黃雅楠

【摘要】首先，本文介紹了經(jīng)典的兩個服務員的并聯(lián)系統(tǒng)；其次，通過對排隊規(guī)則的改變，更新該系統(tǒng)并給出算法；最后，用R軟件對系統(tǒng)進行模擬.

【關鍵詞】排隊論；并聯(lián)系統(tǒng)；R軟件模擬

一、引言

排隊是人們?nèi)粘Ｉ钪薪?jīng)常遇到的現(xiàn)象.排隊論，又稱隨機服務系統(tǒng)，是通過對服務對象到來和服務時間的統(tǒng)計研究，得出一些數(shù)量指標的統(tǒng)計規(guī)律，根據(jù)這些規(guī)律來改進并優(yōu)化服務系統(tǒng)的結構.由于排隊論的應用越來越廣泛，排隊規(guī)則和服務機構也變得愈之復雜，解析方法已無法求解，而隨著計算機技術的發(fā)展，計算機模擬成為求解排隊系統(tǒng)并分析系統(tǒng)性能的一種有效的方法.

二、排隊系統(tǒng)理論

一個排隊系統(tǒng)有四個基本要素：輸入過程、排隊規(guī)則、服務時間和服務系統(tǒng).

輸入過程，是描述顧客來源及顧客是按照怎樣的規(guī)律到達排隊系統(tǒng)，它包括顧客總體數(shù)、顧客到達類型、相繼顧客到達的間隔時間服從怎樣的分布，分布參數(shù)是什么.排隊規(guī)則，是指服務是否允許排隊，顧客是否愿意等待，在排隊等待的情況下，服務的順序是怎樣的.服務時間，是指服務員對顧客服務所消耗的時間，是一個隨機變量，它們相互之間獨立同分布.服務機構，即服務臺的數(shù)目.

三、模型分析

考慮兩個服務員的模型，顧客按照非齊次的Possion過程到來.若兩個服務員1，2都是忙的，則來到的顧客進入排隊等候的隊伍，設每個服務員都有其自己的排隊，一個來到者加入最短的隊伍.當來到者發(fā)現(xiàn)兩個隊伍一樣長（或兩個服務員前都是空的）時，就來到服務員1前.當顧客接受完一個服務員的服務后將自動離開此系統(tǒng).每個顧客接受服務員i的服務時間有分布函數(shù)Gi，i=1，2.

我們要模擬上述模型來分析每個顧客花費在這個系統(tǒng)中的總時間和每個服務員服務的顧客數(shù).由于有兩個服務員，故顧客不必按照來時的順序離開，要知道哪一個顧客將離開此系統(tǒng)就要根據(jù)服務的完成情況來確定，故我們必須了解哪些顧客是在該服務系統(tǒng)中.當顧客到達時，我們對其進行編號，第一個到達的顧客編號為1，下一個編號為2，等等.假設顧客i和j正在接受服務，其中i0個顧客正在排隊.

為了分析此系統(tǒng)，我們引入下述變量.

1.時間變量：（1）當前時間t；（2）規(guī)定計時從0開始t0；（3）顧客到達時間tA；（4）顧客花在系統(tǒng)中的平均時間TT；（5）離開服務員1，2的時間t1，t2.2.系統(tǒng)狀態(tài)變量：S1，S2.3.計數(shù)變量：（1）接受S1，S2服務顧客數(shù)統(tǒng)計c1，c2；（2）S1，S2中接受服務顧客序列號i1，i2；（3）到達人數(shù)N；（4）系統(tǒng)中的人數(shù)n.4.輸出變量：（1）在S1中接受服務顧客所占比重c1_percent；（2）離開S1，S2的時間及最后一個顧客離開的時間D1，D2，D.

四、算法

設yi是分布Gi，i=1，2的隨機變量.模擬算法如下：

第一步：初始步，令t=t0=tA=0，c1=c2=0，n=N=0，i1=i2=0，TT=0，

D1=D2=0，c1_percent=0，wq=99 999，t1=t2=wq，輸出結果.

第二步：當?shù)竭_時間及離開服務員的時間有限，若tA是t1，t2，tA中最小的，則將tA賦給t，到達人數(shù)N遞增，賦予tA一個分布，進行第三步；若t1是t1，t2，tA中最小的，則將t1賦給t，接受S1服務的顧客c1遞增，進行第四步；若t2是t1，t2，tA中最小的，則將t2賦給t，接受S2服務的顧客c2遞增，進行第五步.

第三步：有顧客到達的情況，若人數(shù)n=0，則n=n+1，i1=N，令y1為指數(shù)分布，且t1=t+y1；若人數(shù)n=1且第i1個顧客數(shù)大于0，則n=n+1，i1=N，令y2為另一指數(shù)分布，且t2=t+y2；若人數(shù)n=1且第i2個顧指數(shù)大于0，令n=n+1，i1=N，令y1為指數(shù)分布，且t1=t+y1；若人數(shù)n>1，令n=n+1，表明S1，S2都有人在接受服務，只能等待，需更新系統(tǒng)人數(shù)；若顧客數(shù)到達上限，則不再接受顧客.

第四步：有顧客離開S1的情況，若人數(shù)n=1，則令n=n-1，i1=i2=0，把t1賦給D1，令t1為無窮大；若人數(shù)n=2，則令n=n-1，i1=0，令t1為無窮大；若人數(shù)n>2，則令n=n-1，i1=max{i1，i2}+1，令y1為指數(shù)分布，且t1=t+y1.

第五步：有顧客離開S2的情況，若人數(shù)n=1，則令n=n-1，i1=i2=0，把t2賦給D1，令t2為無窮大；若人數(shù)n=2，則令n=n-1，i2=0，令t2為無窮大；若人數(shù)n>2，則令n=n-1，i2=max{i1，i2}+1，令y2為另一指數(shù)分布，且t2=t+y2.

第六步：輸出數(shù)據(jù)，S1服務的顧客占總顧客數(shù)的百分比和顧客在系統(tǒng)中平均等待的時間.

五、具體算例及結果展示

假設服務員1是速率為4的指數(shù)分布，服務員2是速率為3的指數(shù)分布，顧客以速率為6的Possion過程到來.試求1 000個顧客花費在系統(tǒng)中的平均時間及這1 000個來到者中由服務員1服務所占的比例.10 000及100 000個顧客呢？

用R軟件模擬的結果如下表所示.

1 000個顧客10 000個顧客100 000個顧客

花費時間0.561 000 00.575 900 00.574 040

所占比例0.160 479 80.144 944 40.142 786

六、結束語

由上述過程可以看出，通過運用計算機對排隊系統(tǒng)進行模擬，可以考察系統(tǒng)狀態(tài)的動態(tài)行為和特征.通過大量的多次試驗，獲得更加有益的排隊規(guī)則，可降低試驗成本，提高系統(tǒng)可靠性.

【參考文獻】

[1]肖枝紅，朱強.統(tǒng)計模擬及其R實現(xiàn)[M].武漢：武漢大學出版社，2010.

[2]王勇.排隊管理系統(tǒng)在銀行管理中的應用[J].黑龍江大學自然科學學報，2006（2）：157-162.