金洪潮

[摘 要]初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，不僅要求學(xué)生學(xué)會(huì)教師課堂上講授的知識，更要讓學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，為學(xué)生的終身學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。鑒于初中數(shù)學(xué)學(xué)科特征，課堂范例是學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識的母體，課前需要教師精心挑選，并在課堂教學(xué)中，充分發(fā)揮其功效.文章提出了拓展范例功效的方法.

[關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué)教育；范例教學(xué)；數(shù)學(xué)素養(yǎng)

[中圖分類號] G633.6 [文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A [文章編號] 16746058（2017）32000104

基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)是現(xiàn)代社會(huì)每一個(gè)公民必須具備的基本素養(yǎng)之一.一個(gè)人長大后會(huì)忘記許多他之前所學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識，但是具備一定數(shù)學(xué)素養(yǎng)的人，會(huì)依據(jù)原先的“知識積累”解決新的問題.本文所說的培養(yǎng)學(xué)生的“數(shù)學(xué)素養(yǎng)”主要表現(xiàn)在觀念、能力、語言、思維、心理等方面，其中包含數(shù)學(xué)意識、解決問題、數(shù)學(xué)推理、信息交流、數(shù)學(xué)心理素質(zhì)等幾個(gè)部分.下面結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，從兩個(gè)方面談?wù)剬W(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng).

一、把握范例的“點(diǎn)”“線”“面”，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的在于應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決問題.課堂范例和習(xí)題是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的兩大內(nèi)容，而范例學(xué)習(xí)又是學(xué)生借助習(xí)題的練習(xí)達(dá)到掌握概念目的的有效形式.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》要求：“人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展.”實(shí)踐證明，把握和選擇好范例的“點(diǎn)”“線”“面”，充分發(fā)揮范例在數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要途徑.

1.“點(diǎn)”——范例的選擇要利于突出“重點(diǎn)”、分散“難點(diǎn)”，培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力

為了使學(xué)生在短時(shí)期內(nèi)有效掌握相關(guān)數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)方法，在數(shù)學(xué)教學(xué)中有效的操作方法就是突出重點(diǎn)、分散難點(diǎn).這對學(xué)生今后的學(xué)習(xí)有重要的作用.

如七年級上冊《解一元一次方程 解應(yīng)用題》，在教學(xué)中是一個(gè)難點(diǎn).其中有關(guān)濃度問題的應(yīng)用題，學(xué)生更是感到難以掌握，而教材上只出現(xiàn)一個(gè)范例.此時(shí)，教師可適當(dāng)補(bǔ)充一些有關(guān)濃度問題的溶液、溶劑、溶質(zhì)三者之間關(guān)系的范例，以分散難點(diǎn).

（1）含鹽8%的鹽水20千克，其中含鹽 千克，含水 千克.

（2）含鹽5%的鹽水x千克，其中含鹽 千克，含水 千克.

（3）含鹽8%的鹽水（20+x）千克，其中含鹽的重量是鹽水重量的百分之幾？

這樣做，不僅可使學(xué)生順利銜接課堂上范例的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)新知識時(shí)，抓住重點(diǎn)、分散難點(diǎn)，還能讓學(xué)生掌握同類問題的分析解答方法，使學(xué)生在今后的生活中，能知道一件事情總是有其“重點(diǎn)”或“難點(diǎn)”的。這樣，當(dāng)學(xué)生遇到類似事情時(shí)，就能夠抓住問題的重點(diǎn)，分散問題的難點(diǎn)，進(jìn)而有效解決相關(guān)問題.

2.“線”——范例的選擇要體現(xiàn)知識的連貫性和系統(tǒng)性，促進(jìn)學(xué)生養(yǎng)成“數(shù)學(xué)推理”的習(xí)慣

隨著信息社會(huì)和“人工智能時(shí)代”的到來，人類接受新知識的速度、方法，已經(jīng)發(fā)生了很大的變化，若按照原先的、按部就班的模式開展教學(xué)，是不行的.實(shí)際教學(xué)中，教師應(yīng)抓住范例的連貫性和系統(tǒng)性，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)推理方法解決問題的能力，這樣有利于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

如七年級下冊《解二元一次方程組》兩節(jié)課，每節(jié)課有兩個(gè)范例，但是每節(jié)課的范例前都有引例，它們由簡到繁，注意新舊知識的聯(lián)系.從概念上看，是上一節(jié)方程、方程的解、解方程等知識的延續(xù)和拓展.從解法上看，將二元一次方程經(jīng)消元轉(zhuǎn)化為一元一次方程的求解，具有較強(qiáng)的系統(tǒng)性.學(xué)生通過對這些范例的學(xué)習(xí)，不僅對相關(guān)知識有了完整的認(rèn)識，而且為進(jìn)一步認(rèn)識新的知識打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

學(xué)生對知識的系統(tǒng)性和連貫性的理解與掌握，需要教師不斷引導(dǎo)和培養(yǎng).長此以往，學(xué)生就能依據(jù)平時(shí)掌握的基礎(chǔ)知識、基本技能，用數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)和方法處理問題，進(jìn)而有效提升學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題的能力.

3.“面”——范例的選擇要多方滲透數(shù)學(xué)思想，強(qiáng)化學(xué)用數(shù)學(xué)方法闡釋問題的意識

初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，范例的選擇要顧及“面”上的作用，要將初中數(shù)學(xué)課堂的范例教學(xué)與學(xué)生數(shù)學(xué)意識的培養(yǎng)有機(jī)地融合在一起，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想分析解決實(shí)際問題的能力.

（1）在每個(gè)知識點(diǎn)的呈現(xiàn)上，逐步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)意識

在數(shù)學(xué)知識的呈現(xiàn)過程中，學(xué)生數(shù)學(xué)意識的養(yǎng)成，需要教師的智慧和勤敏.

例如，在八年級上冊《認(rèn)識三角形》的教學(xué)中，要呈現(xiàn)“三角形兩邊之和大于第三邊”這個(gè)知識點(diǎn)，絕大多數(shù)教師直接告訴學(xué)生“因?yàn)閮牲c(diǎn)之間線段最短，所以三角形兩邊之和大于第三邊”.像這樣的直接教學(xué)，呈現(xiàn)知識點(diǎn)的方法沒有錯(cuò)，但是缺少了對學(xué)生數(shù)學(xué)意識的培養(yǎng).

實(shí)際教學(xué)中，知識點(diǎn)的呈現(xiàn)，可借助幾個(gè)學(xué)生關(guān)于走路快慢的聊天引出：“同學(xué)們，我聽小悅等同學(xué)說，我們班有位同學(xué)走路很快，他一步可走3米（即兩腳著地時(shí)的間距），你們認(rèn)為有可能嗎？”

很顯然，對這個(gè)“一步跨3米”的問題，除了少數(shù)學(xué)生有疑惑外，多數(shù)學(xué)生都認(rèn)為是不可能的事情，但就是不知道怎么解釋清楚.每位學(xué)生的心里均有迫切求解的欲望，趁此機(jī)會(huì)，教師不慌不忙地對全班學(xué)生說：“這就是我們今天要學(xué)習(xí)的內(nèi)容.”

這樣的知識呈現(xiàn)，能有效激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提升學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的意識.

（2）在每項(xiàng)數(shù)學(xué)技能的訓(xùn)練上，強(qiáng)化學(xué)生的數(shù)學(xué)意識

著名數(shù)學(xué)家波利亞說過：“掌握數(shù)學(xué)意味著什么呢？這就意味著善于解題，不僅善于解一些標(biāo)準(zhǔn)的題，而且善于解一些要求獨(dú)立思考、見解獨(dú)到和有發(fā)明創(chuàng)造的題.”這就告訴我們，數(shù)學(xué)解題技能的訓(xùn)練對學(xué)生數(shù)學(xué)意識的培養(yǎng)至關(guān)重要.

解題是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要手段，可以設(shè)想，如果學(xué)生能積極解題，則能有效強(qiáng)化學(xué)生的數(shù)學(xué)意識.

（3）在數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)上，有效提升學(xué)生的數(shù)學(xué)意識

數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出：“要處理好教師講授和學(xué)生自主學(xué)習(xí)的關(guān)系，通過有效的措施，啟發(fā)學(xué)生思考，引導(dǎo)學(xué)生自主探索，鼓勵(lì)學(xué)生合作交流，使學(xué)生真正理解和掌握基本數(shù)學(xué)知識與技能及數(shù)學(xué)思想方法，讓學(xué)生經(jīng)歷必要的數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練，獲得廣泛的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).”數(shù)學(xué)思維是學(xué)生數(shù)學(xué)意識養(yǎng)成的基礎(chǔ).具備了良好的數(shù)學(xué)思維，就有可能使學(xué)生在面對現(xiàn)實(shí)生活時(shí)，能有效運(yùn)用有關(guān)數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行分析解答.endprint

例如，教學(xué)七年級上冊《平行線》的“三線八角”時(shí)，可補(bǔ)充變式圖1，讓學(xué)生辨認(rèn)每個(gè)圖形中的同位角、內(nèi)錯(cuò)角和同旁內(nèi)角，促使學(xué)生對“三線八角”概念的本質(zhì)特征有進(jìn)一步的認(rèn)識.

如果不通過這樣的變式訓(xùn)練，學(xué)生的思維水平就很難達(dá)到新的高度，也就很難理解“三線八角”中有關(guān)同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角的定義.進(jìn)行有針對性的思維訓(xùn)練，不僅對提升學(xué)生的形象思維能力有必要，而且可以使學(xué)生養(yǎng)成“抓住特征”進(jìn)行分析的思維習(xí)慣.

二、充分利用范例的示范性，發(fā)揮范例的作用，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)

課堂教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的主要途徑和形式，而范例教學(xué)是課堂教學(xué)的“核心”.無論是揭示數(shù)學(xué)知識的特征和規(guī)律，還是培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和靈活運(yùn)用知識的能力，乃至形成規(guī)范解題的習(xí)慣，幾乎都是通過范例教學(xué)落實(shí)的.因此，有了好的范例，還需充分利用解題的示范性，發(fā)揮范例教學(xué)的作用，這是提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要問題.

在具體實(shí)踐中，筆者注意了以下幾個(gè)方面.

1.發(fā)揮范例的“規(guī)范”作用，在觀念上提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)

當(dāng)前，人們對學(xué)生學(xué)科素養(yǎng)的培養(yǎng)已經(jīng)在觀念上達(dá)成了許多共識.良好的行為習(xí)慣、品德素養(yǎng)在人的一生中起著極其重要的作用，而良好的素養(yǎng)往往是在人的各個(gè)關(guān)鍵年齡段形成的.對初中數(shù)學(xué)教學(xué)而言，數(shù)學(xué)解題過程中有一條很重要的標(biāo)準(zhǔn)，就是“規(guī)范性”，這對學(xué)生行為習(xí)慣的養(yǎng)成有重要作用.

例如，七年級上冊的幾何題的解題規(guī)范就很重要.對于題目“如圖2，已知AB∥CD，求證：∠A+∠C=∠APC.”

有許多學(xué)生在證明時(shí)這樣寫：作PE∥AB∥CD，則∠A=∠APE，∠C=∠CPE，所以∠A+∠C=∠APC.

這樣的書寫過程，顯然是不規(guī)范的.

如果教師不及時(shí)糾正，對學(xué)生以后的平面幾何證明的書寫會(huì)帶來很大的麻煩，還會(huì)對幾何定理、概念的運(yùn)用引發(fā)混亂.因此，教師必須充分發(fā)揮范例的示范作用，要求學(xué)生規(guī)范書寫數(shù)學(xué)解題過程.

作PE∥AB，因?yàn)锳B∥CD，所以PE∥CD，所以∠A=∠APE，∠C=∠CPE，所以∠A+∠C=∠APC.

因此，教師在范例教學(xué)過程中，一定要要求學(xué)生以范例為標(biāo)準(zhǔn)，嚴(yán)格按照范例練習(xí)，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣和學(xué)習(xí)態(tài)度.這樣做，不僅教給學(xué)生清晰的解題思路，也讓學(xué)生有“章”可循，有“法”可依，而且使他們能獨(dú)立、完整地完成作業(yè).長此以往，學(xué)生就會(huì)在觀念上形成“規(guī)范”.

2.發(fā)揮范例的啟發(fā)作用，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合能力

數(shù)學(xué)是高新技術(shù)的基礎(chǔ).它之所以重要是由于它具有解決各種問題的潛在能力.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該讓學(xué)生學(xué)習(xí)升學(xué)和就業(yè)都需要的數(shù)學(xué).因此，在數(shù)學(xué)課堂上培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)是數(shù)學(xué)教學(xué)的根本任務(wù).在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，范例的處理要盡可能地引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想，通過設(shè)疑，引導(dǎo)學(xué)生存疑、質(zhì)疑，啟發(fā)學(xué)生積極思維、探究問題，進(jìn)而有效提升學(xué)生的數(shù)學(xué)能力.

例如，求證等腰三角形的兩個(gè)底角的平分線相等.

已知：如圖3，在△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB.求證：BD=CE.

引導(dǎo)分析：

①本題提出了什么問題？已知了什么條件？要我們證明什么？怎樣畫圖？

②要證明兩線段相等，我們常用哪些方法？

③線段DB、CE不在同一個(gè)三角形中，又不在同一直線上，如何證明相等？

④BD和CE可能在哪兩個(gè)三角形中？

⑤教師歸納兩種解法，讓學(xué)生比較這兩種證明的異同.

這一組提問，改變了“教師講、學(xué)生聽”的被動(dòng)局面，把學(xué)生的思維活動(dòng)貫穿于一系列問題之中，問題的提出是“啟”，問題的連貫提出，需要“發(fā)”散思維，使學(xué)生在不斷地探究解決問題的過程中，實(shí)現(xiàn)能力素養(yǎng)的提升.

3.發(fā)揮范例揭示規(guī)律的作用，在思維上培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)離不開思維，善思，則學(xué)而活，學(xué)習(xí)效率就高.不思，則學(xué)得累，學(xué)習(xí)效果也差.可見，科學(xué)的思維方式能有效提升學(xué)生掌握知識的效率，也是形成良好數(shù)學(xué)素養(yǎng)的基礎(chǔ).因此，在課堂范例教學(xué)中，教師要經(jīng)常向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)基本思維方法，要引導(dǎo)學(xué)生

從不同的角度

對各種數(shù)學(xué)知識、方法進(jìn)行歸納和整理，找出它們之間的相互關(guān)系，形成知識網(wǎng)絡(luò).要培養(yǎng)學(xué)生從具體中抽象出本質(zhì)特征，概括出共同規(guī)律的能力，以提高學(xué)生思維的廣度和深度.

然后提出變式題（1）：若D為△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，試問AB+AC>DB+DC成立嗎？（如圖5）

如何架設(shè)解題的橋梁？教師可通過范例，啟發(fā)學(xué)生思考.在本例中，只要延長CD交AB于E，根據(jù)上述范例結(jié)果，就有AB+AC>EB+EC，而觀察△EBC，D為EC上一點(diǎn)，可套用范例結(jié)果EB+EC>BD+DC，比較兩式可得AB+AC>DB+DC.

這時(shí)再出示變式題（2）：D為△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，AB+BC+CA>DA+DB+DC嗎？（如圖6）

通過改變問題的題設(shè)、結(jié)論，啟發(fā)學(xué)生從不同角度設(shè)疑、探索，由靜到動(dòng)，變換圖形，結(jié)合基本概念，找出利用“三角形任意兩邊之和大于第三邊”，證明線段“和”“差”的規(guī)律.

教師在課堂上出示范例時(shí)，應(yīng)注意范例的啟發(fā)性.在實(shí)際教學(xué)中，要注意通過“問題鏈”開展變式訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生觀察、比較、化歸、推理、概括的能力.

4.發(fā)揮范例教學(xué)的變通作用，在方法上培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)

指導(dǎo)學(xué)生掌握正確的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法，有利于提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率和數(shù)學(xué)能力，為大面積提高教學(xué)質(zhì)量和培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)服務(wù).將范例“變通”是一種比較有效的學(xué)習(xí)方法.在范例教學(xué)中改變原題的條件、結(jié)論，形成“一題多解”“一題多變”“一題多聯(lián)”“多題一法”等聯(lián)想類比，有助于提高學(xué)生的思維能力.

三、制約初中生數(shù)學(xué)素養(yǎng)提升的非智力因素

學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)與非智力因素有很大的關(guān)系，若沒有非智力因素教育的成功，任何學(xué)習(xí)方法都無濟(jì)于事.激勵(lì)學(xué)生的動(dòng)機(jī)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，端正學(xué)生的學(xué)習(xí)態(tài)度，培養(yǎng)師生情感，鍛煉學(xué)生的意志，造就學(xué)生良好的性格，這些都是學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識、奠定數(shù)學(xué)素養(yǎng)的基礎(chǔ).因此，教師要在學(xué)生良好學(xué)習(xí)方法、學(xué)習(xí)習(xí)慣這些非智力因素的養(yǎng)成上花大力氣，這對提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)有很大的促進(jìn)和推動(dòng)作用.教師應(yīng)當(dāng)抓住這個(gè)時(shí)機(jī)，在對學(xué)生傳授知識的同時(shí)施加教育影響，開發(fā)學(xué)生非智力因素，以促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高.

[ 參 考 文 獻(xiàn) ]

[1]張奠宙主編.數(shù)學(xué)素質(zhì)教育設(shè)計(jì)[M].南京：江蘇教育出版社，1996.

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[4]周立棟.學(xué)生數(shù)學(xué)意識養(yǎng)成教育[J].上海教育科研，2014（273）.

（責(zé)任編輯 易志毅）endprint