李珊 栗巧玲 余旭洪

【摘要】 本文提出了等價無窮小量代換的一個重要結(jié)論以及等價無窮小與泰勒公式的關(guān)系.

【關(guān)鍵詞】 等價無窮小量;泰勒公式;極限

【基金項目】 國家自然科學(xué)基金（11601331，11601332），上海高校青年教師培訓(xùn)資助計劃.

高等數(shù)學(xué)的研究對象是變量，研究方法是無窮小分析法，也就是極限方法，掌握好極限概念與極限運算是從初等數(shù)學(xué)邁入高等數(shù)學(xué)的一個重要階梯.求解極限的方法有很多，但選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄖ苯雨P(guān)系到運算過程的簡便程度和運算結(jié)果的正確性.利用等價代換求解極限是指將一些無窮小量用與其等價的無窮小量來替代，從而簡化運算[1-3]，但是遇到分式中的加減項的時候不能隨便套用等價無窮小.

例1 ??求 lim x→0 ?tanx-sinx sin3x .

錯誤解法 ?當(dāng)x→0時，tanx～x，sinx～x，

∴原式=lim x→0 ?x-x x3 =0.

正確解法 ?當(dāng)x→0時，tanx～x，sinx～x，1-cosx～ 1 2 x2，

∴原式=lim x→0 ?tanx（1-cosx） x3 =lim x→0 ??1 2 x3 x3 = 1 2 .

分析 ?錯誤在于認(rèn)為當(dāng)x→0時，tanx～x，sinx～x，則有tanx-sinx～x-x=0，即錯誤地認(rèn)為無窮小量的代換可以任意地應(yīng)用到極限運算中，并忽視了在等價無窮小代換中，分子、分母必須是相同無窮小量的同階形式，也就是說如果按照錯誤的解法進行無窮小替換之后，分子是關(guān)于x的一階無窮小，而分母是關(guān)于x的三階無窮小，則分子與分母的比值應(yīng)該為∞，這與無窮小等價替換的定理二[1]相矛盾，定理二指出：設(shè)α～α? ～ ，β～β? ～ ，且lim β? ～? α? ～? 存在，則lim β α =lim β? ～? α? ～? .即利用等價無窮小做代換，就必須滿足替換后的極限必須是存在的.

這個題目應(yīng)用泰勒公式的計算方法為：

原式=lim x→0 ??x+ x3 3 +o（x3） - x- x3 6 +o（x3）? x3

=lim x→0 ??x3 2 +o（x3） x3 = 1 2 .

也就是說和差不能代換的原因是tanx-sinx= x3 2 +o（x3）.

根據(jù)上例，我們得到一個有用的定理.

定理 ?α，β，α? ～ ，β? ～ 為同一變化過程中的無窮小量，且α，β為同階無窮小，又α～α ?～ ，β～β? ～ .

（1）當(dāng)lim β α ≠-1時，則 α+β γ ～ α? ～ +β? ～? γ ;

（2）當(dāng)lim β α ≠1時，則 α-β γ ～ α? ～ -β? ～? γ .

證明 ?由已知lim β α =a，lim β′ β =1，則當(dāng)a≠-1時，

有l(wèi)im ?α? ～ +β? ～? γ?? α+β γ? =lim 1+ β? ～? α? 1+ β α? = lim 1+ β? ～? β · β α?? lim 1+ β α?? = 1+a 1+a =1，

即當(dāng)lim β α ≠-1時，則 α+β γ ～ α? ～ +β? ～? γ .同理可證（2）.

由該定理我們可以看出上述例子的錯誤在于，首先，lim -sinx tanx =-1不滿足該定理的條件，所以不能隨意利用等價無窮小量代換;其次，該定理的應(yīng)用和分母γ沒有必然的聯(lián)系.

例2 ??求 lim x→0 ?ex-1+arcsin3x 4x .

解 ?當(dāng)x→0時，ex-1～x，arcsin3x～3x，

且lim x→0 ?arcsin3x ex-1 =lim x→0 ?3x x =3≠-1，

所以，當(dāng)x→0時，ex-1+arcsin3x～x+3x=4x.

由定理2易知：原式=lim x→0 ?4x 4x =1.

通過定理2，很大程度上給極限運算中的代數(shù)和帶來了方便.

例3 ??求 lim x→0 ?tanx-sinx arctanx .

錯誤解法 ?當(dāng)x→0時，tanx～x，sinx～x，

∴原式=lim x→0 ?x-x x =0.

正確解法 ?當(dāng)x→0時，tanx～x，1-cosx～ 1 2 x2，

∴原式=lim x→0 ?tanx（1-cosx） x =lim x→0 ??1 2 x3 x =0，

或者，原式=lim x→0 ??x+ x3 3 +o（x3） - x- x3 6 +o（x3）? x =lim x→0 ??x3 2 +o（x3） x =0.

例3是一個經(jīng)典的反例，是很多學(xué)生在求解極限時會出現(xiàn)的錯誤，認(rèn)為答案是正確的，步驟就沒有問題，其實卻弄巧成拙.

總之，在一般情況下，無窮小量的等價代換并不完全適合于極限的加減運算，此時可以結(jié)合泰勒公式進行計算.而在教學(xué)過程中，部分學(xué)生想當(dāng)然地進行無窮小量的代換，以至于不可避免地會出現(xiàn)這樣那樣的錯誤.

【參考文獻】

[1]同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2014.

[2]陳紀(jì)修，於崇華，金路.數(shù)學(xué)分析[M].北京：高等教育出版社，2010.

[3]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析[M].北京：高等教育出版社，2004.