薛玉財(cái)++孫桂萍

【摘要】放縮法證明數(shù)列不等式作為高考試題中的一個(gè)難點(diǎn)，讓很多學(xué)生望而生畏，無(wú)從著手.本文中，筆者結(jié)合近幾年的高考試題，總結(jié)了一些用放縮法證明數(shù)列不等式的常用策略.

【關(guān)鍵詞】數(shù)列不等式；放縮法

【基金項(xiàng)目】本文系吉林省發(fā)改委項(xiàng)目：認(rèn)知診斷模型構(gòu)建、軟件開(kāi)發(fā)與推廣和東北師大教改項(xiàng)目：中學(xué)數(shù)學(xué)教師課堂教學(xué)表征能力及其培養(yǎng)路徑研究成果.

數(shù)列和不等式是高中數(shù)學(xué)的兩個(gè)重要內(nèi)容，而數(shù)列不等式恰是這兩個(gè)重要內(nèi)容的交匯融合.數(shù)列與不等式的交匯題作為高考的一類(lèi)重要題型，在全國(guó)各地的高考試題中屢次出現(xiàn)，其中又以數(shù)列不等式的證明最為多見(jiàn).放縮法作為數(shù)列不等式證明的一種重要方法，由于其靈活多變，學(xué)生總覺(jué)得很難掌握.下面筆者結(jié)合高考試題談一談?dòng)梅趴s法證明數(shù)列不等式的常用策略.

一、放縮目標(biāo)模型——可求和

放縮法證明與？星蠛陀泄氐牟壞仁劍艨芍苯憂蠛停拖惹蠛馱俜潘?；若不能直綉n蠛停話鬩冉ㄏ罘潘鹺笤僨蠛？.有些情況下，通項(xiàng)放縮求和后還要對(duì)和再放縮，根據(jù)不等式的傳遞性得證.高考中，又以放縮后出現(xiàn)等比模型和裂項(xiàng)相消模型最為常見(jiàn).

（一）等比模型

利用等比數(shù)列進(jìn)行放縮是一種重要的方法，即將不能直接求和的通項(xiàng)an放縮為等比數(shù)列{bn}.

例1（2014年全國(guó)卷Ⅱ理科第17題）已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=3an+1.

（Ⅰ）證明：an+12是等比數(shù)列，并求{an}的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）證明：1a1+1a2+…+1an<32.

解析（Ⅰ）an=3n-12.（Ⅱ）由（Ⅰ）知1an=23n-1，因?yàn)楫?dāng)n≥1時(shí)，3n-1≥2·3n-1，所以13n-1≤12×3n-1.于是1a1+1a2+…+1an≤1+13+…+13n-1=321-13n<32.

（二）裂項(xiàng)相消模型

裂項(xiàng)相消模型的一般形式是將an放縮為可以裂項(xiàng)相消的bn，使bn=cn+1-cn，再求和.

裂項(xiàng)求和的最常見(jiàn)形式主要有：

① 1n（n+1）=1n-1n+1；

② 1（2n+1）（2n-1）=1212n-1-12n+1；

③ 1n（n+1）（n+2）=121n（n+1）-1（n+1）（n+2）；

④ 1n（n+1）<1n2<1n（n-1）（n≥2）；

⑤ 1n2<1n2-14=4（2n+1）（2n-1）=212n-1-12n+1.

二、放縮目標(biāo)模型——可求積

放縮法證明與數(shù)列求積有關(guān)的不等式，方法與求和相類(lèi)似，只不過(guò)是放縮后得到的數(shù)列是可求積的模型，能求積的常見(jiàn)的數(shù)列模型是分式型.

例2（2015年安徽卷理科第18題）設(shè)n∈N，xn是曲線y=x2n+2+1在點(diǎn)（1，2）處的切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).

（Ⅰ）求數(shù)列{xn}的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）記Tn=x21x23…x22n-1，證明：Tn≥14n.

解析（Ⅰ）xn=1-1n+1=nn+1.

（Ⅱ）由題設(shè)和（Ⅰ）中的計(jì)算結(jié)果知

Tn=x21x23…x22n-1=122342…2n-12n2.

當(dāng)n=1時(shí)，T1=14.

當(dāng)n≥2時(shí)，∵x22n-1=2n-12n2=（2n-1）2（2n）2>（2n-1）2-1（2n）2=2n-22n=n-1n，

∴Tn>122×12×23×…×n-1n=14n.

綜上，對(duì)任意的n∈N，均有Tn≥14n.

三、放縮目標(biāo)模型——利用重要的函數(shù)不等式

例3證明：lnx>x-1x（x>1）.

證明設(shè)f（x）=lnx-x-1x（x>1），f′（x）=1x-1x2=x-1x2>0，故f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，∴f（x）>f（1）=0，即lnx>x-1x（x>1）.利用此不等式證明的關(guān)鍵在于如何將x賦予有關(guān)的值，從而將不可求和的問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化.記憶積累這個(gè)公式可以大大縮短解題時(shí)思維的長(zhǎng)度.

四、放縮目標(biāo)模型——利用基本不等式

例4（2011年廣東卷理科20題）設(shè)b>0，數(shù)列{an}滿足a1=b，an=nban-1an-1+2n-2（n≥2）.

（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）證明：對(duì)于一切正整數(shù)n，an≤bn+12n+1+1.

注：第（Ⅱ）問(wèn)用放縮法證明數(shù)列不等式.

解析（Ⅰ）an=2，b=2，n（2-b）bn2n-bn，b∈（0，2）∪（2，+∞）.

（Ⅱ）方法一：

證明：① 當(dāng)b=2時(shí)，an=bn+12n+1+1=2；

② 當(dāng)b>0且b≠2時(shí)，2n-bn=（2-b）（2n-1+2n-2b+…+2bn-2+bn-1），

∴an=nbn2n-1+2n-2b+…+2bn-2+bn-1

≤nbnnn21+2+…+（n-1）·b1+2+…+（n-1）=bnn2n（n-1）2·bn（n-1）2

=bn2n-12·bn-12=bn+122n-12=bn+12n-1=bn+1·2n-12n-1

=2bn+1·2n+12n+1

因此，對(duì)于一切正整數(shù)n，an≤bn+12n+1+1.