戚興棟

摘 要：“幾何直觀”是學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要組成部分。發(fā)展學(xué)生幾何直觀能力就是要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行直觀表征、直觀分析、直觀操作和直觀想象。在數(shù)學(xué)教學(xué)中恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用“幾何直觀”，能夠幫助學(xué)生理解和掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，促進(jìn)學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中進(jìn)行意義建構(gòu)。

關(guān)鍵詞：幾何直觀；數(shù)學(xué)教學(xué)；知識(shí)本質(zhì)

所謂“直觀”，《中國大百科全書》解釋為：對(duì)客觀事物直接接觸而獲得的感性認(rèn)識(shí)。而《辭?！罚ǖ?版）中的解釋是：感性認(rèn)識(shí)，其特點(diǎn)是生動(dòng)性、具體性和直接性。所謂“幾何直觀”，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中的解釋是：利用圖形描述和分析問題。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，借助幾何圖形，能夠?qū)?fù)雜的數(shù)學(xué)問題簡(jiǎn)單化，將抽象的數(shù)學(xué)問題形象化，從而有助于探索問題解決的思路。正如著名數(shù)學(xué)教育家希爾伯特所說：“圖形可以幫助我們發(fā)現(xiàn)、描述研究的問題；可以幫助我們尋求解決問題的思路；可以幫助我們理解和記憶得到的結(jié)果?！?/p>

一、直觀表征，讓學(xué)生感知本質(zhì)

傳統(tǒng)哲學(xué)觀認(rèn)為，人的認(rèn)識(shí)是從感性認(rèn)識(shí)逐漸上升并發(fā)展為理性認(rèn)識(shí)的過程?，F(xiàn)代哲學(xué)觀認(rèn)為，直觀有時(shí)就能直接洞察本質(zhì)，就能直接抓住本質(zhì)，這樣的直觀就是“本質(zhì)直觀”。幾何直觀既是一種教學(xué)方法，也是一種教學(xué)思想。小學(xué)生由于年齡和心理特征的影響，往往不能抽象地思考問題，但這并不等于說學(xué)生不能把握數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)。借助幾何直觀進(jìn)行表征，往往能夠讓學(xué)生直接感知到知識(shí)的數(shù)學(xué)本質(zhì)。從這個(gè)意義上說，幾何直觀有助于發(fā)展學(xué)生空間想象力、直觀洞察力以及運(yùn)用圖形語言思考問題的能力等。

例如：教學(xué)《平均數(shù)的認(rèn)識(shí)》（蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材四年級(jí)上冊(cè)），一位教師在教學(xué)中特別強(qiáng)調(diào)“求平均數(shù)的方法”，即“總個(gè)數(shù)÷總份數(shù)=平均數(shù)”，而忽視了“平均數(shù)的意義”，導(dǎo)致學(xué)生“知其然而不知其所以然”。在解決習(xí)題“小明身高143厘米，一條河平均水深120厘米，小明過河有危險(xiǎn)嗎”時(shí)，學(xué)生紛紛認(rèn)為沒危險(xiǎn)，原因就在于143厘米大于120厘米。顯然，學(xué)生對(duì)平均數(shù)這樣一個(gè)“虛擬的數(shù)”意義不理解，認(rèn)為平均數(shù)是一個(gè)“實(shí)在的數(shù)”。筆者在教學(xué)中，將“條形統(tǒng)計(jì)圖”引入其中，學(xué)生通過移多補(bǔ)少，對(duì)條形統(tǒng)計(jì)圖不斷修正，直到所有“直條高度”都相同。在這個(gè)過程中，學(xué)生自然理解了平均數(shù)意義，即“平均數(shù)表示的是一組數(shù)據(jù)的平均水平，反映的是一組數(shù)據(jù)的整體狀態(tài)，而不是某一個(gè)具體的數(shù)”。通過直觀，學(xué)生感知到數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)。因此，在遇到這類問題時(shí)，學(xué)生都能給予理性判斷。他們不會(huì)簡(jiǎn)單、直接地將平均數(shù)與某一個(gè)具體的數(shù)進(jìn)行直接比較，而是深度思考平均數(shù)意義以及問題本身的含義。

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，抽象概念講解往往讓學(xué)生生厭，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)知識(shí)的枯燥，而借助幾何直觀，可以讓學(xué)生對(duì)知識(shí)本質(zhì)形成直觀而深刻的認(rèn)識(shí)。這種認(rèn)識(shí)不是黑格爾意義上的從現(xiàn)象到本質(zhì)，而是現(xiàn)象學(xué)意義上的“直觀即本質(zhì)”“現(xiàn)象即本質(zhì)”。在這個(gè)過程中，提升了學(xué)生用直觀形象刻畫數(shù)學(xué)概念的能力。相比較而言，學(xué)生這種對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)直觀的感受、體驗(yàn)比本質(zhì)推理、本質(zhì)抽象更深刻、更持久。

二、直觀分析，讓學(xué)生理解本質(zhì)

建構(gòu)主義認(rèn)為，學(xué)習(xí)不是教師將知識(shí)簡(jiǎn)單地傳遞給學(xué)生，而是學(xué)生自主建構(gòu)知識(shí)的過程。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可以給學(xué)生提供直觀材料，引領(lǐng)學(xué)生對(duì)直觀材料進(jìn)行直觀分析，從而凸顯數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)意義。著名數(shù)學(xué)家華羅庚說過：“形缺數(shù)時(shí)難入微，數(shù)缺形時(shí)少直觀?！薄皵?shù)形結(jié)合”將抽象的數(shù)與具體的形有機(jī)結(jié)合起來，有助于通過圖形直觀性質(zhì)來闡釋抽象的數(shù)量之間的關(guān)系，從而將抽象的數(shù)學(xué)問題直觀化。直觀分析，就是要引領(lǐng)學(xué)生在數(shù)與形之間穿行，引導(dǎo)學(xué)生借助圖形，對(duì)抽象的數(shù)學(xué)問題進(jìn)行分析、探究、推導(dǎo)，引導(dǎo)學(xué)生將直觀圖形語言與抽象數(shù)學(xué)語言結(jié)合起來。

教學(xué)蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材六年級(jí)下冊(cè)《正比例的意義》，在學(xué)生理解了正比例的意義，能初步判斷兩種相關(guān)的量成什么比例后，筆者引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用“描點(diǎn)”“連線”的方法繪制正比例圖像。在繪制圖像的過程中，學(xué)生認(rèn)識(shí)到“點(diǎn)”的實(shí)際意義，即在平面直角坐標(biāo)系中，這些點(diǎn)都表示兩重意義：一是刻畫橫軸的意義，二是刻畫縱軸的意義。有了這樣的繪制直觀圖的體驗(yàn)，學(xué)生就能深刻分析正比例圖像。比如，在速度一定，路程和時(shí)間的正比例圖像上，學(xué)生能夠迅速讀出行駛時(shí)間所對(duì)應(yīng)的路程，也能迅速讀出行駛路程所需要的時(shí)間，還能發(fā)現(xiàn)隨著行駛時(shí)間的擴(kuò)大，行駛路程也隨著擴(kuò)大，行駛時(shí)間縮小，行駛的路程也隨著縮小，而且擴(kuò)大或縮小相同的倍數(shù)。通過繪制分析，學(xué)生深刻認(rèn)識(shí)到：正比例圖像是過原點(diǎn)的直線。借助幾何分析，學(xué)生在判定稍復(fù)雜的問題時(shí)，就能主動(dòng)繪制圖像，進(jìn)行判斷。如“圓的面積與圓的半徑是否成正比例”，學(xué)生在繪制圖像后，發(fā)現(xiàn)圓的面積和圓的半徑之間的圖像不是一條過原點(diǎn)的直線，而是一條類似于扔物體的線（拋物線）。這樣的教學(xué)，深化了學(xué)生對(duì)正比例意義的理解，為學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)函數(shù)、函數(shù)圖像等知識(shí)奠定了堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。

“幾何直觀”不僅是一種簡(jiǎn)單方法，而是一種科學(xué)的思想方法論。借助幾何直觀引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行分析，能讓復(fù)雜問題變得簡(jiǎn)單、形象、生動(dòng)，也可以將學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的感受、體驗(yàn)、感悟變得更具體。在數(shù)與形、圖與形溝通與聯(lián)系中，那些看似深?yuàn)W、干癟的數(shù)學(xué)思想變得具體、豐厚、有血肉了，被轉(zhuǎn)化成學(xué)生問題理解策略、問題分析策略和問題解決策略。

三、直觀操作，讓學(xué)生觸摸本質(zhì)

學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，不僅需要進(jìn)行直觀感知、直觀分析，有時(shí)候還需要直觀操作。直觀操作，能夠讓學(xué)生觸摸到數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)。瑞士著名教育心理學(xué)家讓·皮亞杰認(rèn)為，“智慧自動(dòng)作發(fā)端”。通過直觀操作，調(diào)動(dòng)學(xué)生的多種感官，讓學(xué)生將眼前的物體的形狀、特征、動(dòng)態(tài)變化結(jié)合起來，形成動(dòng)態(tài)認(rèn)知。只有當(dāng)學(xué)生將“形”“意”等整體性地納入頭腦之中，將“形”“意”融為一體，才能對(duì)諸種直觀表象進(jìn)行加工，從而有效地解決問題，積淀數(shù)學(xué)的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，培育數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

如有這樣一道習(xí)題：一張長方形的布，長13分米，寬9分米，要將它裁剪成底、高都是4分米的等腰直角三角形的彩旗，一共能夠裁剪出多少面？許多學(xué)生將這一道習(xí)題理解為“包含除問題”，用“長方形布的面積÷等腰直角三角形的面積”，即“13×9÷8≈14（面）”為了讓學(xué)生自識(shí)其錯(cuò)，筆者讓學(xué)生畫圖，將分米改成厘米，學(xué)生運(yùn)用直尺，精準(zhǔn)地畫圖。在畫圖的過程中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)，這道題用“大面積÷小面積”是不符合事實(shí)的。學(xué)生發(fā)現(xiàn)，沿著水平方向，最多可以剪3面，沿豎直方向，最多可以剪2面，一共可以剪3×2×2=12（面）。在直觀操作中，學(xué)生沖破了原有的思維慣習(xí)，超越了常規(guī)的問題解決策略。學(xué)生借助對(duì)圖形的直觀操作，對(duì)數(shù)量之間的關(guān)系進(jìn)行理性分析，自悟其錯(cuò)、自識(shí)其陋，從而觸摸到問題的真正本質(zhì)。

布魯納認(rèn)為，學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)的理解有三種模式：一是直觀動(dòng)作模式，二是具體形象模式，三是抽象邏輯模式。應(yīng)該說，直觀操作屬于第一種模式，這是一個(gè)讓學(xué)生經(jīng)歷從動(dòng)作感知到形象表象再到邏輯抽象的過程。只有經(jīng)過學(xué)生直觀操作才能幫助學(xué)生積淀基本數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思想。通過這樣獨(dú)具匠心的活動(dòng)，提升學(xué)生數(shù)學(xué)直觀能力，優(yōu)化了學(xué)生思維品質(zhì)。

四、直觀想象，讓學(xué)生推想本質(zhì)

數(shù)學(xué)直觀是一種召喚結(jié)構(gòu)，能夠觸發(fā)學(xué)生動(dòng)態(tài)想象。借助直觀進(jìn)行數(shù)學(xué)想象，能夠讓學(xué)生推想到數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)。直觀想象是架設(shè)具體到抽象的橋梁，能夠讓學(xué)生幾何直觀能力獲得自然生長。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，如果教師能立足幾何直觀，設(shè)計(jì)開放性、關(guān)聯(lián)性問題，引發(fā)學(xué)生靜態(tài)、動(dòng)態(tài)想象，學(xué)生就能推想、領(lǐng)悟出數(shù)學(xué)知識(shí)之本質(zhì)。

對(duì)于《長方體和正方體的認(rèn)識(shí)》（蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)六年級(jí)上冊(cè)），許多教師在揭示了長方體長、寬、高意義基礎(chǔ)上，隨后都會(huì)跟上一句“長方體長、寬、高決定長方體大小”。但這種認(rèn)知只是一種膚淺認(rèn)知，為了引發(fā)學(xué)生深度認(rèn)知，讓學(xué)生對(duì)長方體形成一種動(dòng)態(tài)化、結(jié)構(gòu)化認(rèn)知，筆者在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生直觀想象長方體透視圖。隨著長方體透視圖長、寬、高邊的一一擦去，學(xué)生頓悟：原來長方體的長、寬、高決定長方體的體積，長在水平方向上決定、寬和高在垂直于水平方向上的兩個(gè)豎直方向上決定。直觀、動(dòng)態(tài)的想象引發(fā)了學(xué)生對(duì)長方體大小的深度認(rèn)知。有學(xué)生畫出了三組圖：第一組圖是長寬相等高不等的長方體，第二組圖是長高相等寬不等的長方體，第三組圖是寬高相等長不等的長方體。三組圖猶如三組對(duì)比實(shí)驗(yàn)，是學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)的創(chuàng)造性表達(dá)。

直觀推想是一種高級(jí)的思維形式，是數(shù)學(xué)直觀的精髓。學(xué)生能夠進(jìn)行直觀推想，說明學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的整體有著結(jié)構(gòu)性的整體把握。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要充分發(fā)揮直觀圖形的作用，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行比較、分析、想象，形成豐富多彩的直觀推想，自主地獲得數(shù)學(xué)結(jié)論，形成對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)認(rèn)識(shí)。

“幾何直觀”是學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要組成部分，發(fā)展學(xué)生幾何直觀能力就是要讓學(xué)生進(jìn)行直觀表征、直觀分析、直觀操作和直觀想象，進(jìn)而感知、理解、觸摸、推想到數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要依據(jù)學(xué)生年齡特點(diǎn)，以教材內(nèi)容為依托，構(gòu)筑從直觀到抽象的橋梁。讓學(xué)生借助“形”來思考、分析問題，形成解決問題的策略。通過幾何直觀，積淀學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思想，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。