徐雷

摘要：物理學(xué)是一門以實(shí)驗(yàn)為基礎(chǔ)的學(xué)科。物理實(shí)驗(yàn)是科學(xué)實(shí)驗(yàn)的先驅(qū)，體現(xiàn)了大多數(shù)科學(xué)實(shí)驗(yàn)的共性，而實(shí)驗(yàn)教學(xué)則是培養(yǎng)學(xué)生的一個(gè)非常重要的環(huán)節(jié)，它不僅可以培養(yǎng)學(xué)生的基本實(shí)驗(yàn)技能和素養(yǎng)，還可以培養(yǎng)其科學(xué)思維和創(chuàng)新意識(shí)，提高學(xué)生的綜合能力和創(chuàng)新能力。本文從理論模型出發(fā)，采用變分法推導(dǎo)出最速下降曲線的解并設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)予以驗(yàn)證。

關(guān)鍵詞：最速下降曲線；變分法；擺線

中圖分類號(hào)：O369 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2018）04-0190-02

一、前言

最速下降曲線問題在歷史上具有顯赫聲名。其問題的內(nèi)容為：設(shè)有A、B兩點(diǎn)通過一條曲線連接，讓一個(gè)質(zhì)點(diǎn)沿著此曲線由A點(diǎn)下滑到B點(diǎn)，那么質(zhì)點(diǎn)沿著什么樣的曲線下滑所需的時(shí)間最短（下滑過程中摩擦力和阻力均不考慮）？這就是著名的最速下降曲線問題（也叫擺線問題）[1，2]。在很早以前，牛頓和伽利略都研究過這個(gè)問題，他們通過大量的實(shí)驗(yàn)研究發(fā)現(xiàn)，質(zhì)點(diǎn)從A點(diǎn)滑到B點(diǎn)耗時(shí)最短的軌跡曲線是圓弧線。直到1696年Johann Bernoulli采用了一種非常巧妙的方法解決了最速下降曲線問題，并就此問題向全歐洲發(fā)出挑戰(zhàn)。而到1697年時(shí)，牛頓、萊布尼茨以及Jakob Bernoulli（Johann Bernoulli的哥哥）都同時(shí)給出了此問題的解。Jakob Bernoulli所提出的方法比較麻煩但是更具有普適性，也因此引發(fā)了他們兄弟倆長達(dá)數(shù)年的爭執(zhí)。直到1744年，Leonhard Euler提出了曲線極值問題的微分方程并建立變分法，這一問題才畫上圓滿句號(hào)[3，4]。

二、實(shí)驗(yàn)原理

最速下降曲線是求解泛函極值問題，可以通過變分法求解此類問題。如圖1所示，質(zhì)點(diǎn)從A點(diǎn)滑到B點(diǎn)，并選取坐標(biāo)系。設(shè)質(zhì)點(diǎn)滑過的曲線方程為y=y（x），質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為m，重力加速度為g，質(zhì)點(diǎn)的下滑的速度為v（t），其中t為質(zhì)點(diǎn)下滑的時(shí)間。根據(jù)能量守恒定律可知，在下滑過程中的任意一點(diǎn)P（x，y）都有：

三、實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

驗(yàn)證重力作用下的最速下降曲線。采用三個(gè)光滑小鋼球做實(shí)驗(yàn)：一個(gè)沿著直線槽下滑，一個(gè)沿著圓弧槽下滑，另外一個(gè)沿著擺線槽下滑?；劬捎糜操|(zhì)金屬或者鋼化玻璃等材料做成，可以避免實(shí)驗(yàn)過程中滑槽變形[6]。

在一個(gè)木塊兩端固定兩塊高低不一樣的木塊，然后將三個(gè)滑槽并排固定在木質(zhì)框架上，則三個(gè)滑槽的起點(diǎn)（終點(diǎn)）的位置高度相同，并且起點(diǎn)高于終點(diǎn)，如圖2所示。將小鋼球分別沿著三個(gè)不同的滑槽由靜止開始同時(shí)釋放，記錄它們滑落到終點(diǎn)所需要的時(shí)間，比較時(shí)間長短，從而找出哪個(gè)滑槽下落用時(shí)最短。為使小球下落時(shí)間差增大易于測量和觀察，在設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)裝置時(shí)，應(yīng)確保起點(diǎn)與終點(diǎn)之間的水平和垂直距離盡量大一些，水平距離大于80cm，垂直距離大于60cm。實(shí)驗(yàn)過程中要將整個(gè)實(shí)驗(yàn)裝置固定在桌面上，并保存模板底部處于水平狀態(tài)，這樣可以避免小球滑落過程中裝置移動(dòng)。同時(shí)，由于采用硬質(zhì)金屬或者鋼化玻璃滑槽可以有效避免滑槽變型帶來的實(shí)驗(yàn)誤差。除此之外，滑槽在生產(chǎn)加工過程中應(yīng)盡量使其內(nèi)表面光滑，這樣可以有效地減小摩擦力，從而減小摩擦力帶來的實(shí)驗(yàn)誤差。

四、結(jié)束語

本實(shí)驗(yàn)首先從理論模型出發(fā)建立微分方程，然后用變分法求解方程，最終給出最速下降曲線方程的解，并根據(jù)方程的解來設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)進(jìn)行驗(yàn)證。通過本實(shí)驗(yàn)可以培養(yǎng)學(xué)生根據(jù)實(shí)際問題建立微分方程模型并求解的能力。學(xué)會(huì)根據(jù)實(shí)際問題提出猜想，然后通過動(dòng)手設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)進(jìn)行驗(yàn)證并得出合理結(jié)論的能力和思維方式，為今后處理實(shí)際問題奠定基礎(chǔ)。

參考文獻(xiàn)：

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[6]江興方，高惠濱，郭小建，吳志賢.物理演示實(shí)驗(yàn)[M].南京大學(xué)出版社，2011.endprint