【摘 要】高中物理教學(xué)中，牛頓第二定律的表達(dá)式的推導(dǎo)過(guò)程是通過(guò)實(shí)驗(yàn)結(jié)論，直接得到，沒(méi)有嚴(yán)格的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，與其類似的還有萬(wàn)有引力定律、歐姆定律的得出。文章從實(shí)驗(yàn)結(jié)論得到的比例關(guān)系出發(fā)用數(shù)學(xué)方法推導(dǎo)出，并用類似的方法推導(dǎo)出萬(wàn)有引力的數(shù)學(xué)表達(dá)式。

【關(guān)鍵詞】牛頓第二定律 萬(wàn)有引力定律 二元函數(shù)

引言：高中物理教材中牛頓第二定律的得出是先通過(guò)實(shí)驗(yàn)探究得到，綜合實(shí)驗(yàn)中得到的兩個(gè)關(guān)系，得到下述結(jié)論：

物體的加速度跟作用力成正比，跟物體的質(zhì)量成反比，且加速度的方向跟引起這個(gè)加速度的力的方向相同。

公式表示：。

課本上的推導(dǎo)過(guò)程看似順理成章，可是很多學(xué)生對(duì)這個(gè)綜合過(guò)程存在著很大疑問(wèn)。高一學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和思維習(xí)慣，很多學(xué)生對(duì)比例式理解不是很深刻，由很可能綜合得出，因此教材上的這種忽略掉數(shù)學(xué)推導(dǎo)的過(guò)程對(duì)一部分學(xué)生造成了很大的認(rèn)知障礙，導(dǎo)致后面學(xué)習(xí)萬(wàn)有引力定律的時(shí)候心里也一直存在著疑問(wèn)，似懂非懂，甚至一些物理老師也持有相同的疑問(wèn)。鑒于以上問(wèn)題，本文對(duì)課本上牛頓第二定律、萬(wàn)有引力定律以及歐姆定律的推導(dǎo)過(guò)程做了以下探究。

1、牛頓運(yùn)動(dòng)定律表達(dá)式的數(shù)學(xué)推導(dǎo)

先通過(guò)實(shí)驗(yàn)得到結(jié)論，可見(jiàn)加速度a是關(guān)于外力F和質(zhì)量m的二元函數(shù)。

由牛頓第一定律：當(dāng)物體合外力為零時(shí)，物體維持原有運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，加速度為零，因此可將寫(xiě)成

①，其中C1為質(zhì)量m的函數(shù)；

當(dāng)物體的質(zhì)量很大接近無(wú)窮時(shí)，有限的合外力產(chǎn)生的加速度無(wú)限接近零，因此可將寫(xiě)成：

②，其中C2為合外力F的函數(shù)。

由①和②可得：

變形得：

令，其中k為常數(shù)，

可得：③④

將③或④帶入①或者②

可得

即

以高中學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，這個(gè)推導(dǎo)過(guò)程不難理解，也比較嚴(yán)謹(jǐn)，相對(duì)于課本上的講法，很多學(xué)生更接受這種證明方法。

同理，也可以用相同的方法由實(shí)驗(yàn)結(jié)論，，推導(dǎo)出歐姆定律。

2、萬(wàn)有引力定律表達(dá)式的數(shù)學(xué)推導(dǎo)

2.1 太陽(yáng)對(duì)行星的引力

太陽(yáng)作為中心天體，行星繞著太陽(yáng)的運(yùn)動(dòng)近似看作圓軌道，那么，太陽(yáng)對(duì)行星的引力，就充當(dāng)行星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心力。也就是說(shuō)，可以根據(jù)向心力的公式得到太陽(yáng)對(duì)行星的引力：

開(kāi)普勒行星第三定律：，代入上式，得到：。

可得結(jié)論：，其中m為行星的質(zhì)量，r為行星到太陽(yáng)的距離。

寫(xiě)成等式：，

2.2 行星對(duì)太陽(yáng)的引力

在上述結(jié)論中，m為受力天體的質(zhì)量。但根據(jù)牛頓第三定律，從作用的相互性上看，太陽(yáng)也應(yīng)該是受力天體，也應(yīng)該遵循類似的規(guī)律。

可得結(jié)論：，其中M為太陽(yáng)的質(zhì)量，r為太陽(yáng)到行星的距離。

寫(xiě)成等式：，

2.3 太陽(yáng)與行星間的引力

將寫(xiě)成等式：⑤，其中C1為M的函數(shù)；

將寫(xiě)成等式：⑥，其中C2為m的函數(shù)。

由⑤⑥得

變形得

令

可得⑦⑧

將⑦或⑧帶入⑤或⑥

得到結(jié)論：

證明過(guò)程與牛頓第二定律的證明過(guò)程基本相同。

3、結(jié)束語(yǔ)

中學(xué)物理中牛頓第二定律和歐姆定律是建立在（轉(zhuǎn)下頁(yè)）（接上頁(yè)）實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，萬(wàn)有引力定律是在開(kāi)普勒第三定律和牛頓運(yùn)動(dòng)定律的基礎(chǔ)上推導(dǎo)而出。但是高中課本中由實(shí)驗(yàn)所得比例關(guān)系得到最終數(shù)學(xué)表達(dá)式的過(guò)程處理得過(guò)于模糊。高中教學(xué)活動(dòng)中學(xué)生出現(xiàn)的問(wèn)題說(shuō)明牛頓第二定律的推導(dǎo)過(guò)程需要改進(jìn)補(bǔ)充。為了建立實(shí)驗(yàn)結(jié)果和最終表達(dá)式之間比較嚴(yán)謹(jǐn)邏輯過(guò)程，可以用本文的數(shù)學(xué)方法加以推導(dǎo)，對(duì)課本中牛頓第二定律等結(jié)論的得出過(guò)程加以補(bǔ)充。此方法適用于所有高中階段以比例方式表述的物理規(guī)律的數(shù)學(xué)表達(dá)式的得出，可以舉一反三，使學(xué)生對(duì)這一類規(guī)律理解更加深刻。