程松林 上海電機學院

Matlab在《線性代數(shù)》課程教學中的應用

程松林 上海電機學院

通過實例問題的建模分析和計算探究了Matlab在線性代數(shù)課堂教學中的重要作用，為課堂矩陣的計算理論教學引導學生深入理解和掌握計算方法，為后續(xù)課程理論與實踐結合奠定基礎。

線性代數(shù) Matlab 模型

線性代數(shù)是以矩陣計算為主要工具來研究數(shù)量間的線性關系的基礎理論課程，隨著計算機和信息技術的飛速發(fā)展與廣泛應用，越來越多的工程問題可以通過離散化的數(shù)值計算得到定量地解決，使得主要以離散變量作為對象的線性代數(shù)課程發(fā)揮著越來越重要的作用。同時，隨著Matlab技術的推出和不斷推廣，Matlab作為線性代數(shù)課程自主學習的計算軟件，可以有效幫助學生強化實踐、機算（用計算機算題）和探索環(huán)節(jié)，為進一步理解矩陣計算理論提供了天然的體驗平臺。更重要的是，基于Matlab的線性代數(shù)計算廣泛應用于信息、電子、通信、控制、金融、經濟和管理等領域，因此為最大限度調動學生學習的主觀能動性在線性代數(shù)課程中，引入Matlab教學和實驗模型環(huán)節(jié)是非常有必要的。

一、投入產出模型

設某國的經濟由煤炭、電力和鋼鐵三個部門組成，各個部門之間的產出分配如下表所示：

部門的產出分配情況 采購部門煤炭 電力 鋼鐵0.0 0.4 0.6 煤炭0.6 0.1 0.2 電力0.4 0.5 0.2 鋼鐵

表中第二列表示電力的總產出分配為：40%給煤炭部門，10%給電力部門，50%給鋼鐵部門，分別用x1, x2, x3表示煤炭、電力和鋼鐵部門產出的總價格，求使得每個部門收支平衡時的價格。

解：煤炭部門的產出為x1，投入為0.4 x2+0.6x3，收支平衡假設下有x1= 0 .4 x2+0.6x3；同理，電力和鋼鐵部門也分別由收支平衡可得

整理得齊次方程組并運用矩陣的初等行變換方法將矩陣化成行最簡形，再寫出等價方程組來進行求通解，在課堂講解這種“手算”方法后也可以在Matlab上通過命令來計算：

>> A=sym([1,-0.4,-0.6;-0.6,0.9,-0.2;-0.4,-0.5,0.8]);

>> B=null(A)

輸出結果為B =[]31/33, 28/33, 1]T，即表示方程組有通解x = c(31,28,33)T，就是說當該國煤炭、電力和鋼鐵三個部門的產出分別為31、28和33個單位時，可以實現(xiàn)投入產出的平衡。

二、交通流量分析模型

假設某城市有2組單行道，構成了一個包含4個節(jié)點A,B,C,D的十字路口，如圖1所示。圖上帶方向箭頭旁邊的數(shù)字表示在交通繁忙時段的汽車從其他路段進出此十字路口的流量情況（每小時的車流數(shù)）?，F(xiàn)在要求我們計算每兩個節(jié)點之間該路段上的交通流量x1, x2, x3, x4具體為多少。

圖1 十字路口交通流量圖示

解：我們假定在每個節(jié)點上，進入和離開的車數(shù)相等，可以得到四個十字路口節(jié)點的流通方程：節(jié)點A：x1+ 4 50 = x2+610；節(jié)點B：x2+ 5 20 = x3+480；

節(jié)點C:x3+ 3 90 = x4+600；節(jié)點D:x4+ 6 40 = x1+310。

將方程進行等價變換整理，寫成非齊次方程組的標準形式，在課堂上講解運用矩陣的初等行變換求得矩陣的行階梯形和行最簡形后，我們可以引導學生基于Matlab軟件輸入命令并調用函數(shù)U=rref([A,b])，從而很快求得上述方程組對應的增廣矩陣的行最簡形式。

>> A=[1,-1,0,0;0,1,-1,0;0,0,1,-1;-1,0,0,1];

>> b=[160;-40;210;-330];

>> U=rref([A,b])

輸出結果為

實驗結果分析：

矩陣U是所求增廣矩陣的行最簡形，其中第1至4列分別代表變量x1, x2, x3, x4的系數(shù)，第5列則是代表等式右邊的常數(shù)項。把第4列移到等式右邊，其等價方程結果為：

由于有效方程數(shù)比未知數(shù)的數(shù)目少，三個有效方程只能解決三個變量的問題，即沒有給出足夠多的約束信息來唯一地確定四個變量x1, x2, x3, x4，其原因在于，特別地如果有些車沿著這四方的單行道繞圈，不會影響總系統(tǒng)的輸入輸出流量，但可以大大增加這四條路上的流量。所以我們稱x4為自由變量。

上面兩個模型分別是基于實際問題建立齊次方程組模型和非齊次方程組模型，對于它們的解我們可以在課堂上演示“手算”方法的同時，在課堂上基于Matlab軟件進行試驗計算，并通過驗證兩種算法的結果一致來激發(fā)大家對矩陣計算方法的學習熱情和應用于實踐的興趣，為后續(xù)課程如運籌學、離散數(shù)學、數(shù)值分析和矩陣分析等課程學習打下堅實的基礎。

[1]劉三明.線性代數(shù)及應用.南京大學出版社,2012

[2]吳傳生,王衛(wèi)華.線性代數(shù).北京：高等教育出版社,2003.