【摘 要】本文通過對面積法（及其應(yīng)用）的介紹，使學(xué)生了解面積法在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用，并使學(xué)生能應(yīng)用（構(gòu)造）面積法進行解題，以培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力及綜合解題能力。

【關(guān)鍵詞】面積法 面積關(guān)系 構(gòu)造面積法

現(xiàn)行的課本中沒有明確的面積（方）法的概念，但作為一種重要的數(shù)學(xué)方法，在初中數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用。當在某些問題中引入面積法后，問題會變得簡捷，有出奇制勝、事半功倍之效。

面積法，就是在處理一些數(shù)學(xué)問題時，以考慮面積作為證明或解答的出發(fā)點。具體來說，就是借助幾何圖形中邊、角與面積的關(guān)系，利用問題中的一些己知條件將數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為與面積有關(guān)的問題，然后利用與面積有關(guān)的代數(shù)手段來解決問題。

一、面積法在解題中的應(yīng)用

1、利用面積法證明線段相等

例1.已知：如圖1，△ABC中，∠A為銳角，AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E。求證：BD=CE。

分析：此題運用三角形全等可以解決，但考慮到有“高”，不妨用面積法來試試，可用來完成。

證明：∵ △ABC中，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E

∴

又 ∵ AB = AC

∴ BD = CE

拓展1：如圖2，等腰△ABC中，AB=AC，D為底邊BC的中點，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E、F。

求證：DE=DF。

分析：此題用三角形全等可完成，但題中出現(xiàn)兩條“垂線段”，

可考慮面積法，連接AD，則S△ABD=S△ACD，由AB=AC，可得DE=DF。

2、利用面積法證明一些線段關(guān)系（幾何等式）

例2.如圖3，已知：△ABC中，AB=AC，P為底邊BC上一點，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，BF⊥AC于F，求證：PD+PE=BF。

分析：此題可構(gòu)造矩形（過P作BF的垂線）來證明，但較麻煩?？紤]到題中有三條“垂線段”，可嘗試面積法。連接AP，根據(jù)S△ABC=S△ABP+S△ACP，結(jié)合AB=AC，可得證。

證明：連接AP

∵BF⊥AC于F ∴

∵PD⊥AB于D，PE⊥AC于E

∴，

∵S△ABC =S△ABP+S△ACP

∴

又∵AB=AC ∴PD+PE=BF

拓展2：如圖4，若P為 △ABC的底邊BC的延長線上一點，其他條件不變，則例2中的結(jié)論仍然成立嗎？若成立，請說明理由；若不成立，請寫出正確的結(jié)論，并證明。

分析：雖然題目條件發(fā)生了變化，但思路不變，方法不變，

還是用面積法。連接AP，根據(jù)S△ABC=S△ABP-S△ACP，

結(jié)合AB=AC，可得到正確的結(jié)論：PD-PE=BF。

例3.如圖5，O是正三角形ABC內(nèi)任一點，OP⊥BC于P，OQ⊥AC于Q，OR⊥AB于R，AH⊥BC于H。求證：OP+OQ+OR=AH。

分析：考慮到題中出現(xiàn)了三條“垂線段”和一條“高”，可嘗試面積法。連結(jié)PA、PB、PC，根據(jù)S△ABC=S△ABP+S△BCP+S△ACP，由AB=BC=AC，可得證PD+ PE+PF=AH。

證明：連接OA、OB、OC。

∵OP⊥BC

∴

同理有，

由于，故BC·OP+AB·OR +AC·OQ=BC·AH

又∵ΔABC是正三角形，∴AB=BC=AC，從而OP+OQ+OR=AH。

拓展3：如圖6，若P是等邊△ABC外部一點，其他條件不變，例3中的結(jié)論仍然成立嗎？若成立，請說明理由；若不成立，請寫出正確的結(jié)論，并說明理由。

分析：此題的條件雖然發(fā)生了變化，但是思路、方法不變，還是應(yīng)用面積法。連結(jié)PA、PB、PC，根據(jù)

S△ABC=S△ABP+S△ACP-S△BCP，由AB=BC=AC，

可得正確結(jié)論：PD + PF-PE= AH 。

3、利用面積法進行求值

例4.如圖7，已知：在梯形ABCD中，DC//AB，M為腰BC上的中點，梯形ABCD的面積為12，求△ADM的面積。

分析：由M為腰BC的中點可想到過M作底的平行線MN，則MN為其中位線，再利用平行線間的距離相等，設(shè)梯形的高為h ，則

證明：過M作MN // AB

∵M為腰BC的中點 ∴ MN是梯形的中位線

設(shè)梯形的高為h，，則

又∵

∴

例5.如圖8，梯形ABCD被對角線分為4個小三角形，已知△AOB和△BOC的面積分別為25cm2和35cm2，求梯形的面積。

分析：由共邊比例定理可知，，，而△ABO∽△CDO，所以，進而求出，最終求出。

解：∵AB // CD ∴∠BAO=∠DCO，

∠ABO=∠CDO

∴△ABO∽△CDO ∴

∵， ∴

∴

∴

二、構(gòu)造面積法解題

例5.如圖9，在△ABC中，已知BC、AC邊上的中線AD、BF交于M。

求證：。

證明：連結(jié)CM，過B作BG⊥AD交AD延長線于G，則

∴

又∵，∴，

而，∴。

（當然，這里也可以利用共邊比例定理得

）

例6.如圖10，已知平行四邊形ABCD中，AM=CN，求證：點B到AM、CN的距離相等。

分析：此題中具有相等、平行的條件，且是求證從一點到兩相等線段的距離相等，故可以考慮用“等底等高的兩個三角形面積相等”的原理給予證明。

證明：如圖，過點B向AM、CN作垂線，垂足分別是P、Q，連接BM、BN。

∵四邊形ABCD是平行四邊形

∴，

∴

又∵，，且AM=CN，

∴ BP=BQ，即B到AM，CN的距離相等。

三、小結(jié)

通過以上的例題，我們發(fā)現(xiàn)：根據(jù)題目中的已知條件，通過分析其與面積的關(guān)系，可以將問題轉(zhuǎn)化為面積關(guān)系，最后通過對面積的計算等來進行解題。所以說，面積法是解題的一個好方法。