潘明珍

摘 要：數(shù)學(xué)史是數(shù)學(xué)文化的重要組成部分，是數(shù)學(xué)教學(xué)的指南。在數(shù)學(xué)教學(xué)中精挑、遴選、鏈接、尋繹和融合數(shù)學(xué)史，已經(jīng)成為國(guó)際數(shù)學(xué)課程與教學(xué)改革的趨勢(shì)。有效運(yùn)用數(shù)學(xué)史，能夠彰顯數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)，顯現(xiàn)人類(lèi)探索數(shù)學(xué)知識(shí)的關(guān)鍵步子，促進(jìn)兒童理解數(shù)學(xué)知識(shí)，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法，形成數(shù)學(xué)的精神和品格。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)教學(xué)；數(shù)學(xué)史；數(shù)學(xué)文化

數(shù)學(xué)史是數(shù)學(xué)文化的重要組成部分，凝聚著人類(lèi)的“生命·實(shí)踐”活動(dòng)的智慧結(jié)晶。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師以數(shù)學(xué)史為載體、為媒介，可以讓學(xué)生更好地理解和掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，感受和體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的誕生歷程，感悟科學(xué)家的思維方式，進(jìn)而有效地獲得數(shù)學(xué)思想方法的啟迪。20世紀(jì)70年代，數(shù)學(xué)歷史與數(shù)學(xué)教育關(guān)系問(wèn)題研究興起（簡(jiǎn)稱(chēng)HPM），讓數(shù)學(xué)史在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)有地位逐漸得以確立。

■一、問(wèn)題觀照：數(shù)學(xué)史何以淪落為“點(diǎn)心”

在一些公開(kāi)課上，我們大概不會(huì)對(duì)這樣的場(chǎng)景感到陌生：教師在課末增加一個(gè)介紹數(shù)學(xué)史的環(huán)節(jié)，比如數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)展史，或者是數(shù)學(xué)的某些歷史名題，又或者是數(shù)學(xué)家的故事等等。如此，似乎為數(shù)學(xué)課堂教學(xué)增添了一絲文化的氣息。即便是“畫(huà)蛇添足”，也似乎給人一種“畫(huà)龍點(diǎn)睛”的印象。在日常教學(xué)中，許多教師要么讓學(xué)生匆匆閱讀數(shù)學(xué)史，要么讓數(shù)學(xué)史留待學(xué)生課后閱讀，這樣的教學(xué)似乎傳達(dá)了一個(gè)隱性信息：數(shù)學(xué)史可有可無(wú)，是數(shù)學(xué)教學(xué)的尷尬插曲。數(shù)學(xué)史何以淪落為正餐后的“點(diǎn)心”，何以淪落為可有可無(wú)的“插曲”，何以淪落為食之無(wú)味棄之可惜的“調(diào)味品”“附屬品”？

1.教材補(bǔ)充“數(shù)學(xué)史”

蘇教版教材每一冊(cè)都安排了數(shù)學(xué)史的內(nèi)容，但這些內(nèi)容很零散，而且篇幅很小。并且，這些內(nèi)容的呈現(xiàn)形式單一，一般都在教材知識(shí)學(xué)習(xí)后，附錄一段史話、故事等，這段史話通常在“你知道嗎”欄目中呈現(xiàn)。似乎，數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)知識(shí)是相互剝離的兩張皮，數(shù)學(xué)史的點(diǎn)染淺嘗輒止，顯得很單薄、很零散。教材補(bǔ)充“數(shù)學(xué)史”，似乎數(shù)學(xué)史只是對(duì)相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)的補(bǔ)充，對(duì)相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)的點(diǎn)綴。

2.考試不考“數(shù)學(xué)史”

一直以來(lái)，人們認(rèn)為數(shù)學(xué)是一門(mén)理性的學(xué)科。因此，在對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)進(jìn)行評(píng)價(jià)時(shí)，著眼點(diǎn)往往是知識(shí)、技能的掌握與應(yīng)用。數(shù)學(xué)史僅僅被作為數(shù)學(xué)文化的有機(jī)組成部分，而沒(méi)有進(jìn)入學(xué)生學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)的視野。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)史僅僅被作為一種外在裝飾而被忽略。教師從不主動(dòng)思考數(shù)學(xué)史對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的啟迪，在數(shù)學(xué)教學(xué)中往往采用“標(biāo)簽式”告知。由此可見(jiàn)，數(shù)學(xué)史在教學(xué)中是被邊緣化的。

3.教師不懂“數(shù)學(xué)史”

學(xué)校教師的教學(xué)往往依靠教參、備課筆記，這些書(shū)籍往往著眼于兒童的年齡特征和接受心理，而沒(méi)有對(duì)知識(shí)的產(chǎn)生、知識(shí)的本源、知識(shí)的流向即數(shù)學(xué)史進(jìn)行追問(wèn)。數(shù)學(xué)教師對(duì)數(shù)學(xué)史知識(shí)掌握不夠，對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)史關(guān)系的模糊認(rèn)識(shí)使得他們對(duì)數(shù)學(xué)史較為陌生，因此在數(shù)學(xué)教學(xué)中很少涉及數(shù)學(xué)史的介紹。

■二、回歸落實(shí)：如何讓數(shù)學(xué)史成為“正餐”

數(shù)學(xué)史應(yīng)該以怎樣的姿態(tài)走進(jìn)數(shù)學(xué)教學(xué)？數(shù)學(xué)史如何成為“正餐”？筆者認(rèn)為，數(shù)學(xué)史走進(jìn)數(shù)學(xué)教學(xué)不應(yīng)該是“為歷史而歷史”，而應(yīng)該是“為教學(xué)而歷史”?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）明確指出，“數(shù)學(xué)文化作為教材的組成部分，應(yīng)滲透在整套教材中”。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中融入數(shù)學(xué)史，可以讓數(shù)學(xué)課堂重新煥發(fā)應(yīng)有的生命活力。

1. 在感知中凸顯歷史

數(shù)學(xué)歷史是數(shù)學(xué)文化的重要組成部分。著名數(shù)學(xué)教育家陳省身教授認(rèn)為，“了解歷史的變化是理解這門(mén)科學(xué)的一個(gè)步驟”。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，一些重要的數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展史常常被教師所忽視，由此造成了數(shù)學(xué)教學(xué)與數(shù)學(xué)史的斷層。從根本上說(shuō)，每一個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)的背后都有著較為豐富的歷史，教師可以將數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生的背景、趣聞逸事等展示給學(xué)生，讓學(xué)生感知，在感知中體認(rèn)歷史的意義和價(jià)值。通過(guò)感知，了解人類(lèi)數(shù)學(xué)創(chuàng)造的真實(shí)歷程，體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)展。

例如教學(xué)蘇教版四年級(jí)下冊(cè)的“用計(jì)算器計(jì)算”，誠(chéng)然，本課的教學(xué)重點(diǎn)是讓學(xué)生學(xué)會(huì)用計(jì)算器探索規(guī)律，但筆者認(rèn)為，在本課教學(xué)中讓學(xué)生了解到人類(lèi)計(jì)算工具的發(fā)展歷程同樣是應(yīng)有之義。從遠(yuǎn)古時(shí)期人類(lèi)的結(jié)繩計(jì)數(shù)到我國(guó)勞動(dòng)人民發(fā)明的“籌算”，再到算盤(pán)，再到計(jì)算機(jī)、智能手機(jī)等。學(xué)生在感知計(jì)算工具的發(fā)展進(jìn)程中，一種科學(xué)的精神直抵內(nèi)心。在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生展望未來(lái)的計(jì)算工具，激發(fā)學(xué)生對(duì)計(jì)算工具的創(chuàng)造欲望。

學(xué)生感知、理解數(shù)學(xué)史的過(guò)程也是一個(gè)數(shù)學(xué)文化滲透的過(guò)程。將數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)之中，讓學(xué)生領(lǐng)略數(shù)學(xué)歷史長(zhǎng)河中的風(fēng)景，能夠開(kāi)闊學(xué)生的數(shù)學(xué)視野，端正學(xué)生的學(xué)習(xí)態(tài)度，有助于學(xué)生了解到數(shù)學(xué)的價(jià)值，培育學(xué)生的數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)。

2. 在比較中理解歷史

審視數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過(guò)程，無(wú)疑將有助于深化學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念、規(guī)律本質(zhì)的理解。數(shù)學(xué)知識(shí)的探索與發(fā)現(xiàn)在數(shù)學(xué)史中是充滿(mǎn)著艱辛的，因此從某種意義上說(shuō)，數(shù)學(xué)史的融入就是要讓兒童體驗(yàn)并比較數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決路徑。只有在比較中，孩子們才能真正理解數(shù)學(xué)知識(shí)的原生價(jià)值。兒童的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不是數(shù)學(xué)與歷史的簡(jiǎn)單疊加，而必須是在思辨和追溯中領(lǐng)略人類(lèi)創(chuàng)造方法的獨(dú)特意義和價(jià)值。

如教學(xué)“用數(shù)對(duì)確定位置”（蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材第8冊(cè)），教師先讓學(xué)生自己創(chuàng)造方法確定位置，于是有學(xué)生用文字表述如“第二排第三列”“第二行第三列”“第二行第三排”等，有學(xué)生用數(shù)字表示如“23”“32”等，還有學(xué)生用符號(hào)表示如“2↑，3→”等。五花八門(mén)的確定位置的方式，一方面讓學(xué)生經(jīng)歷了確定位置的過(guò)程，另一方面激發(fā)了學(xué)生用統(tǒng)一方法確定位置的內(nèi)在需要。在此基礎(chǔ)上，教師向孩子們介紹笛卡爾用數(shù)對(duì)確定位置的過(guò)程，他們立刻被笛卡爾簡(jiǎn)潔卻又無(wú)可爭(zhēng)議的確定位置的方法所吸引。在比較中，不僅豐富了數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)涵，為學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)增添了絢麗色彩，而且在符號(hào)創(chuàng)造過(guò)程中培育了學(xué)生的創(chuàng)新思維，引發(fā)了學(xué)生對(duì)確定位置的深度思考。

數(shù)學(xué)教學(xué)離不開(kāi)數(shù)學(xué)史，只有從數(shù)學(xué)知識(shí)誕生的角度來(lái)對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)進(jìn)行精致化加工，才能讓兒童“知其然，更知其所以然”。對(duì)于這樣的看似“規(guī)定性知識(shí)”，必須讓兒童領(lǐng)略到規(guī)定背后的獨(dú)特意義和價(jià)值，領(lǐng)會(huì)規(guī)定背后獨(dú)特的思維與想象。endprint

3. 在探究中重構(gòu)歷史

著名數(shù)學(xué)教育家龐加萊說(shuō)，“動(dòng)物學(xué)家認(rèn)為動(dòng)物胚胎在發(fā)育的短期內(nèi)，歷經(jīng)其祖先進(jìn)化的一切關(guān)鍵年代，人類(lèi)思維的發(fā)展也是如此”。從這個(gè)意義上說(shuō)，數(shù)學(xué)歷史是數(shù)學(xué)教學(xué)的指南。而另一位著名數(shù)學(xué)教育家波利亞也曾發(fā)表過(guò)類(lèi)似的觀點(diǎn)，即“只有理解人類(lèi)如何獲得某些事實(shí)或概念的知識(shí)，我們才能對(duì)人類(lèi)的孩子應(yīng)該如何獲得這樣的知識(shí)做出更好的判斷”。因此，數(shù)學(xué)教學(xué)必須引導(dǎo)學(xué)生重蹈人類(lèi)探究數(shù)學(xué)知識(shí)的關(guān)鍵步伐，讓兒童在探究中重構(gòu)歷史。

例如我校的一位教師執(zhí)教“用字母表示數(shù)”（蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材第9冊(cè)），設(shè)計(jì)了三個(gè)活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生循著歷史的步伐同步學(xué)習(xí)。首先是讓學(xué)生理解字母可以表示變化的數(shù)，從1個(gè)三角形需要3根小棒，2個(gè)三角形需要2×3根小棒，到a個(gè)三角形需要a×3根小棒，學(xué)生感受并體驗(yàn)到變量需要用字母表示。在此基礎(chǔ)上，教師出示一個(gè)長(zhǎng)為a，寬為4的長(zhǎng)方形，問(wèn)面積是多少？啟發(fā)學(xué)生用縮寫(xiě)的符號(hào)“4a”表示長(zhǎng)方形的面積。接著，教師用一個(gè)開(kāi)放性的問(wèn)題，向孩子們滲透代數(shù)思想，如果a表示書(shū)的（ ），那么6a就表示（ ）。不難看到，教師的教學(xué)循著人類(lèi)對(duì)代數(shù)的探索，讓學(xué)生相應(yīng)地經(jīng)歷了文辭代數(shù)階段、縮寫(xiě)代數(shù)階段和符號(hào)代數(shù)階段。教師無(wú)痕地將代數(shù)發(fā)展史融入數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)中，讓學(xué)生感受并體驗(yàn)到字母不僅可以表示未知數(shù)，也可以表示已知數(shù)，不僅可以表示變化的數(shù)，也可以表示確定的數(shù)。

數(shù)學(xué)教學(xué)離不開(kāi)數(shù)學(xué)史，但在數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用數(shù)學(xué)史卻不能簡(jiǎn)單地移植和照搬。一方面，我們要充分認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)史的價(jià)值，提升自己的數(shù)學(xué)史素養(yǎng)；另一方面，我們要依循數(shù)學(xué)史，對(duì)數(shù)學(xué)素材進(jìn)行精致化加工，以學(xué)生可接受、可理解的方式展開(kāi)教學(xué)，在學(xué)生的主動(dòng)探究中重構(gòu)數(shù)學(xué)史。

4. 在思考中創(chuàng)造歷史

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）明確指出，“積極思考、動(dòng)手操作和實(shí)踐、自主探索、合作交流都是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要方式”。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要讓歷史返回現(xiàn)場(chǎng)，讓學(xué)生置身于歷史情境之中，再現(xiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決過(guò)程。通過(guò)思考，激發(fā)學(xué)生思之興趣，開(kāi)發(fā)學(xué)生思之潛能，引導(dǎo)學(xué)生在思中創(chuàng)造歷史。

例如教學(xué)“運(yùn)算律”（蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材第8冊(cè)），在學(xué)生得出了加法的交換律和結(jié)合律后，教師可以出示經(jīng)典的“高斯趣題”——1+2+3+…+99+100，首先要還原高斯的思維歷程，引導(dǎo)學(xué)生觀察、思考：這些數(shù)字，從左往右看，后面的數(shù)依次比前面的數(shù)如何？從右往左看，前面的數(shù)依次比后面的數(shù)如何？一個(gè)個(gè)相加太麻煩，怎么辦？首尾相加，每一組的和都是101，這樣共有多少組？孩子們?cè)谶@個(gè)過(guò)程中，主動(dòng)運(yùn)用加法交換律和結(jié)合律，經(jīng)歷高斯的思維歷程，在思考中還原高斯思維方式、思維品質(zhì)，經(jīng)歷對(duì)數(shù)字之間的直覺(jué)，對(duì)解題方法的靈活變通，對(duì)簡(jiǎn)約方法的追尋等。

重演數(shù)學(xué)知識(shí)的產(chǎn)生過(guò)程，重演數(shù)學(xué)家數(shù)學(xué)思考的心路歷程是進(jìn)行“建構(gòu)式”數(shù)學(xué)探究的有效路徑。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，讓學(xué)生在思考中創(chuàng)造歷史，就是讓學(xué)生探究數(shù)學(xué)家展開(kāi)數(shù)學(xué)思考的路徑，這將有助于學(xué)生感悟科學(xué)家面對(duì)問(wèn)題時(shí)選擇方法的獨(dú)特智慧。

數(shù)學(xué)教學(xué)因?yàn)閿?shù)學(xué)史而厚重，數(shù)學(xué)史因?yàn)閿?shù)學(xué)教學(xué)而修遠(yuǎn)。讓數(shù)學(xué)教學(xué)返回歷史的現(xiàn)場(chǎng)，讓學(xué)生領(lǐng)略數(shù)學(xué)史實(shí)，體驗(yàn)數(shù)學(xué)探究的艱辛，感知數(shù)學(xué)探究的路徑，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的思想方法，由此，數(shù)學(xué)與歷史同向共促，數(shù)學(xué)與人文相得益彰，數(shù)學(xué)歷史照亮學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)現(xiàn)實(shí)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。endprint