高志才

國際上杰出的未來學(xué)家阿爾溫·托夫勒曾經(jīng)有一句名言：“未來的文盲不再是目不識丁的人，而是沒有學(xué)會如何學(xué)習(xí)的人.”培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力，讓學(xué)生終身受益，已成為當(dāng)務(wù)之急.本文就雙曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程談如何對數(shù)學(xué)概念進(jìn)行自主學(xué)習(xí).

一、以舊帶新，啟迪思維（2分鐘）

復(fù)習(xí)：（1）橢圓的定義是什么？定義中哪些字非常關(guān)鍵？

（2）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么？a，b，c是何種關(guān)系？

（3）如何判斷焦點位置？

設(shè)計意圖：雙曲線與橢圓有著密切的聯(lián)系.為了學(xué)生更好地學(xué)習(xí)雙曲線的定義與方程，先復(fù)習(xí)橢圓定義及其與定義密切相關(guān)的參數(shù)變化，既檢測了學(xué)生對前面相關(guān)知識的掌握情況，同時又為雙曲線概念的學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ).

二、設(shè)障立疑，激發(fā)動機(jī)（1分鐘）

提出問題：平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的差等于常數(shù)的點的軌跡是什么？教師動畫演示.

設(shè)計意圖：單刀直入，開門見山提出問題，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，同時教給學(xué)生“由此及彼”發(fā)現(xiàn)問題的一種方法.

三、閱讀思疑，得窺門徑（14分鐘）

1.布置任務(wù)：雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程.

2.閱讀教材：P52—55的教材“探究”之前.

3.閱讀時間：14分鐘.

4.思考問題：大屏幕打出問題.

（一）關(guān)于雙曲線的定義

1.雙曲線的定義是什么？它是怎樣得來的？

2.為什么叫“雙”曲線？為什么定義中要加絕對值？不加絕對值行嗎？你認(rèn)為雙曲線的定義中有哪些要注意的問題？

3.怎樣記憶定義比較通順？采用什么方法來記憶能保持記憶的長久和理解的深刻？

設(shè)計意圖：打破看懂教材，會做些題就是自主學(xué)習(xí)的舊觀念.通過學(xué)習(xí)，一方面，學(xué)生要清楚所學(xué)知識的來龍去脈，弄清知識間的內(nèi)在聯(lián)系，明確學(xué)習(xí)的必要性；另一方面，還要熟記定義，深化對定義的理解.培養(yǎng)學(xué)生類比能力、辨析能力、記憶能力，發(fā)現(xiàn)問題、分析問題的能力，以及思維的深刻性與敏捷性.

【自我檢測】

設(shè)計意圖：加深學(xué)生對定義的理解，體驗收獲的喜悅.

（二）關(guān)于雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

1.怎樣“建系”來推導(dǎo)方程？為什么這樣建系？怎樣化簡方程？你能在三分鐘之內(nèi)推導(dǎo)出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程嗎？

2.為什么叫雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程？雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程有幾種？它們有什么特點？你想怎樣記憶方程？怎樣比較這些類型的方程？如何根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程來判斷焦點的位置？方程中的a，b，c之有何關(guān)系？

3.雙曲線還有其他類型的方程嗎？方程的簡單與煩瑣取決于誰？

4.如何區(qū)別橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程？

5.求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程有幾種方法？

設(shè)計意圖：（1）通過建系的分析與思考滲透并提煉數(shù)學(xué)的對稱美、和諧美、簡潔美；培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析解決問題的能力以及樹立求簡意識.

（2）通過方程的推導(dǎo)培養(yǎng)學(xué)生由此及彼的合情推理，提高運算能力，豐富解題經(jīng)驗與技巧.

（3）通過對橢圓與雙曲線定義與標(biāo)準(zhǔn)方程的剖析，有助于學(xué)生克服橢圓學(xué)習(xí)中的思維定式，同時培養(yǎng)學(xué)生的辨析能力以及思維的深刻性.

【自我檢測】

設(shè)計意圖：（1）強(qiáng)化標(biāo)準(zhǔn)方程的特點，熟悉標(biāo)準(zhǔn)方程的形式及a，b，c間的關(guān)系，能區(qū)別橢圓和雙曲線的方程.

（2）能熟練準(zhǔn)確求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、對于待定系數(shù)法能區(qū)別對待，感受雙曲線統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)方程mx2+ny2=1（mn<0）解決問題的優(yōu)勢.

（3）在運用中鞏固和加深對雙曲線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程的理解，培養(yǎng)能力，讓學(xué)生在“練”的過程中通過反思、感悟，優(yōu)化知識結(jié)構(gòu).

（4）自主學(xué)習(xí)不是花拳繡腿，要把自主學(xué)習(xí)落到實處，要向課堂要效率.題型要全，難度適中，重點突出，難點分散，反饋及時.學(xué)生要練有所得，且得之深刻，真正做到當(dāng)堂消化，當(dāng)堂理解，扎扎實實練好基本功.

三、解惑釋疑，洞達(dá)事理（15分鐘）

現(xiàn)代課程理論認(rèn)為，課程是一種對話，交流、體驗和發(fā)展.既然是對話，那么，教師和學(xué)生之間應(yīng)當(dāng)具備民主的、平等的溝通，共同筑起探討的平臺，教師是組織者、引導(dǎo)者、旁觀者，從中，教師學(xué)會了傾聽，學(xué)生學(xué)會了懷疑、學(xué)會了批判，因而得到了發(fā)展；既然是交流，必定是教師與學(xué)生的互動，在互動中，學(xué)生的主體意識被喚醒，人人學(xué)有價值的數(shù)學(xué)，人人都能獲得必要的數(shù)學(xué)，不同的人在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中得到不同的發(fā)展.學(xué)生的潛能被激發(fā)，新的思想在交流中產(chǎn)生，從而加深對數(shù)學(xué)概念的理解和認(rèn)識，提高學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力.

（一）關(guān)于雙曲線的定義

1.雙曲線定義的由來：類比（橢圓）的結(jié)果，實踐（試驗）的產(chǎn)物.

2.因為雙曲線是由對稱的兩部分曲線組成的，所以稱之為雙曲線.定義見教材.

注意事項：

（1）定義中必須加絕對值，沒有絕對值就不能成“雙”了，只能表示雙曲線的一支.只有加絕對值才和諧、對稱，才完美.

（2）常數(shù)小于兩個定點間的距離.（直觀記憶法：三角形兩邊之差小于第三邊）

特殊地，當(dāng)這個“常數(shù)”=|F1F2|時點的軌跡是兩條射線.

當(dāng)這個“常數(shù)”大于|F1F2|時的點的軌跡是不存在.

3.語言表述：平面內(nèi)到兩個定點的距離之差的絕對值等于常數(shù)的點的軌跡叫作雙曲線.

其中，常數(shù)小于兩個定點間的距離.

說明：教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生即使記住定義，絕大多數(shù)學(xué)生也都是不假思考照本宣科地按照教材的寫法記憶，導(dǎo)致表述混亂，重點不突出.針對這一情況教師需用適宜的方法對學(xué)生加以引導(dǎo)，使他們深刻理解數(shù)學(xué)概念.

記憶方法：對比記憶.橢圓是距離之和，雙曲線是距離之差（要加絕對值）.endprint

學(xué)生提出的問題：定義中的“常數(shù)”可以為零嗎？不可以，是正數(shù).

（二）關(guān)于雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

1.怎樣建系：取過焦點F1，F(xiàn)2的直線為一個坐標(biāo)軸，線段F1F2的垂直平分線為一個坐標(biāo)軸.

2.怎樣化簡方程：兩次平方.

3.由于是以雙曲線的對稱軸為坐標(biāo)軸建系，此時得到的方程最簡單，所以稱為標(biāo)準(zhǔn)方程.

說明：關(guān)于建系與方程的推導(dǎo)做一個微課.

4.雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的特點：

雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的結(jié)構(gòu)是平方“差”等于1，而橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程結(jié)構(gòu)是平方“和”等于1.

標(biāo)準(zhǔn)方程有兩種：它們之間的關(guān)系是x，y互換即可.a2=c2-b2.

如何根據(jù)方程判斷焦點位置？先化為標(biāo)準(zhǔn)方程，然后橢圓看大小，所以雙曲線看正負(fù).

記憶方法：口訣記憶.橢圓看大小，雙曲線看正負(fù).

雙曲線還有其他類型的方程，這樣的方程有繁有簡.如，只以一條對稱軸為坐標(biāo)軸，不以對稱軸為坐標(biāo)軸.而方程的繁簡取決于坐標(biāo)系的建立.

（三）橢圓與雙曲線的比較

1.橢圓與雙曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程的異同：

橢圓的定義：“和”；方程：平方“和”=1；

雙曲線的定義：“差”；方程：平方“差”=1.

2.兩種方程中參數(shù)a，b，c之間的關(guān)系：

橢圓中a2=b2+c2，雙曲線中a2=c2-b2.

3.焦點位置的確定：橢圓看大小，雙曲線看正負(fù).

設(shè)計說明：由于雙曲線與橢圓內(nèi)容極其相似，所以在課堂上應(yīng)及時進(jìn)行比較以加深學(xué)生對知識的理解和掌握.

學(xué)生提出的問題：（1）方程的化簡有沒有把范圍擴(kuò)大的可能？

（2）方程的推導(dǎo)方法直接平方可以嗎？用換元的方法行嗎？這樣的問題通過微課幫學(xué)生解決.

（四）怎樣求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

1.直接法：教材P55練習(xí)題（1）.

2.待定系數(shù)法：教材P55練習(xí)題（2）.

3.定義法：教材P55例1和教材P55練習(xí)題（3）.

設(shè)計意圖：（1）會用定義求雙曲線的方程，培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性.

（2）弄清求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的基本方法：待定系數(shù)法.關(guān)鍵是先定形后定量.（若焦點不定，則要注意分類討論）

四、反思總結(jié)，融會貫通（5分鐘）

先由兩名學(xué)生總結(jié)，再師生合作一起完善總結(jié).

（一）知識總結(jié)

1.雙曲線的有關(guān)概念.

2.雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程，如何由方程判定其焦點所在坐標(biāo)軸.

（二）方法

1.研究方法：觀察、比較、概括、歸納、類比、分析.

2.學(xué)習(xí)方法：類比.

3.解題方法：（1）定義法（用定義解題）；（2）標(biāo)準(zhǔn)方程的求法：直接法、待定系數(shù)法、定義法.

（三）數(shù)學(xué)思維策略

數(shù)形遷移、由此及彼.

（四）數(shù)學(xué)思想

數(shù)形結(jié)合、等價轉(zhuǎn)化.

設(shè)計意圖：通過畫龍點睛，提綱挈領(lǐng)的小結(jié)，對所學(xué)知識進(jìn)行提煉升華，形成學(xué)生自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu).同時培養(yǎng)了學(xué)生的抽象概括能力.通過提煉數(shù)學(xué)的基本思想方法，學(xué)生透過現(xiàn)象看本質(zhì)，掌握了數(shù)學(xué)的精髓，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)，提升了思維品質(zhì).

五、自我反饋，評價提高（8分鐘）

設(shè)計意圖：題型有選擇題、填空題.主要考查雙曲線的定義、焦點坐標(biāo)、求標(biāo)準(zhǔn)方程和方程的討論以及a，b，c間的關(guān)系.通過檢測題，查漏補(bǔ)缺，及時發(fā)現(xiàn)不足，并在課后加以改進(jìn).既務(wù)求當(dāng)堂達(dá)標(biāo)，又平中見奇，余韻悠長.endprint