羅玉成

【摘 要】本文論述指導(dǎo)高中生學(xué)會數(shù)學(xué)建模的策略，提出設(shè)計問題引發(fā)學(xué)生興趣、引導(dǎo)學(xué)生動手操作、鏈接生活、借助電腦優(yōu)化教學(xué)四種方法。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué) 高中生 數(shù)學(xué)建模

【中圖分類號】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A

【文章編號】0450-9889（2017）07B-0144-02

數(shù)學(xué)建模，通俗地說就是通過建立數(shù)學(xué)模型來解決數(shù)學(xué)問題，它是一個利用數(shù)學(xué)語言描述現(xiàn)實中的數(shù)量關(guān)系與空間形式的過程。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師指導(dǎo)學(xué)生學(xué)會建模，有助于提高學(xué)生解題效率，深化數(shù)學(xué)思維。但是，根據(jù)筆者多年的教學(xué)經(jīng)驗發(fā)現(xiàn)，不少高中生的數(shù)學(xué)建模能力相對薄弱，甚至還有很多學(xué)生沒有形成建模的意識，這導(dǎo)致學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題效率低下，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的道路上感到困難重重。如果教師能夠有效引導(dǎo)學(xué)生通過建立數(shù)學(xué)模型解決數(shù)學(xué)問題，不僅能夠顯著提高學(xué)生的解題效率，還有助于提高學(xué)生自身的創(chuàng)造性，全面提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。下面，筆者將結(jié)合自己的實際教學(xué)經(jīng)驗，探討指導(dǎo)學(xué)生學(xué)會數(shù)學(xué)建模的教學(xué)策略。

一、問題引導(dǎo)，興趣驅(qū)動

興趣是學(xué)習(xí)最好的導(dǎo)師，想讓學(xué)生學(xué)會數(shù)學(xué)建模，就必須使學(xué)生對數(shù)學(xué)建模產(chǎn)生興趣，用興趣驅(qū)動學(xué)習(xí)。那么教師如何才能做到興趣驅(qū)動？最簡單的辦法就是用問題引導(dǎo)，層層深入，引學(xué)生入“洞”。

比如筆者在對人教版高中數(shù)學(xué)必修1《函數(shù)模型及其應(yīng)用》這一節(jié)內(nèi)容進(jìn)行教學(xué)時，為了指導(dǎo)學(xué)生學(xué)會建立具體某類問題的函數(shù)模型，筆者選擇了下面的例子：

例 1：已知 A、B 兩地相距 150 千米，某人開汽車以 60 千米/小時的速度從 A 地到達(dá) B 地，在 B 地停留 1 小時后再以 50 千米/小時的速度返回 A 地，把汽車離開 A 地的距離 x（千米）用時間 t（小時）表示。

面對這道題，有學(xué)生困惑地表示：從題目已給的信息來看，汽車離開 A 地的距離不可能只用一個函數(shù)表達(dá)式表達(dá)出來，一定是題目設(shè)計有問題。學(xué)生對題目產(chǎn)生了質(zhì)疑，這說明學(xué)生對這道題產(chǎn)生了興趣，筆者開始一步步引導(dǎo)學(xué)生思考：隨著時間 t 的不同，距離 x 與t 的函數(shù)表達(dá)式也不同，這道題需要分情況來討論：汽車到達(dá) A 地所需的時間為150÷60=2.5 小時，所以當(dāng) 0≤x≤2.5時，x=60t；汽車到達(dá) B 地后停留了一個小時，這段時間距離不變，所以當(dāng) 2.5

筆者和學(xué)生一起把各種可能的情況剖析完之后，才正式向?qū)W生介紹，前面所采用的分段討論法實際上就是分段函數(shù)模型的應(yīng)用。通過拋出讓學(xué)生感興趣的問題，利用學(xué)生的困惑成功激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣與求知欲，為接下來的數(shù)學(xué)建模教學(xué)開了一個好頭，最終取得了良好的教學(xué)效果。

二、動手操作，加深理解

俗話說，眼過千遍不如手過一遍。這說明親自動手獲得的知識更深刻，筆者在指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)建立數(shù)學(xué)模型的教學(xué)中，很多時候需要通過引導(dǎo)學(xué)生動手操作來加深對數(shù)學(xué)模型的理解。

比如筆者在對人教版必修3《古典概型》這一節(jié)的內(nèi)容進(jìn)行教學(xué)時，考慮到概率問題抽象難懂，因此筆者通過引導(dǎo)學(xué)生開展實驗，促進(jìn)他們在動手操作過程中理解古典概型這一概率模型，強(qiáng)化其認(rèn)知與記憶。

例 2：從含有兩件正品 a、b 和一件次品 c 的三件產(chǎn)品中每次任取一件，連續(xù)取兩次，求取出的兩件產(chǎn)品中恰有一件是次品的概率。

（1）每次取出不放回；

（2）每次取出放回。

對于這一概率問題，筆者引導(dǎo)學(xué)生任意選擇手邊的三件物品分別代表題目中的兩件正品與一件次品。學(xué)生通過親自動手實驗找出所有可能發(fā)生的基本事件：當(dāng)每次取出不放回時，可能的結(jié)果有（a，b）（a，c）（b，a）（b，c）（c，a）（c，b）共 6 個基本事件，其中有一次是次品的基本事件有 4 個，分別為（a，c）（b，c）（c，a）（c，b），所以概率為 P=4/6=2/3。當(dāng)每次取出放回時，可能的結(jié)果有（a，a）（a，b）（a，c）（b，b）（b，a）（b，c）（c，a）（c，b）（c，c）共 9 個基本事件，恰有一次次品的事件有（a，c）（b，c）（c，a）（c，b）共4 件，所以取出的兩件產(chǎn)品中恰有一件次品的概率為 P=4/9。

這個問題是學(xué)生通過親自動手實驗解決的，通過這個實驗，筆者成功引入了古典概率模型，讓學(xué)生對古典概率模型有了初步的認(rèn)識，使問題變得直觀易懂，即便之后學(xué)習(xí)了古典概率模型，通過這個實驗也能加深對該知識點的理解。動手操作加深理解的做法不僅營造了良好的課堂氛圍，還能有效促進(jìn)學(xué)生積極參與教學(xué)活動，教學(xué)效果頗佳。

三、鏈接生活，激活體驗

說起數(shù)學(xué)建模，不少學(xué)生尚未了解就產(chǎn)生了畏難情緒，事實上，數(shù)學(xué)建模本質(zhì)上是對實際事物或?qū)嶋H問題的抽象，學(xué)生只要聯(lián)系生活，逐一分析，就能建立起數(shù)學(xué)模型。因此，為了更好發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)建模的創(chuàng)造性與靈活性，教師應(yīng)當(dāng)充分激發(fā)學(xué)生的認(rèn)知體驗，通過鏈接生活，創(chuàng)設(shè)具體的生活情境，從而充分調(diào)動學(xué)生的思維。比如筆者在對人教版高中數(shù)學(xué)必修 5《數(shù)列》這一章節(jié)內(nèi)容進(jìn)行教學(xué)時，為了引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會對實際問題進(jìn)行分析并建立遞推數(shù)列的數(shù)學(xué)模型，筆者創(chuàng)設(shè)了與學(xué)生的實際生活有關(guān)的問題情境。

例 3：某女生打排球受傷，醫(yī)生囑服某種藥物。每粒藥丸含 220 毫克藥物，每8 小時服兩粒，連續(xù)服用 10 天。已知女生的身體每 8 小時吸收藥物的 60%，試問 10 天后，該女生身體中藥物的含量為多少？

首先，筆者和學(xué)生一起根據(jù)生活經(jīng)驗分析這道題：設(shè) 8 小時為一個時間段，該女生第一次服用后體內(nèi)藥物含量為 440 毫克，第二次服用后，體內(nèi)所含的藥物分為兩個部分：第一次服用藥物后所吸收的 60% 以及新服用藥物 440 毫克。和學(xué)生一起分析之后，筆者指導(dǎo)學(xué)生嘗試建立遞推模型：設(shè)an 表示第 n 個時間段的藥物含量，則在an-1 應(yīng)當(dāng)為第 n-1 個時間段內(nèi)藥物含量的60% 以及新服藥物 440 毫克的和，即an=60%×an-1+440。當(dāng)把這個式子列出來之后，筆者即告知學(xué)生，這個式子就是一個數(shù)學(xué)模型，接下來利用迭代的方法求解出問題的答案即可。

一般來說，數(shù)列模型所涉及的數(shù)據(jù)都比較多，學(xué)生看到太多的數(shù)據(jù)很容易產(chǎn)生畏難情緒，教師只要在教學(xué)過程中將數(shù)學(xué)建模與實際生活相聯(lián)系，實現(xiàn)教學(xué)生活化，既能提高學(xué)生利用數(shù)學(xué)模型解決實際問題的能力，還與新課標(biāo)的教育理念不謀而合。

四、借助電腦優(yōu)化教學(xué)

隨著信息技術(shù)的不斷發(fā)展，計算機(jī)在教學(xué)中被廣泛應(yīng)用，因此在數(shù)學(xué)課堂上合理地使用多媒體課件來創(chuàng)建數(shù)學(xué)模型，可以使教師傳達(dá)的信息豐富、翔實、具象化，從而調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，將學(xué)生迅速引入建模氛圍，提高課堂的教學(xué)效率。比如筆者在對《簡單的線性規(guī)劃問題》這一節(jié)的內(nèi)容進(jìn)行教學(xué)時，適當(dāng)?shù)亟柚娔X輔助教學(xué)。筆者在課上引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行了習(xí)題練習(xí)，教學(xué)重點目標(biāo)是引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會通過分析問題情境，建立出線性規(guī)劃模型。

例 4：某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品，其成本為 27 元/千克，售價為 50 元/千克。在生產(chǎn)中，每千克產(chǎn)品產(chǎn)生 0.3 立方米的污水，污水有兩種排放方式……

首先，學(xué)生可以通過分析題意找出其中的約束條件：設(shè)該廠生產(chǎn)的產(chǎn)量為x 千克/時，直接排入河流的污水為 y 立方米/時，①0≤0.3x-y≤0.9 ②y≤0.025 ③x≥0，y≥0，求如何生產(chǎn)與排污工廠效益最大，也就是求目標(biāo)函數(shù) z=106.55x-1436.3y 的最大值，據(jù)此學(xué)生通過分析建立了線性規(guī)劃模型。緊接著筆者讓學(xué)生對這一模型進(jìn)行求解，在大部分學(xué)生計算出答案后，筆者利用電腦中的 EXCEL 軟件快速對這一線性規(guī)劃問題求解，得到結(jié)果為 x=3.75，y=0.09，從而快速檢驗學(xué)生的答案。

在上述教學(xué)活動中，筆者圍繞教學(xué)目標(biāo)，著重關(guān)注學(xué)生的模型建立過程，對于模型求解則是通過借助電腦進(jìn)行快速的檢驗，讓求解錯誤的學(xué)生課下重新求解，從而高效率地實現(xiàn)了教學(xué)目標(biāo)。

綜上所述，教師在指導(dǎo)學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型時，通過采用問題驅(qū)動、開展實驗、鏈接生活、借助電腦等策略，能夠有效發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，培養(yǎng)自身創(chuàng)造性，提高其數(shù)學(xué)思維。總之，數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)中一種重要的思想方法，是運用數(shù)學(xué)的語言和方法去解決實際問題的強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)手段，當(dāng)代數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)重視建模思想的滲透，通過采取各種高效的教學(xué)模式與方法，指導(dǎo)學(xué)生在建模中提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

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[3]劉海蓉.建模思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透[J].基礎(chǔ)教育研究，2016（20）

（責(zé)編 韋 力）