錢雨森

【摘 要】波利亞的解題模型是在世界上流傳較廣且影響深刻的解題模型，在數(shù)學(xué)中尤其是高中數(shù)學(xué)中被廣泛運用。本文通過介紹波利亞模型的主要內(nèi)容，以及對具體數(shù)學(xué)題型的運用來闡述該模型在高中數(shù)學(xué)解題中的作用，以幫助學(xué)生提高解題效率，教師完善教學(xué)工作。

【關(guān)鍵詞】波利亞解題模型；高中數(shù)學(xué)；應(yīng)用分析

1.何為波利亞解題模型

在近代，產(chǎn)生了許多解題模式，主要有早期桑代克所提倡的“試誤說”，到美國著名教育家杜威提出的階段解決模型，最后是心理學(xué)家皮亞杰的認(rèn)知心理模型。雖然這些研究對于教師認(rèn)識學(xué)生的認(rèn)知問題有重要意義，但數(shù)學(xué)問題相較于其它學(xué)科有自己獨特的學(xué)科特點，還應(yīng)當(dāng)具體問題具體分析，上述解決模式并不一定能夠完全適用于數(shù)學(xué)解題過程中。因此隨著科學(xué)分類研究的日益細化，也產(chǎn)生了許多學(xué)科數(shù)學(xué)的相關(guān)研究包括數(shù)學(xué)解題模型在內(nèi)，其中影響最為深遠的當(dāng)屬波利亞解題模型。

波利亞解題模型是波利亞的經(jīng)典書目《怎樣解題》中的重要理論，他將該模型分為四個部分：第一，看到數(shù)學(xué)題目時應(yīng)先理清題目思路，看清題目的已知、未知還有所求問題；第二，分析題目的各個要素包括已知、未知、問題之間的相互聯(lián)系，找到解題的方向所在，形成基本的解題策略；第三，將解題策略具體運用于數(shù)學(xué)題目中；第四，對整個解題過程包括理解題目、思路的形成、計劃的執(zhí)行檢驗評價。

2.波利亞解題模型在高中數(shù)學(xué)解題中的具體運用

波利亞的解題模型的重要思想除了包括上述的四個部分，還包括更加細致的四個模型，分別是雙軌跡模式、笛卡爾模式、遞歸模式、疊加模式。這四種解題模式被更多的運用于數(shù)學(xué)實際解題過程中。

（1）雙軌跡模式

雙軌跡模式要運用兩條軌跡來解題，類似于換位思考的思想。譬如我們確定三角形ABC，已知為邊a、點B、點C，未知為點A，問怎么確定點A。換種方式理解我們發(fā)現(xiàn)，點A即是以點B為圓心、以邊c為半徑的圓和以點C為圓心、以邊b為半徑的圓的交點。這里就把問題歸結(jié)為一個點，再把已知的條件轉(zhuǎn)換成兩個部分，每一個部分都可以看成是點的軌跡，結(jié)論即在兩條軌跡的交點處。

（2）笛卡爾模式

笛卡爾在數(shù)學(xué)的解析幾何方面做出了重要貢獻，在解決數(shù)學(xué)問題的過程中也形成了獨特的數(shù)學(xué)思想。他認(rèn)為，所有的數(shù)學(xué)問題都可以轉(zhuǎn)換成代數(shù)問題進行解決，而所有的代數(shù)問題又可以轉(zhuǎn)換成解方程的思想。波利亞利用了這一思想，但又加以具體化，具體運用通過具體的高中數(shù)學(xué)題目來加以闡釋。

例.已知三次函數(shù)f（x）=ax^3+bx^2+cx在x處有極大值4，它的導(dǎo)函數(shù)的圖像過點（2，0），（4，0），并且導(dǎo)函數(shù)的圖像有最小值，求a、b、c的值。

該題目應(yīng)先求出極大值x的值，通過導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)我們很容易就能分析出f（x）的極大值x為1，接下來就可以運用笛卡爾解方程的思想來進行求解a、b、c。已知一：f（x）在（1，5）處取得極大值，可列出方程a+b+c=4；已知二：f（x）的導(dǎo)函數(shù)3ax^2+2bx+c經(jīng)過點（2，0），（4，0），可列出兩個方程12a+4b+c=0，48a+8b+c=0，聯(lián)立三個方程，可分別求出a、b、c的值。

（3）遞歸模式

在解決數(shù)學(xué)問題中，遞歸模式概括的說就是運用有限的已知條件來獲得更多的已知，該模式多用于解決高中數(shù)學(xué)中的數(shù)列問題，學(xué)生可以利用此模式迅速的找到解題方法。

例.已知S=1+4+9+16+25+36+……n^2，求s的值。

我們可以從已知得出這樣一個等式（n+1）^3=n^3+3n^2+3n+1，可列出（n+1）^3-n^3=3n^2+3n+1，然后再將實際數(shù)值代入式子中，就可以得到2^3-1^3=3*1^2+3*1+1和3^3-2^3=3*2^2+3*2+1，4^3-3^3=3*2^2+3*3+1……這樣我們就可以歸納出這樣的規(guī)律：（n+1）^3-n^3=3n^2+3n+1，此時將兩邊相加就可得到（n+1）^3-1=3S2+3s1+n，求出S1的代數(shù)式，再帶入最初列的等式，即可得出S的結(jié)果。

（4）疊加模式

在高中數(shù)學(xué)中，有許多題目的條件很多，這就會使學(xué)生錯誤的認(rèn)為該題目難度較大，不好駕馭，但經(jīng)過仔細分析發(fā)現(xiàn)，許多同學(xué)只是被絆倒在分析題干上，這個時候就需要我們耐心的對題目的多個已知進行疊加，找出它們的聯(lián)系，直到最后找到解題思路。

例.求解方程組

x^2+xy+xz-x=1

y^2+xy+yz-y=2

Z^2+xz+yz-z=3

初看這個題目，已知條件太多，但運用到疊加方法就能迅速化難為易。具體的解題思路為：將三個方程的兩邊分別相加，可得到（x+y+z）^2-（x+y+z）-6=0，經(jīng)過簡化可得到一個等式x+y+z=-2，將這個等式分別代入以上三個方程組中，可分別得出x、y、z的值。

3.結(jié)語

新課改的推行使得教師在教學(xué)過程中必須要注重提高學(xué)生的綜合素質(zhì)，在解題過程中我們不再強調(diào)單純的會挪用知識，更重要的是如何將所學(xué)知識具體運用到實際的問題中，提高學(xué)生的實踐能力、創(chuàng)新能力、分析能力。這里就更加強化了解題思想的重要性。而波利亞模型作為重要的數(shù)學(xué)思想無疑要發(fā)揮其重要作用。通過上述分析，我們了解了波利亞模型的基本內(nèi)涵、波利亞模型的四個具體模式，并結(jié)合具體的高中數(shù)學(xué)題目具體分析，可得出結(jié)論，運用波利亞模型來解決數(shù)學(xué)問題可以使問題簡單化，迅速找到解題思路。對于學(xué)生來說，運用波利亞模型解決數(shù)學(xué)問題可以幫助其具體分析問題癥結(jié)所在，提高其分析問題的能力，久而久之，解決問題就不再是問題，而只需要簡單的轉(zhuǎn)化即可；對教師來說，運用波利亞模型于教學(xué)中，可以提高學(xué)生的綜合素質(zhì)，深化新課改的改革理念。

【參考文獻】

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[2]楊麗霞.波利亞與“怎樣解題”[J].中國校外教育，2014（05）endprint