例1：假設我們從（0，1）區(qū)間上取點，取得的點在數(shù)軸上的坐標記為隨機變量X，則X服從均勻分布。那么X落在[■，■]內的概率是多少？
解：記隨機變量X的概率密度函數(shù)為p（x），則
P（■≤x≤■）=■p（x）dx=■1dx=■
實際上（0，1）上的均勻分布和高中所學的幾何概型息息相關，因為點落在[■，■]內的概率就是此區(qū)間的長度除以（0，1）區(qū)間的長度。
2.2 強大數(shù)定律
定義2.1 假設我們有概率空間（Ω，F(xiàn)，P），定義在其上的隨機變量序列X1，X2，…，Xn…及X，滿足P■Xn=X=1，則稱序列{Xn}幾乎處處收斂到X，記為Xn→Xa.s.（n→+∞）。
定理2.1（強大數(shù)定律）令X1，X2，…是兩兩獨立同分布的隨機變量，且期望存在，即EX1<∞。令EX1=μ，Sn=X1+X2+…+Xn。則當n→+∞時，■幾乎處處收斂到μ。
下面，我們通過一個實驗來解釋強大數(shù)定律的直觀含義?，F(xiàn)在我們要拋一枚質地均勻的硬幣n次，若出現(xiàn)正面向上則記為1，否則記為0。令Xi（i=1，2，…，n）表示第i次實驗的結果。假設我們進行n次重復的伯努利試驗，即可獲得一組樣本X1，X2，…，Xn。但在抽取樣本前無法預知它們的數(shù)值，因此樣本依然是隨機的，具有如下的概率分布列：
表格1：隨機變量X1的概率分布列
于是，我們可以證明X1的數(shù)學期望存在，且EX1=1/2，于是由強大數(shù)定律的結果可知■，即正面向上的次數(shù)所占的比例在n→+∞時的極限為1/2。
現(xiàn)在用C++語言進行模擬試驗，得到拋硬幣的結果如下，
表格2：拋硬幣實驗的結果
結果表明我們的拋硬幣次數(shù)越多，正面向上的頻率就會越接近1/2，和強大數(shù)定律的理論結果相符。
3.蒙特卡羅方法在定積分中的應用
有很多實際問題都需要計算定積分，比如在物理中討論一些規(guī)則物體的質心、轉動慣量的計算問題等。根據微積分基本定理，對于任意一個在區(qū)間[a，b]上可積的函數(shù)f（x），如果能夠找到它的原函數(shù)F（x），則我們可以通過如下的牛頓-萊布尼茨公式求解定積分：
■f（x）dx=F（b）-F（a）
然而在實際使用這種求定積分方法的時候，往往會遇到很多困難，因為大量的函數(shù)，例如■，sinx2等找不到可以用初等函數(shù)表示的原函數(shù);因此我們有必要研究求解定積分的其他方法。
3.1求解定積分
令f是[0，1]上的一個連續(xù)函數(shù)，我們想要計算■f（x）dx，傳統(tǒng)的方法是將[0，1]區(qū)間劃分為一些小區(qū)間，然后用梯形公式或者矩形公式進行近似求解。下面我們就介紹一種基于強大數(shù)定律的概率途徑。令{X1，X2，…，Xn…}表示一列獨立同分布服從[0，1]上均勻分布的隨機變量，則由f的有界性可知EF（X1）<
+∞，于是應用強大數(shù)定律，可知■■■f（Xi）=Ef（X1）a.s.
而由數(shù)學期望的定義可知■f（x）dx=Ef（X1）
于是我們可以用來In（f）：=■■■■f（Xi）近似積分I（f）：=■f（x）dx
3.2收斂速度
首先，我們由期望的性質可得EIn（f）=E■■■■f（Xi）=■■■■Ef（Xi）=I（f）。其次，我們考慮這種估計式的均方誤差，
E（In（f）-I（f））■=E■■f（Xi）-I（f）■
=■■E（f（Xi）-I（f））（f（Xj）-I（f））
=■E（f（X1）-I（f））■=■Var（f（X1））
于是我們可以得到In（f）-I（f）～■■
3.3蒙特卡羅方法的優(yōu)點
（下轉第145頁）
（上接第142頁）
當我們處理高維空間情形的時候，求解定積分的復雜度上升。如果我們采用劃分小區(qū)間的方式，比如每個維度都分成n塊，然后分塊運用梯形公式或者矩形公式，那么在d維空間中就要有n■個小塊，運算復雜度呈指數(shù)增長。而當我們采用蒙特卡羅方法求解定積分的時候，根據我們3.2節(jié)中的推導，我們發(fā)現(xiàn)收斂速度僅僅與模擬隨機點的個數(shù)有關系，而與空間維度無關，于是在高維的情形下，蒙特卡羅方法幾乎是唯一有用的途徑。
3.4求定積分的變式
根據3.1中的結果，我們已經可以用蒙特卡羅方法求解在區(qū)間[0，1]上連續(xù)函數(shù)的積分，但是注意函數(shù)的連續(xù)性并不是必要的，我們只要求其可積性以及隨機變量f（X1）的期望存在即可，其中X1服從[0，1]上的均勻分布?，F(xiàn)在我們運用變量替換的方法推導其他形式積分的蒙特卡羅方法。
例2：假設g是定義在[a，b]上的連續(xù)函數(shù)，計算■g（x）dx。
解：作變量替換，令y=■，則dy=■■。我們有■g（x）dx=■g（a+（b-a）y）（b-a）dy=■h（y）dx，其中h（y）=g（a+（b-a）y）（b-a），那么新函數(shù)h是[0，1]上的連續(xù)函數(shù)，于是可以利用3.1中的結果進行近似。
例3：假設g是定義在[0，+∞）上的連續(xù)函數(shù)，計算■g（x）dx。
解：作變量替換y=■，則dy=-■=-y■dx■， 我們有■g（x）dx=■h（y）dx， 其中h（y）=■。
4.總結
本文首先介紹了均勻分布和強大數(shù)定律，并給出了相應的直觀解釋。然后在強大數(shù)定律的基礎上推導出了蒙特卡羅方法，并研究了它的收斂速度和在高維空間中的適用性。
參考文獻：
[1]茆詩松. 概率論與數(shù)理統(tǒng)計簡明教程[M].高等教育出版社，2012.
[2]Brian W K， Dennis M R. C程序設計語言[M].機械工業(yè)出版社，2004.
