四川內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 (641100)

董萬平 余小芬 袁小燕

2015-2017年高考數(shù)學(xué)全國卷導(dǎo)數(shù)命題的幾個(gè)視角*

四川內(nèi)江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 (641100)

董萬平 余小芬 袁小燕

導(dǎo)數(shù)是微積分的初步知識，也是微分學(xué)的重要內(nèi)容，同時(shí)還是刻畫函數(shù)和曲線性態(tài)的有力工具.近年高考中，導(dǎo)數(shù)考點(diǎn)深受命題者青睞，題型覆蓋客觀題和解答題，內(nèi)容上體現(xiàn)了與函數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列、向量、不等式、概率等知識的交匯融合，蘊(yùn)含了數(shù)形結(jié)合、分類與整合、化歸與轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程等基本數(shù)學(xué)思想方法.充分考查學(xué)生的抽象思維能力，邏輯推理能力，運(yùn)算求解能力.本文以近三年高考數(shù)學(xué)全國卷中導(dǎo)數(shù)試題為例，分析導(dǎo)數(shù)考查的幾個(gè)視角.

視角一 利用導(dǎo)數(shù)的定義求極限

例1 (2017年全國卷Ⅱ，文21)函數(shù)f(x)=(1-x2)ex.

(Ⅰ)討論f(x)的單調(diào)性；

(Ⅱ)當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)≤ax+1，求a的取值范圍.

視角二 利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解曲線的切線問題

導(dǎo)數(shù)的幾何意義體現(xiàn)了導(dǎo)數(shù)與曲線的聯(lián)系，蘊(yùn)含著“以直代曲”的重要數(shù)學(xué)思想.利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解曲線的切線問題是導(dǎo)數(shù)的一種最基本應(yīng)用.該類問題主要考查學(xué)生對導(dǎo)數(shù)幾何意義的理解及求導(dǎo)公式、求導(dǎo)法則的應(yīng)用，高考中常以選擇、填空題形式出現(xiàn)，有時(shí)也滲透在解答題中，難度中等.

例2 (2015年全國卷I，文14)已知函數(shù)f(x)=ax3+x+1的圖像在點(diǎn)(1,f(1))處的切線過點(diǎn)(2,7)，則a=________.

解:f′(x)=3ax2+1，則f(x)在點(diǎn)(1,f(1))的切線斜率為k=f′(1)=3a+1，又f(1)=a+2，故切線方程為y-(a+2)=(3a+1)(x-1)，代入(2,7)，解得a=1.

點(diǎn)評:利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解曲線的切線問題時(shí)，一定要把握“切點(diǎn)坐標(biāo)”這一關(guān)鍵要素.同時(shí)要注意“在某點(diǎn)處的切線”與“過某點(diǎn)的切線”的區(qū)別，進(jìn)而才能準(zhǔn)確表達(dá)切線斜率.近三年全國卷類似考題還有：2017年全國卷Ⅰ文科14題，2016年全國卷Ⅲ文科16題、理科15題，2016年全國卷Ⅱ理科16題，2015年全國卷I理科12題，2015年全國卷Ⅱ文科16題.

視角三 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值

導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)單調(diào)性、求解極值與最值、刻畫函數(shù)圖像變化趨勢的重要工具.近年高考中以此為背景的試題屢見不鮮.

例3 (2017年全國卷Ⅱ，理11)若x=-2是函數(shù)f(x)=(x2+ax-1)ex-1的極值點(diǎn)，則f(x)的極小值為( ).

A.-1B.-2e-3C.5e-3D.1

解:f′(x)=ex-1[x2+(2+a)x+a-1].由x=-2為f(x)的極值點(diǎn)得f′(-2)=0，解得a=-1.故f′(x)=ex-1(x2+x-2)，令f′(x)=0，解得x1=-2或x2=1.容易分析f(x)的極小值為f(1)=-1.故選A.

點(diǎn)評:本題考查求解可導(dǎo)函數(shù)極值的一般步驟，難度中等，重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)對極值概念的理解及求導(dǎo)公式、法則的正確使用.理解極值概念時(shí)，應(yīng)把握極值反映的是函數(shù)的局部最值特征.函數(shù)在點(diǎn)x0處取得的極值未必是函數(shù)的最值，要區(qū)分極值與最值的“局部”與“整體”關(guān)系.其次，對可導(dǎo)函數(shù)f(x)而言，f′(x0)=0只是f(x)在點(diǎn)x0處取極值的必要條件，而非充要條件.

例4 (2015年全國卷Ⅱ，文21)已知f(x)=lnx+a(1-x).

(Ⅰ)討論f(x)的單調(diào)性；

(Ⅱ)當(dāng)f(x)有最大值,且最大值大于2a-2時(shí),求a的取值范圍.

令g(a)=lna+a-1，則g(a)在(0,+∞)是增函數(shù)，且g(1)=0.于是當(dāng)01時(shí)，g(a)>0.故a∈(0,1).

視角四 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)問題

利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)零點(diǎn)、估算零點(diǎn)范圍，判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)以及已知函數(shù)零點(diǎn)求參數(shù)范圍，是導(dǎo)數(shù)綜合運(yùn)用的體現(xiàn)，也是近年高考的熱點(diǎn)問題.該類問題常涉及對函數(shù)零點(diǎn)、方程根、兩函數(shù)圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之間關(guān)系的理解，以及對零點(diǎn)存在性定理的靈活應(yīng)用，滲透著分類討論、化歸與轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等基本思想.

例5 (2017年全國卷Ⅰ，理21)已知函數(shù)f(x)=ae2x+(a-2)ex-x.

(Ⅰ)討論f(x)的單調(diào)性；

(Ⅱ)若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.

解:(Ⅰ)f(x)的定義域?yàn)?-∞,+∞).當(dāng)a≤0，f(x)在(-∞,+∞)單調(diào)遞減.當(dāng)a>0，f(x)在(-∞,-lna)單調(diào)遞減，在(-lna,+∞)單調(diào)遞增.

點(diǎn)評:本題考查利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性、最值及零點(diǎn)的綜合問題，考查學(xué)生對問題的分析、轉(zhuǎn)化及運(yùn)算能力.(Ⅱ)利用(Ⅰ)問單調(diào)性結(jié)論作為零點(diǎn)問題分類討論的依據(jù)，并結(jié)合零點(diǎn)存在性定理將函數(shù)零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值與0的大小問題，進(jìn)而求解a的范圍.問題的解決中對不等式放縮技巧要求較高.當(dāng)然解決(Ⅱ)問還可利用分離參數(shù)法，或轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖像的交點(diǎn)問題進(jìn)行處理，考生可根據(jù)知識把握情況，靈活選取.近三年全國卷類似考題還有：2017年全國卷Ⅲ文科12題、2016年全國卷Ⅰ理科21題.

視角五 利用導(dǎo)數(shù)證明不等式

不等式的證明問題是高中數(shù)學(xué)的難點(diǎn)，解決問題所涉及的方法多樣，技巧性靈活，學(xué)生不易把握.通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性證明不等式，這種解決問題的思路清晰，操作性強(qiáng)，易于掌握，同時(shí)也體現(xiàn)了函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、不等式的綜合應(yīng)用.

例6 (2017年全國卷Ⅲ，理21)已知函數(shù)f(x)=x-1-alnx.

(Ⅰ)若f(x)≥0，求a的值

解:(Ⅰ)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞).

(Ⅱ)由(Ⅰ)問，當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí)，x-1-lnx>0，即lnx

點(diǎn)評:本題是一個(gè)有遞進(jìn)關(guān)系的綜合問題，通過導(dǎo)數(shù)解決(Ⅰ)問中不等式的恒成立問題，求得a值，進(jìn)而獲得解決(Ⅱ)問的“隱性條件”lnx1).再根據(jù)(Ⅱ)問已知不等式特征，利用對數(shù)性質(zhì)，對不等式進(jìn)行變形、放縮處理，求得參數(shù)m值.當(dāng)然本題還可利用另一不等式ex>x+1(x>1)，結(jié)合指數(shù)運(yùn)算性質(zhì)，通過放縮不等式解決問題.

視角六 利用導(dǎo)數(shù)研究存在性、恒成立問題

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)存在性問題或恒成立問題是歷年高考考查的難點(diǎn)、熱點(diǎn).主要考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)、方程、不等式的綜合應(yīng)用.

例7 (2017年全國卷Ⅱ理科，21)已知函數(shù)f(x)=ax2-ax-xlnx，且f(x)≥0.

(Ⅰ)求a.

(Ⅱ)證明：存在唯一的極大值點(diǎn)x0，且e-2

解:(Ⅰ)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞).f(x)≥0等價(jià)于a(x-1)≥lnx.

綜上，對任意x∈(0,+∞)，f(x)≥0成立，則a=1.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)=x2-x-xlnx，f′(x)=2x-2-lnx.

當(dāng)然，導(dǎo)數(shù)的考查視角絕不止上述總結(jié)，限于篇幅，本文僅以全國卷試題為例，權(quán)作拋磚引玉，有興趣的讀者可結(jié)合地方省份高考試題作進(jìn)一步研究，比如利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)圖像交點(diǎn)問題、處理極值偏移點(diǎn)問題等.

四川省"西部卓越中學(xué)數(shù)學(xué)教師協(xié)同培養(yǎng)計(jì)劃"項(xiàng)目(ZY16001).余小芬系本文通訊作者.