王 霞

（天津科技大學(xué)，天津300222）

高等數(shù)學(xué)微課程教學(xué)設(shè)計的研究

王 霞

（天津科技大學(xué)，天津300222）

闡述了高等數(shù)學(xué)微課程教學(xué)設(shè)計研究的意義。從高等數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的角度對概念及其相互之間的關(guān)系、公式、法則與定理、基本算法、知識點的總結(jié)及知識應(yīng)用等進行微課程設(shè)計。設(shè)計理念是以學(xué)生為中心，將隱藏于知識背后的思想方法、數(shù)學(xué)文化法融入其中。目標是培養(yǎng)學(xué)生的各種思維能力，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，提高高等數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量與教學(xué)效率。

高等數(shù)學(xué)；微課程；教學(xué)設(shè)計

高等數(shù)學(xué)在普通高等院校課程中的重要性是不言而喻的，其教學(xué)效果的優(yōu)劣將直接影響到人才培養(yǎng)的質(zhì)量。在學(xué)分制培養(yǎng)模式下，高等數(shù)學(xué)的教學(xué)學(xué)時減少了許多。微課程是當今網(wǎng)絡(luò)信息時代很重要的一種輔助教學(xué)手段，是在較短時間內(nèi)（一般不超過15分鐘）圍繞某一高等數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容或教學(xué)環(huán)節(jié)制作的微視頻。

由于高等數(shù)學(xué)的內(nèi)容是由概念、定理、公式和法則構(gòu)成的邏輯體系，很適合微課程的短小精悍、主題明確、聲情并茂、生動活潑、一課一個任務(wù)的特點。大學(xué)生課堂外有足夠的時間對微課程教學(xué)資源進行預(yù)習(xí)、復(fù)習(xí)，彌補了由于數(shù)學(xué)難懂，沒有教師指導(dǎo)看不懂的弊端，生動活潑的微課程資源充分調(diào)動了大學(xué)生的視覺、聽覺和想象力，使他們不在感覺到數(shù)學(xué)的枯燥難學(xué)，而是給他們帶來了全新的學(xué)習(xí)感受。

微課程輔助教學(xué)手段的使用，可以大大改善高等數(shù)學(xué)教學(xué)的現(xiàn)狀，能夠彌補傳統(tǒng)課堂教學(xué)手段的不足，即彌補了傳統(tǒng)高等數(shù)學(xué)課堂教學(xué)不直觀、不形象和不生動以及課前、課中、課后互動教學(xué)和個別輔導(dǎo)不足的缺點，微課程的高等數(shù)學(xué)教學(xué)資源的聲情并茂，能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使課堂教學(xué)變成有意義的活動，課堂效果得到了極大的提高，凸顯學(xué)生學(xué)習(xí)的主體地位，能夠增強大學(xué)生學(xué)習(xí)效率，有利于對學(xué)生進行因材施教，也不至于發(fā)生考試大面積不及格的現(xiàn)象，能夠促進大學(xué)數(shù)學(xué)教師教學(xué)效率的提高及教學(xué)水平提升。

一、高等數(shù)學(xué)教學(xué)中重要概念的微課程教學(xué)設(shè)計

基本概念是高等數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容，為使學(xué)生真正理解并能運用概念解決實際問題，從概念產(chǎn)生與發(fā)展、幾何直觀解釋、正確的數(shù)學(xué)語言表達、所蘊含的思想方法、具體求法及所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)文化等角度進行微課程教學(xué)設(shè)計。

極限概念貫穿于高等數(shù)學(xué)教學(xué)的始終，既是教學(xué)的重點，又是教學(xué)的難點，其應(yīng)用非常廣泛，如漸近線、無窮小量、無窮大量、連續(xù)、間斷、導(dǎo)數(shù)、微分、定積分、級數(shù)等概念都是由極限概念來定義的，使學(xué)生真正理解、掌握并會運用極限概念非常重要。因此，從六個方面對極限概念進行微課程教學(xué)設(shè)計。

1.極限概念的產(chǎn)生與發(fā)展

極限概念從古典的幾何直觀描述性的定義到現(xiàn)代精確的數(shù)學(xué)語言歷經(jīng)了幾個世紀的演變，它的萌芽可以追溯到古希臘時期和我國戰(zhàn)國時期，公元前3世紀，我國古代數(shù)學(xué)家劉徽在計算圓周率時建立的“割圓術(shù)”，用圓的內(nèi)接正九十六邊形的面積近似代替圓的面積，成功地將極限的思想進行了應(yīng)用與實踐，古希臘人的窮竭法同樣也蘊含了極限的思想。在《莊子天下篇》中，有這樣一句話：“一尺之棰，日取其半，萬事不竭”，即數(shù)列在項數(shù)n無限增大的過程中，通項的值無限趨近于常數(shù)0這一現(xiàn)象。一句廣告詞語“沒有最好，只有更好”道出了極限的真諦。

2.極限的直觀描述性的定義

3.極限的ε-N數(shù)學(xué)定義

極限實質(zhì)是一個數(shù)，是一個數(shù)列任意接近它，但總無法到達的數(shù)，其準確的數(shù)學(xué)語言是用加、減、乘及絕對值不等式將動態(tài)的極限過程用靜態(tài)的算術(shù)語言表達出來。

4.極限概念所蘊含的思想方法

極限的研究過程中體現(xiàn)了最簡單的思想，先研究數(shù)列極限，用類比的思想方法研究函數(shù)極限。從哲學(xué)角度看，極限概念體現(xiàn)出了常量與變量、有限與無限、近似與準確、特殊與一般、局部與整體、連續(xù)與離散、量變與質(zhì)變，肯定與否定、直與曲、動與靜的對立統(tǒng)一的辯證思想方法。

5.極限的具體求法

高等數(shù)學(xué)概念從計算的角度可以分為兩類：一是只闡明概念的特性，而沒有指明計算方法，極限概念就屬于這一類，第二類本身指明計算方法，如導(dǎo)數(shù)的概念。極限的具體求法的微課程教學(xué)設(shè)計就是舉出具體例子總結(jié)極限求法即可。

6.從文化角度對極限概念進行欣賞

極限是一條有盡頭卻走不到盡頭的路，極限定義是數(shù)學(xué)中和諧美的典范：它同時出現(xiàn)無窮大和無窮小，即當n→∞（無窮大）時，，一對相互矛盾的對象統(tǒng)一起來，相互依存，何等和諧！極限方法把只能意會、不可言傳的瞬時速度定義出來，再如李白的送《孟浩然之廣陵》中“孤帆遠影碧空盡，唯見長江天際流”的“孤帆”表達了趨于0的動態(tài)意境。

極限的人文精神是指雖然永遠無法到達，而人們又不肯放棄的一種信念，給人一種神秘與無限想象的空間，人生中，每一點都是起點，也是終點，把每一點當作極限來追求，才是活出風(fēng)采的王道。式子，表明積沙未必成塔，積土未必成山，如果每天積累太少，或者遞減，逆水行舟，不進則退。

二、高等數(shù)學(xué)教學(xué)中公式、法則和定理的微課程教學(xué)設(shè)計

從挖掘與滲透數(shù)學(xué)思想方法、培養(yǎng)學(xué)生思維能力、以問題的形式等不同的角度進行微課程教學(xué)設(shè)計。

公式都是用有限來表示無限的，明確每個公式的實質(zhì)，有利于學(xué)生靈活運用所學(xué)到的知識，如，實質(zhì)是當分子是分母的導(dǎo)數(shù)時，這個積分就是分母以e為底的對數(shù)，即。

任何運算法則都蘊含著有大前提條件的思想，以極限的運算法則為例，在兩個函數(shù)都有極限的前提條件下，他們的四則運算有極限，并且和（差、積與商）的極限等于極限的和（差、積與商），否則運算規(guī)則不成立，由于四則運算滿足結(jié)合律，可將極限的和（差與積）的運算規(guī)則推廣到有限多個，可以舉出反例逆命題不成立，即規(guī)則看成定理時是充分條件，再敘述出規(guī)則的否命題及逆否命題，并舉例說明是否正確，從而培養(yǎng)了學(xué)生嚴密的思維能力。

定理的微課程教學(xué)思路首先明確為什么要學(xué)這個定理，以羅爾定理為例，以問題的形式回答在講羅爾定理之前為什么要講費馬引理？如何來理解羅爾中值定理的條件及結(jié)論？幾何意義是什么？定理中的三個條件為什么是相互獨立的？如果用第二條代替第一條定理的適用范圍會發(fā)生什么變化？定理中的結(jié)論含義是什么？如何理解ξ的存在性？ξ的值是有限多個？還是無限多個？舉例說明如何用羅爾的定理。

三、高等數(shù)學(xué)教學(xué)中基本算法的微課程教學(xué)設(shè)計

高等數(shù)學(xué)中涉及的計算較多，有些基本計算方法要求學(xué)生重點掌握，在進行微課程教學(xué)設(shè)計時注重引導(dǎo)學(xué)生掌握計算原則與計算方法。以不定積分第一換元法（湊微分法）為例，對教材的定理進行深入分析，給出一個清晰的數(shù)學(xué)語言表達算法：

該算法的重點是湊微分，由發(fā)散思維dx可以看成 1 與 dx 相乘，而，即湊系數(shù)再加適當?shù)某?shù)等，還有湊公式：， 湊法則：du±dv=d （u±v），vdu+udv＝d，將 3x8+1看成一個整體便可進行積分了。此題還可進行如下變形，由此題可啟發(fā)學(xué)生做基本原理清楚了，只需做大量的練習(xí)就行了。

四、高等數(shù)學(xué)教學(xué)中知識點的歸納總結(jié)微課程教學(xué)設(shè)計

高等數(shù)學(xué)的知識模塊較多，由于受教材編排體系的限制，沒有將知識點進行系統(tǒng)的歸納總結(jié)，在進行微課程教學(xué)設(shè)計時，盡量將知識點編織成網(wǎng)加以歸納總結(jié)，以點帶面，融會貫通。如變上限函數(shù)書上只給出了定理，其導(dǎo)數(shù)為被積函數(shù)本身，既然是函數(shù)，就應(yīng)該將前面學(xué)過的知識聯(lián)系起來，以例題的形式完成定義域的求法，函數(shù)值的計算，極限、導(dǎo)數(shù)與微分的算法等，特別是給出一般的求導(dǎo)公式，這樣，學(xué)生比較容易理解變上限函數(shù)的概念。

五、高等數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)用知識的微課程教學(xué)設(shè)計

恒等變形、變量代換是高等數(shù)學(xué)解決實際問題最常用的方法，以不定積分的計算為例，說明恒等變形、變量代換方法是如何應(yīng)用的。

設(shè)變量代換一：設(shè)t=x4，

設(shè) x4=tant，dx4=dtant=sec2tdt，

高等數(shù)學(xué)作為一門比較枯燥、難懂的課程，更需要微課程這樣的輔助教學(xué)手段，通過文字、圖像、語音等較為生動活潑的媒介，將知識資源整合和分類，在傳遞數(shù)學(xué)知識的同時，又能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，并能培養(yǎng)學(xué)生的各種思維能力，從而達到提高教學(xué)質(zhì)量和教學(xué)效率的目的。

[1]趙志成.高等數(shù)學(xué)課程中微課的設(shè)計與應(yīng)用探析[J].教育觀察，2017（11）：104-105.

[2]趙銀善，懂海茵.高職院校高數(shù)微課程建設(shè)與思考[J].吉林工程技術(shù)師范學(xué)院學(xué)報，2016（6）：24-26.

[3]黃寬娜，劉徽.基于MOOC思想下的高等數(shù)學(xué)微課教學(xué)的設(shè)計與應(yīng)用[J].西南師范學(xué)院學(xué)報（自然科學(xué)版），2016（10）：146-150.

[4]儲亞偉，葉薇薇，王海坤.基于BOPPPS模型下的高等數(shù)學(xué)微課程教學(xué)設(shè)計[J].山東農(nóng)業(yè)工程學(xué)院學(xué)報，2016（9）：153-156.

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On the Teaching Design of Micro Course of Advanced Mathematics

WANG Xia
（Tianjin University of Science and Technology,Tianjin 300222,China）

This paperexpounds the significance of the research on the teaching deign of higher mathematics micro course.The micro course curriculum should include concepts,their mutual relations,formulas,rules and theorems,basic algorithm,key points and knowledge application.The design is students centered and integrates the ideas,methods and mathematical culture hidden in knowledge.The goal is to cultivate students’thinking abilities,stimulate their interests in learning,and improve the quality and efficiency of higher mathematics teaching.

advanced mathematics;micro course;teaching design

G642.0

王霞（1964—），女，教授，研究方向：基礎(chǔ)數(shù)學(xué)。

天津市教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃重點課題（HE1020）。

張華凡）