王磊

在中學數(shù)學中數(shù)學思想主要有五個：整體思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、函數(shù)與方程思想、數(shù)形結合與分類討論思想.而“類比”思想作為一種重要的思維方法在數(shù)學教學中有著特殊的作用.縱觀近幾年的數(shù)學中考題可以發(fā)現(xiàn)，中考尤其重視對數(shù)學思想方法的考查，不論是基礎題，中檔題，還是壓軸題無一不顯露這樣的特點.其中近幾年對“類比”思想的考查顯得較為頻繁，充分體現(xiàn)了“類比”思想的重要性.筆者想利用本文對其中一題進行總結與剖析，供大家交流.

例題 如圖1所示，E是正方形ABCD的邊AB上的動點，EF⊥DE交BC于點F.設正方形邊長為4，AE=x，BF=y，當x取何值時，y有最大值？并求出這個最大值.

分析 根據(jù)題意可知，這是一道典型的利用“同角（等角）的余角相等”的題目，學生解決本題的關鍵就是找到這個同角，再利用這個定理解決就可以了.

解答 ∵EF⊥DE，∴∠DEF=90°，∴∠AED+∠BEF=90°，又∵∠AED+∠ADE=90°，∴∠ADE=∠BEF，∴△ADE∽△BEF，則有ADBE=AEBF，即44-x=xy，化簡得y=-14x2+x=-14（x-2）2+1，所以當x=2時，y有最大值1.

變式運用 如圖2所示，矩形ABCD中，AB=3，BC=5，點P是BC邊上的一個動點（點P不與點B、C重合），現(xiàn)將△PCD沿直線PD折疊，使點C落到點C′處;作∠BPC′的角平分線交AB于點E.設BP=x，BE=y，問：當x取何值時，y有最大值？并求出這個最大值.

分析 本道題在例題的基礎上進行了簡單的變形，利用了對稱和角平分線的性質(zhì)可以將本題轉(zhuǎn)化成例題的類型，從而不難看出和例題的相似之處.

解答 由題意可知∠CPC′=2∠DPC′，∵PE是∠BPC′的角平分線，∴∠BPC′=2∠EPC′，又∵∠CPC′+∠BPC′=180°，∴∠DPC′+∠EPC′=90°，即EP⊥DP.由例題的方法可以知道△BPE∽△CDP，則有BECP=BPCD，即y5-x=x3，化簡得

y=-13x2+53x，進而可求得當x=52時，y有最大值2512.

推廣運用1 如圖3所示，直角梯形OABC的一頂點O是坐標原點，邊OA，OC分別在x軸、y軸的正半軸上，OA∥BC，D是BC上一點，BD=14OA=2，AB=3，∠OAB=45°，E、F分別是線段OA，AB上的兩動點，且始終保持∠DEF=45°.設OE=x，AF=y，試確定y與x之間的函數(shù)關系.

分析 本道題在例題的基礎進行了推廣，很顯然地可以發(fā)現(xiàn)由原來的垂直關系推廣到了特殊角的關系，而且利用了類似于定理“同角（等角）的余角相等”的思想來解決本道題，完全展現(xiàn)了數(shù)學“類比”思想方法的運用.

解答 連接OD，如圖3所示，先求出D點坐標為322，322，可知：D點在∠COA的平分線上，則∠DOE=∠COD=45°，又∵在梯形DOAB中，∠BAO=45°，∴OD=AB=3，由三角形外角定理得：∠1=∠DEA-∠DOE=∠DEA-45°，又∵∠2=∠DEA-45°，∴∠1=∠2，∴△ODE∽△AEF，∴OEAF=ODAE，即xy=342-x，∴y=-13x2+423x.

推廣運用2 如圖4所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=2，D是AB邊上一個動點（不與點A，B重合），E是BC邊上一點，且∠CDE=30°.設AD=x，BE=y，試確定y與x之間的函數(shù)關系.

分析 本道題仍是例題的推廣運用，繼續(xù)體現(xiàn)“類比”思想的運用.但在推廣運用1的基礎上加大了難度，本題需要我們對圖形進行構造，構造出相似三角形，再利用例題方法的類比思想就可以得到解決了.

解答 構造如圖5的底角為30°的等腰三角形CFB，∵∠CDE=30°，∴∠CDF+∠BDE=150°，在△DBE中，∠B=30°，則有∠BDE+∠BED=150°，∴∠CDF=∠BED，那么△CFD∽△DBE（如圖6所示）.因此，CFFD=DBBE，即232+x=4-xy，整理后得y=-36x2+33x+433.

總之，一些數(shù)學問題的解決思路常常是相通的，類比思想可以教會學生由此及彼，靈活應用所學知識.如何使學生較快地理解和掌握數(shù)學思想、方法，更是我們廣大中學數(shù)學教師所關心以及要進行深入研究的問題.對類比思想在初中教學中的運用，我們還有待于挖掘、發(fā)展、完善，讓學生在數(shù)學學習中起到事半功倍的效果，從而使學生學得輕松，學得開心.