于海青

摘 要 幾何畫板是輔助數(shù)學(xué)教學(xué)的工具，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中利用幾何畫板，有利于展示數(shù)量、圖形的變化過程和理解概念的生成過程，有利于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維、創(chuàng)新思維，突破教學(xué)重難點(diǎn)，優(yōu)化高中數(shù)學(xué)教學(xué)方式。以雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程為例，闡述幾何畫板在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的應(yīng)用價(jià)值，提出幾何畫板優(yōu)化高中數(shù)學(xué)教學(xué)的策略，并以日常生活和生產(chǎn)運(yùn)輸應(yīng)用較多的雙曲線性質(zhì)為例進(jìn)行探究。

關(guān)鍵詞 幾何畫板；高中數(shù)學(xué)；雙曲線；標(biāo)準(zhǔn)方程；多媒體

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B

文章編號(hào)：1671-489X（2018）13-0025-03

1 前言

隨著現(xiàn)代信息技術(shù)的發(fā)展，多媒體技術(shù)應(yīng)用于數(shù)學(xué)課堂教學(xué)成為一種必然趨勢(shì)。而作為多媒體技術(shù)的重要組成部分，幾何畫板憑借強(qiáng)大的圖形界面功能和簡(jiǎn)單的操作，成為輔助數(shù)學(xué)教學(xué)的有效軟件，彌補(bǔ)了傳統(tǒng)教學(xué)中直觀感、立體感和動(dòng)態(tài)感不足等問題。因此，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，充分發(fā)揮幾何畫板的教學(xué)價(jià)值，運(yùn)用幾何畫板優(yōu)化高中數(shù)學(xué)教學(xué)，具有重要意義。

2 幾何畫板在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的應(yīng)用價(jià)值

所謂幾何畫板，是由美國(guó)Key Curriculum Press公司制作的，以點(diǎn)、線、圓為基本元素，通過計(jì)算、構(gòu)造、變換、動(dòng)畫、跟蹤軌跡等方式構(gòu)造和顯示復(fù)雜圖形的一種幾何軟件，常常被應(yīng)用于輔助教學(xué)平面幾何、解析幾何、射影幾何等方面。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用幾何畫板，具有三個(gè)重要的教學(xué)價(jià)值。

有利于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維 借助幾何畫板，學(xué)生可以對(duì)同一圖像從不同角度觀看其形狀，觀察到圖像變量和定量之間的關(guān)系，共同探討得出結(jié)論，完善自己的知識(shí)結(jié)構(gòu)，有效理解教學(xué)中的重難點(diǎn)知識(shí)。如在函數(shù)圖像做法講解時(shí)，利用幾何畫板，可以讓學(xué)生在同一坐標(biāo)系中觀察到y(tǒng)=sinx、

y=sinx2、y=2sinx、y=sin2x等正弦函數(shù)所有可能的情況，并組織學(xué)生探討從中得出三角函數(shù)變化的規(guī)律。

有利于展示數(shù)量、圖形的變化過程 抽象化、公式化是高中數(shù)學(xué)知識(shí)的基本特點(diǎn)，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中引入幾何畫板后，可以使抽象概念變得簡(jiǎn)單，圖像更加生動(dòng)，數(shù)量之間的關(guān)系也更易于學(xué)生觀察。如在“中心對(duì)稱圖形”教學(xué)中，利用變換、旋轉(zhuǎn)等幾何畫板功能，可以讓抽象的中心對(duì)稱圖形特征變得更加形象，讓學(xué)生清晰地觀看、對(duì)比旋轉(zhuǎn)前后的效果。又如在觀察探究圓心角與圓周角兩者之間的關(guān)系時(shí)，通過拖動(dòng)圓周上的某一點(diǎn)，可以讓學(xué)生明顯地猜想到兩者之間的關(guān)系，并應(yīng)用幾何畫板中角度測(cè)量工具，準(zhǔn)確地證明出兩者之間的關(guān)系。

有利于動(dòng)態(tài)呈現(xiàn)信息，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維 創(chuàng)新是社會(huì)進(jìn)步不竭的動(dòng)力。由于傳統(tǒng)教學(xué)中展示的圖像都是靜止孤立的，學(xué)生很難直接觀察到隱藏的隱形關(guān)系。而幾何畫板的使用，不僅激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，而且通過逼真的演示，可以讓學(xué)生有創(chuàng)造性地解決問題，能夠?qū)㈧o止的線條或圖像變成動(dòng)感的線條或圖像，有助于學(xué)生從感性知識(shí)上升為理性知識(shí)。如在推導(dǎo)三棱柱體積公式時(shí)，利用拉開、重疊等幾何畫板功能，并用不同顏色標(biāo)注三棱錐，創(chuàng)新得出三棱柱的體積與三個(gè)三棱錐的體積相等的結(jié)論。

3 運(yùn)用幾何畫板優(yōu)化高中數(shù)學(xué)教學(xué)的策略

注重教學(xué)方法和步驟 教師應(yīng)圍繞教學(xué)內(nèi)容，在充分利用幾何畫板進(jìn)行演示和講解中，要向?qū)W生說明教學(xué)的目標(biāo)和教學(xué)的重難點(diǎn)內(nèi)容，要考慮如何演示和講解，才能符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。如在講解三角函數(shù)誘導(dǎo)公式時(shí)，應(yīng)充分考慮需要不需要重復(fù)演示，是先動(dòng)畫還是先拖動(dòng)，等等。同時(shí)，不能完全依賴幾何畫板，要有效結(jié)合傳統(tǒng)教學(xué)方法，充分發(fā)揮出各自的優(yōu)勢(shì)。如在探究正弦定理時(shí)，傳統(tǒng)教學(xué)測(cè)量?jī)?nèi)角度數(shù)和三條邊長(zhǎng)長(zhǎng)度時(shí)存在誤差，并且度量占用較多時(shí)間；而利用幾何畫板計(jì)算功能后，學(xué)生對(duì)知識(shí)的感受不僅直觀，而且測(cè)量結(jié)果精準(zhǔn)。

注重板書設(shè)計(jì) 和傳統(tǒng)教學(xué)模式一樣，幾何畫板教學(xué)亦應(yīng)注重板書，為了讓學(xué)生觀看得更加直觀，理解起來更加容易，在具體教學(xué)實(shí)踐時(shí)應(yīng)列出相應(yīng)的圖表，書寫出知識(shí)點(diǎn)提綱，特別是在概念講解、探究性質(zhì)時(shí)，一定要呈現(xiàn)板書。如在運(yùn)用幾何畫板描繪函數(shù)圖像時(shí)，必須在列表、取值、計(jì)算、描點(diǎn)、連線等傳統(tǒng)板書教學(xué)后，再運(yùn)用幾何畫板展示圖像，在激發(fā)學(xué)生興趣的基礎(chǔ)上熟練掌握教授內(nèi)容。

與創(chuàng)設(shè)問題情境相融合 學(xué)生學(xué)習(xí)的內(nèi)容越貼近實(shí)際生活，學(xué)生越容易接受知識(shí)。對(duì)于幾何畫板教學(xué)而言，也應(yīng)與實(shí)際生活聯(lián)系起來，依據(jù)教學(xué)內(nèi)容，把智力因素和非智力因素結(jié)合起來，充分利用幾何畫板創(chuàng)設(shè)實(shí)際生活情境，拓展學(xué)生學(xué)習(xí)內(nèi)容，幫助學(xué)生養(yǎng)成探索學(xué)習(xí)的精神。如在組織學(xué)生復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)知識(shí)時(shí)，筆者利用幾何畫板創(chuàng)設(shè)問題情境：已知方程x2-lnx-x=0，要求利用數(shù)形結(jié)合思想探究出該方程有幾個(gè)根。對(duì)于該問題，大部分學(xué)生都將其轉(zhuǎn)換為函數(shù)g（x）=lnx與函數(shù)f（x）=x2-x交點(diǎn)的個(gè)數(shù)。由于利用傳統(tǒng)描點(diǎn)法，學(xué)生很難精準(zhǔn)地描繪出函數(shù)的圖形，因此，探究的結(jié)果也不相一致。此時(shí)，筆者組織學(xué)生利用幾何畫板準(zhǔn)確地畫出函數(shù)的圖像，如圖1所示，從而解決學(xué)生認(rèn)知上的困難，幫助學(xué)生有效解題。

與搭建探索平臺(tái)相融合 由于幾何畫板的動(dòng)態(tài)性和直觀性等特點(diǎn)，幾何畫板教學(xué)非常適合于問題探究。在具體探究教學(xué)中，教師應(yīng)充分考慮高中學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，精心設(shè)計(jì)探索問題，將幾何畫板融入進(jìn)去；特別是在解決重難點(diǎn)知識(shí)時(shí)，要利用幾何畫板搭建探究平臺(tái)，積極組織學(xué)生猜想、畫圖驗(yàn)證和歸納整理。

4 幾何畫板應(yīng)用案例

為了在教學(xué)實(shí)踐中探索出幾何畫板在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的有效運(yùn)用途徑，筆者以日常生活和生產(chǎn)運(yùn)輸運(yùn)用較多的雙曲線性質(zhì)為例進(jìn)行探究。

雙曲線性質(zhì)是高中數(shù)學(xué)圓錐曲線中的重要內(nèi)容，與橢圓和拋物線的性質(zhì)密切相關(guān)，熟練掌握雙曲線的性質(zhì)，不僅能夠?yàn)閰?shù)方程與函數(shù)方程有機(jī)聯(lián)系做好鋪墊，而且能提高學(xué)生綜合解題能力。在具體教學(xué)中可以通過類比、觀察、討論等數(shù)學(xué)活動(dòng)，實(shí)現(xiàn)位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系之間的轉(zhuǎn)變。其教學(xué)的重點(diǎn)是掌握雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程的定義，難點(diǎn)在于得出a、b、c之間的關(guān)系。同時(shí)，高中學(xué)生已經(jīng)具備一定的數(shù)形結(jié)合思想，教學(xué)中應(yīng)以探究分析和直觀觀察為主。

復(fù)習(xí)引入 組織學(xué)生回顧橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程以及幾何性質(zhì)及應(yīng)用，利用幾何畫板形象地呈現(xiàn)出圖2所示的橢圓圖像，并探討當(dāng)平面內(nèi)一個(gè)點(diǎn)到兩定點(diǎn)F1、F2的距離的差都等于常數(shù)時(shí)，則該點(diǎn)的軌跡圖像是什么？

探究學(xué)習(xí) 以課前準(zhǔn)備好的拉鏈為教具，將拉鏈的一頭截掉部分，然后將不平齊的兩頭固定，再將拉鏈頭逐漸拉開，觀看拉鏈頭所形成的軌跡，將其抽象出雙曲線的符號(hào)[|MF1|-|MF2|=2a，（0<2a<2c）]、焦距（|F1F2|）、定點(diǎn)（F1、F2）等，組織學(xué)生熟練掌握雙曲線的第一定義。

為了形象展示雙曲線的圖像，利用幾何畫板展示出圖3所示雙曲線圖像，以簡(jiǎn)單雙曲線方程為例，介紹實(shí)軸、虛軸、焦點(diǎn)、焦距等雙曲線概念及其幾何意義，類比橢圓草圖畫法，猜想雙曲線草圖是否可以借助特殊矩形框進(jìn)行描繪。當(dāng)學(xué)生探究得出利用矩形框無法確定雙曲線走向時(shí)，教師應(yīng)及時(shí)給予幫助和提示，讓學(xué)生聯(lián)系初中接觸到的雙曲線實(shí)例，利用反比例函數(shù)圖像，呈現(xiàn)出漸近線的概念，通過圖像大膽猜想出漸近線和矩形框的關(guān)系，并在此基礎(chǔ)上揭示出離心率的幾何意義，在幾何畫板中尋找出a、b、c所代表的意義。

深化認(rèn)知 組織學(xué)生進(jìn)一步思考雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，它的標(biāo)準(zhǔn)方程如何表示，并設(shè)置以下變式題目和探究性題目，不斷幫助學(xué)生完善知識(shí)結(jié)構(gòu)。

【例1】已知方程，請(qǐng)說明該方程所能描繪的曲線，并自己動(dòng)手在幾何畫板中描繪。

設(shè)計(jì)意圖：以參數(shù)m的變化帶動(dòng)曲線類型的多種變

化，既要求學(xué)生考慮x、y系數(shù)的正負(fù)，又要求學(xué)生探究數(shù)值的大小。

【例2】已知△ABC，其A、B的坐標(biāo)分別為（-6，0）、（6，0），CA與CB直線斜率之積為，求點(diǎn)C的軌跡。

【例3】除CA與CB直線斜率之積為-外，其他條件同例2，則點(diǎn)C的軌跡是什么？

【例4】除A、B的坐標(biāo)分別為（0，-6）、（0，6）外，其他條件同例2，則點(diǎn)C的軌跡是什么？

【例5】除CA與CB直線斜率之積為m外，其他條件同例2，則點(diǎn)C的軌跡是什么？

設(shè)計(jì)意圖：例3、例4、例5是例2的變式，只是改變個(gè)別條件，解題方式不變，然而結(jié)論發(fā)生了變化，同時(shí)深化了數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)與方程等重要數(shù)學(xué)思想，有助于學(xué)生進(jìn)一步完善知識(shí)結(jié)構(gòu)。

小結(jié)新知 以探究雙曲線與橢圓之間的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)為主題，組織學(xué)生從定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、焦點(diǎn)等方面進(jìn)行總結(jié)，并要求學(xué)生自己動(dòng)手在幾何畫板中描繪出以下軌跡：

1）F1（-6，0），F(xiàn)2（6，0），|PF1|-|PF2|=5；

2）F1（-6，0），F(xiàn)2（6，0），||PF1|-|PF2||=5。

5 結(jié)語

綜上所述，幾何畫板是輔助數(shù)學(xué)教學(xué)的工具，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中利用幾何畫板，有利于展示數(shù)量、圖形的變化過程和理解概念的生成過程，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維、創(chuàng)新思維，突破教學(xué)重難點(diǎn)，優(yōu)化教學(xué)方式。同時(shí)，學(xué)生可以利用幾何畫板動(dòng)手操作，從而更深刻地理解圖像、理解數(shù)學(xué)。

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