楊凱明

摘 要：數(shù)學思想的教學，是提高學生計算能力的重要教學途徑。教師只有在每堂課的教學中適時、適當?shù)伢w現(xiàn)思想方法的教育目標，才能讓學生在潛移默化中能夠日積月累。而只有學生掌握了數(shù)學思想方法，知識才能真正做到融會貫通，全面提高思維品質(zhì)。

關(guān)鍵詞：計算教學；數(shù)學思想；滲透

數(shù)學思想，是一種以數(shù)學的角度看待事物，以解決數(shù)學問題的方法解決事物的思想。數(shù)學思想是解決數(shù)學問題的根本思想。如果學生具備了數(shù)學思想，就能應用這套思想來解決一切數(shù)學問題；反之，如果不具備數(shù)學思想，就會找不到解決問題的方法。古人云：“泰山不讓土壤，故能成其大；河海不擇細流，故能就其深。”數(shù)學思想是一種非常宏觀的思想。因此，教師要在計算教學中滲透數(shù)學思想，使學生能以數(shù)學思想的方式找到計算的規(guī)律。

在小學計算部分的教學中，教材上貫穿例題的教學內(nèi)容以培養(yǎng)學生的計算技能為主，學生在學習課本中的知識時，獲得的是計算技能。然而，學生如果僅僅只具備計算技能，是不能理解技能形成的原理、應用的思想的。假如學生不理解計算技能背后的數(shù)學思想，則可能無法靈活地應用計算技能。在課本沒有重點描述數(shù)學思想的情形下，教師要通過數(shù)學思想的滲透讓學生一邊掌握技能，一邊理解技能背后呈現(xiàn)的數(shù)學思想，令學生意識到看似簡單的“計算教學”，往往蘊含了非常豐富的有關(guān)數(shù)學思想的教育素材。因此，教師應充分抓住計算教學中的素材，使其中的數(shù)學思想方法得到挖掘和滲透。

一、縱橫聯(lián)系，挑亮“類比思想”的火焰

類比推理，又可以稱之為不完整的推理。完整的推理要求人們掌握全部的推理素材，應用一種邏輯來推理素材與素材之間的內(nèi)在聯(lián)系，然后搭出一個嚴謹?shù)耐评砜蚣?，得到一個概念結(jié)論。而類比推理沒有這樣嚴謹?shù)囊?，它只要求人們找出素材與素材之間的邏輯聯(lián)系，然后用一個素材的原理來推理另一個素材的原理。人們應用類比推理的方法來理解事物時，不要求推理的過程非常嚴謹，允許人們在推理以后驗證推理是否合理。類比推理，是人們遷移知識的重要思想。筆者整理了類比法在小學數(shù)學“計算教學”中的滲透，主要有幾塊內(nèi)容（如圖1）。

如四年級上冊《小數(shù)的加、減、乘混合運算》（教材如圖2）就是將小數(shù)的四則混合運算、運算律與整數(shù)進行了類比。

在學生獨立解答的基礎(chǔ)上進行交流，一般學生會出現(xiàn)分步與綜合的不同列式，結(jié)合分步列式中每一步的意義，教師提出“小數(shù)四則運算的順序是怎樣的”的問題。結(jié)合解決問題說說算式中每步的意義，還可以幫助學生體會類似“2.8×3+6.1×3”的混合算式，兩步乘法可以同時進行。之后，教師再引導學生解讀智慧老人的話，想一想：整數(shù)中我們學過哪些運算律？剛才的計算過程中有沒有用到運算律？在不斷反思和整數(shù)四則混合運算及運算律的類比中，明晰整數(shù)的四則混合運算順序和運算律在小數(shù)四則混合運算中仍然適用。

二、研讀教材，播撒“函數(shù)思想”的種子

在小學數(shù)學教材中，沒有正式引入函數(shù)概念與函數(shù)關(guān)系式。然而，小學數(shù)學的公式便可以視作一種簡單的函數(shù)模型。教師可引導學生從公式著手理解函數(shù)的思想?，F(xiàn)應用常見的計算公式說明小學數(shù)學的計算教學中處處滲透著函數(shù)思想（見表1）。

我們一起來看下北師大版二年級上冊《做個乘法表》（如圖3）。

學生完成表格后，先讓學生自己觀察，說說發(fā)現(xiàn)了什么？教師有意識地適當引導觀察每列算式的兩個乘數(shù)、積的特點，可以發(fā)現(xiàn)：乘法表中的每一列乘法算式，都是一個乘數(shù)不變，積隨著另一個乘數(shù)的變化而變化。于無形中孕育、播撒函數(shù)思想的種子。

在整理完乘法表格后，九九乘法表是要求學生背誦的。學生理解了積和乘數(shù)之間的這種關(guān)系，比如背誦時記住了“四七二十八”，忘記了“五七三十五”，就可以想想28+7=35，馬上就背出來了。教師引導學生理解九九乘法表，實際上就是引導學生理解函數(shù)的思想。教師可引導學生把計算的結(jié)果當作y，把被乘數(shù)當作x，把乘數(shù)當作系數(shù)，讓學生從y=1x，y=2x，y=3x，…來理解乘法表。學生在理解乘法表的時候會發(fā)現(xiàn)y與x存在一種關(guān)系，九九乘法表的關(guān)系是以1，2，…， 9的關(guān)系遞增的。結(jié)合這一函數(shù)公式，學生便能理解九九乘法表的真正意思，從而結(jié)合學過的加法知識迅速記憶九九乘法表。

對于小學生來說，要理解函數(shù)思想還有些困難，這是由于小學生的抽象思維能力還沒有形成，很難從宏觀的、抽象的角度來理解知識。然而教師不能因為學生的抽象思維能力不足而不引導學生形成函數(shù)思想，反而教師要引導學生在學習各種公式時，應用函數(shù)思想來理解公式。從心理學的角度來看，只要學生長期受到這樣的訓練，就能慢慢內(nèi)化這種思想，并且以后能本能地應用這種思想來解決問題。

三、靈活運用，放射“數(shù)形結(jié)合思想”的光芒

數(shù)形結(jié)合思想就是將抽象的數(shù)學語言與直觀的圖形結(jié)合起來，使抽象思維與形象思維相結(jié)合?！皵?shù)與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛數(shù)缺形時少知覺，形少數(shù)時難人微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事非，切莫忘，幾何代數(shù)統(tǒng)一體，永遠聯(lián)系，切莫分離。”這是華羅庚關(guān)于數(shù)形結(jié)合的一首詞。

特別是在計算教學中如果能夠以形助數(shù)，則可以使運算意義和運算定律的意義變得直觀形象，有利于學生理解意義的實質(zhì)；還可以將抽象的算理變得簡明形象，有利于學生深刻、透徹地理解算理。因此，計算是滲透數(shù)形結(jié)合思想非常好的一個載體。

例如：（1）華山是我國著名的五岳之一，海拔約2155米，四舍五入到百位大約是多少米？

出示圖4，先讓學生在圖上標一標，然后再根據(jù)圖形分析，直接寫出2155≈2200。

（2）一個數(shù)，四舍五入到萬位后約等于6萬，這個數(shù)最大是（ ），最小是（ ）。

這道題目假如憑空想象，對于大部分學生來說非常抽象，但是結(jié)合數(shù)線（如圖5），則可以輕松解決問題。

通過數(shù)線可以看出，這個數(shù)在55000和65000之間，但不包括65000，所以最小是55000，最大是64999。endprint

在解決上述問題時，運用“數(shù)形結(jié)合”讓問題的剖析直觀化，幫助學生理清了思路，找到了解決問題的方法。更重要的是圖形呈現(xiàn)的數(shù)線，不僅讓學生便于描述自己的想法，而且還可以提高學生的數(shù)學表達能力，促進學生的個性化發(fā)展，更是于無形中滲透了數(shù)形結(jié)合的思想。

四、點播提煉，挖掘“轉(zhuǎn)化思想”的生長點

數(shù)學知識是呈現(xiàn)從簡到繁、由易到難的過程。教師要引導學生應用轉(zhuǎn)化思想來思考知識，使學生能把復雜的知識簡單化，把宏觀的知識具象化、把集成的知識分類化。轉(zhuǎn)化思想是數(shù)學學習的法寶之一，具有重要的意義和作用。我們一起來看看轉(zhuǎn)化思想在小學數(shù)學計算教學中的滲透（如圖6）。

以四年級下冊“小數(shù)乘法”這一單元為例，小學生在學習乘法時，最易犯的錯誤是沒有正確打小數(shù)點。教師可以引導學生思考3.2×1.1，結(jié)果有幾個小數(shù)點？3.2×1.11有幾個小數(shù)點？3.2×1.111有幾個小數(shù)點？以此類推，反過來，3.22×1.1有幾個小數(shù)點？3.222×1.111有幾個小數(shù)點？那么乘數(shù)、被乘數(shù)、積之間小數(shù)點的關(guān)系是什么？教師可引導學生結(jié)合函數(shù)思想來分析小數(shù)乘法計算的規(guī)則。學生結(jié)合函數(shù)思想，便能理解積的小數(shù)位數(shù)=乘數(shù)的小數(shù)位數(shù)+被乘數(shù)的小數(shù)位數(shù)。這就是把數(shù)學計算問題轉(zhuǎn)換成函數(shù)問題的案例。

在計算教學中滲透轉(zhuǎn)化的思想，有時也需要我們教師的“潤物細無聲”。如在一年級教學“8和7加幾的進位加法”時，本節(jié)課是在學生已經(jīng)會用“湊十法”計算9加幾的基礎(chǔ)上進行教學的。然而什么樣的情況適合應用“湊十法”，什么時候不適合應用“湊十法”？“湊十法”的科學應用規(guī)則是什么呢？比如當學生計算“8+7”，運用“湊十法”變成“8+1+6”時，教師應該及時抓住學生的可取之處進行評價，有針對性地進行反饋，“你把8+7轉(zhuǎn)化為我們已經(jīng)學過的9+6，把一個新的問題轉(zhuǎn)化為舊的問題。這樣的做法，在以后的學習中我們還會經(jīng)常用到哦?！苯又僮穯枺骸暗?+6等于多少，有些同學的計算還不太熟練，上節(jié)課我們是把9+6轉(zhuǎn)化成幾加幾的呢，你能幫幫他們嗎？”如此處理，引導學生重新回到運用“湊十法”來解決問題，讓“轉(zhuǎn)化”的解題策略在孩子的心中悄然扎根。

五、善于總結(jié)，張開“歸納思想”的翅膀

歸納法分為完全歸納法和不完全歸納法。在小學數(shù)學的教學中應用比較廣泛的是不完全歸納法。歸納是學生個體自我完善和發(fā)展的有效手段之一，是小學生在學習過程中將零碎的知識變成系統(tǒng)性知識的一種能力。在計算教學中，很多法則、公式和定律的推導，都是在列舉特殊例子的基礎(chǔ)上得到的。

小學數(shù)學歸納法的教學，滲透在計算教學中主要體現(xiàn)在以下幾個方面。

1. 計算法則的歸納

整數(shù)的加、減、乘、除的筆算，都是通過幾個有限的由易到難的例子，讓學生在理解算理和口算方法的基礎(chǔ)上探索計算的方法，最后再進行算法的總結(jié)。這種法則的得出就是運用了歸納法。如一位數(shù)除多位數(shù)的計算法則的歸納總結(jié)，學生在已經(jīng)掌握了表內(nèi)乘除法和整十、整百數(shù)及兩位數(shù)除以一位數(shù)的口算的基礎(chǔ)上，通過利用豎式計算“68÷2=”“48÷3=”“888÷6=”來探索、交流、歸納計算法則。

2. 運算性質(zhì)的歸納

商不變的性質(zhì)、分數(shù)的性質(zhì)、小數(shù)的性質(zhì)、等式的性質(zhì)、比的性質(zhì)、比例的性質(zhì)等，都是小學數(shù)學計算教學中的重要性質(zhì)，這些性質(zhì)都是先通過舉例，然后再讓學生進行探索、交流，最后歸納總結(jié)得到的。比如分數(shù)的基本性質(zhì)（教材如圖7）。

以上就是給予學生學習實例，讓學生在實例的基礎(chǔ)上歸納數(shù)學計算公式的方法。學生通過觀察圖形歸納出計算的公式：“分數(shù)的分子和分母同時乘或除以相同的數(shù)（0除外），分數(shù)的大小不變”。在這個過程中不僅滲透了函數(shù)思想，更是運用了歸納推理的方法。教師不僅可以引導學生用以上實例來歸納數(shù)學公式，還可引導學生逆用歸納法來理解數(shù)學公式。比如教師可引導學生用舉例的方法來歸納小數(shù)加、減、乘、除的計算原理。當學生能正用、逆用歸納法時，就能應用歸納法來吸收及詮釋知識。

3. 運算定律的歸納

運算定律的本質(zhì)就是運算中的規(guī)律，而規(guī)律的抽象和方法有二：一是采用邏輯推理進行科學論證得出規(guī)律，然而四年級的學生一般來說還不具備這樣的抽象的邏輯推理能力，所以通常采用第二種方法，即用不完全歸納法抽象概括，列舉出一定數(shù)量的式子，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律、驗證規(guī)律、總結(jié)規(guī)律，在此基礎(chǔ)上概括歸納出運算律。由此可以看出，歸納法這一數(shù)學思想方法在計算教學領(lǐng)域中的滲透及運用是非常廣泛的。

在計算教學中，教師如果要引導學生理解數(shù)學思想，還需要引導學生理解數(shù)學思想應用的基礎(chǔ)。比如教師要引導學生用抽象的方式閱讀文本、用符號的方式表示數(shù)字、用邏輯的方式思考問題與問題的內(nèi)在聯(lián)系、用發(fā)散的方式尋找類比推理的依據(jù)。教師要不斷地開展這類教學，并在教學中滲透數(shù)學思想。波利亞說：教師應該把三分之一的努力花在教學基本的數(shù)學上，而把三分之二的努力花在培養(yǎng)學生的思維方法和思維習慣上。從這句話中我們可以體會到數(shù)學思想方法在數(shù)學學科中的重要性。因此，在日常教學中如何滲透數(shù)學思想方法，尤其針對教學任務占比如此大又容易讓廣大教師忽略的計算教學，教師更應該去好好地挖掘與滲透，有意識地讓學生在計算的學習中去體驗、運用。endprint