米）

聽了他的分析，另一位學(xué)生站起來：“我還有更巧妙的解法，而且容積比你們還大！”“如果我們把這塊鐵皮平均分成4份（如圖11），補(bǔ)在另一個(gè)正方形的四邊上（如圖11），則它的容積為20×20×5=2000（立方厘米）

想不到數(shù)學(xué)題的答案會如此豐富多彩。通過這道題的學(xué)習(xí)，學(xué)生深深地體會到解題時(shí)要善于從不同角度去思考和探索，要敢于求異與創(chuàng)新，創(chuàng)造性地解決問題。

反思：上述三種解法，學(xué)生的思維形式同樣可以分成三種形式。第一種解法是“邏輯思維”形式，即由通常做長方體的過程，在四個(gè)角剪去4個(gè)正方形，得出一個(gè)無蓋長方體。這樣借助一般的方法，從中培養(yǎng)了學(xué)生邏輯思維能力。這類學(xué)生具有“分析型”思維風(fēng)格。第二種解法是“形象思維”形式。在解法1的基礎(chǔ)上，有四個(gè)角剪小正方形想到盡可能地不浪費(fèi)材料，即由觀察圖形，讓圖形運(yùn)動起來，從而獲得問題解決，培養(yǎng)了學(xué)生的形象思維能力。這類學(xué)生具有“直觀型”思維風(fēng)格。第三種解法是“直覺思維”形式。憑“直覺”想到，將長方體的底面做成一個(gè)正方形，不僅材料無浪費(fèi)，而且體積可以變得最大。這種解法深刻而富有創(chuàng)造性。這類學(xué)生具有“整合型”思維風(fēng)格。

綜上所述，結(jié)合“開放題”教學(xué)，要引導(dǎo)學(xué)生不盲目從事，不被局部現(xiàn)象所迷惑；要引導(dǎo)學(xué)生會多角度地思考問題，讓學(xué)生的智慧在開放思維中得以“閃光”，從而培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性、深刻性和創(chuàng)造性。以真正落實(shí)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)所提出的理念：由于學(xué)生所處的文化環(huán)境、家庭背景和自身思維方式的不同，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動是一個(gè)生動活潑的、主動的和富有個(gè)性的過程。教學(xué)中長期堅(jiān)持這樣引導(dǎo)或訓(xùn)練，對于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力，將起著十分積極的作用。

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（策劃人：楊傳岡 編輯：胡 璐）endprint