徐金春 王清

摘 要：圖形是幫助人們思考的一種直觀工具，在解決問題的過程中，對于小學(xué)低年級學(xué)生更是發(fā)揮著積極的作用。低年級數(shù)學(xué)教學(xué)中，開展“直觀符號圖”“初級線段圖”“簡易設(shè)計圖”的“圖式化”教學(xué)，可以幫助學(xué)生厘清思路，把握重點，突破難點，順利解決問題。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；低年級；圖式化教學(xué)；解決問題

中圖分類號：G623.5 文獻標識碼：A 文章編號：1009-010X（2018）31-0041-05

美國數(shù)學(xué)家斯蒂恩說：“如果一個特定的問題可以轉(zhuǎn)化為一個圖像，那么就整體把握了問題?！眻D形是幫助人們思考的一種直觀工具，對于低年級學(xué)生，在厘清思路并解決問題的過程中，更是發(fā)揮著積極的作用，因為他們的思維還離不開具體形象的事物支撐，還要借助具體事物的表象來解決問題。他們在解決問題時，往往只注意事物的某一點或某一個方面，不能同時注意和思考更多的方面，這種傾向稱之為思維的中心性。借助圖形解決問題，既符合低段學(xué)生的心理、年齡特征，又可以把抽象的數(shù)學(xué)概念和數(shù)量關(guān)系形象化、簡單化、直觀化，提高學(xué)生解決問題的信心和能力，拓展了學(xué)生的發(fā)散思維能力。所以，在低年級數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，適時開展“直觀符號圖”“初級線段圖”“簡易設(shè)計圖”三種數(shù)學(xué)“圖式化”教學(xué)，可以幫助學(xué)生厘清思路，把握重點，突破難點，并順利解決問題。

一、善用“直觀符號圖”，理解運算意義

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011年版）》提出“增強發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力”，簡稱“四能”目標。新編人教版教材對學(xué)生解決問題的能力有了新的要求，增加了一些“兩題比較”和“條件多余”的題型，對學(xué)生讀懂題意、分析題意提出了更高要求。為此，可以通過直觀符號圖，幫助學(xué)生理解運算意義，有序分析思路，解決數(shù)學(xué)問題。

（一）畫圖區(qū)分差異，解決“比較型”問題

兩題比較的題型，一般會設(shè)計兩個情境相似、數(shù)據(jù)相同、問題相同但數(shù)量關(guān)系不同的問題，目的是讓學(xué)生學(xué)會根據(jù)四則運算的意義，選擇不同的運算方法來解決問題。如：

（1）有4排桌子，每排5張，一共有多少張？

（2）有2排桌子，一排5張，另一排4張，一共有多少張？

兩個相似的題目，如果單獨分開來，學(xué)生的正確率會比較高，但是同時出現(xiàn)，容易對學(xué)生造成信息干擾，尤其是題目中都有“4”和“5”，為什么解答方法會不同呢？這是解題的關(guān)鍵。那么，要順利解決這類題，最有效的方法是根據(jù)題意，畫出直觀符號圖。

先觀察問題（1），明白“4”是“4排”的意思，“5”是“每排5張”的意思，這里有一個關(guān)鍵字“每”，學(xué)乘法時，這個字多次出現(xiàn)過，學(xué)生比較熟悉，學(xué)生腦子里會初步形成一個解題方法“乘法計算”，為了證實這個想法，讓學(xué)生畫圖。學(xué)生在學(xué)習(xí)乘法的基礎(chǔ)上，已經(jīng)熟練掌握用符號來畫圖（如圖1）。根據(jù)圖示，乘法算式：4×5=20（張）也呼之欲出。

解決問題（2）比問題（1）更困難一些，因為學(xué)生剛學(xué)過乘法，容易造成負遷移，而且出現(xiàn)三個數(shù)字“2、5、4”，在理解數(shù)量關(guān)系時，需要反復(fù)推敲?？梢宰寣W(xué)生多讀幾遍題目，分析每個數(shù)字的意思，特別是“2”是“兩排”的意思，接著畫出圖示（如圖2），從圖示上很清楚地看到是用加法解決：4+5=9（張）。

用符號圖將兩道題的條件和問題表示出來，使得抽象的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為具體直觀的數(shù)學(xué)模型。最后，比較分析兩道題、兩幅圖，梳理經(jīng)驗方法，可以讓學(xué)生說一說：兩幅圖表示的意義有什么不同？以此凸顯乘法和加法意義的異同，并從圖形表征和語言表征兩個方面，將具體問題和運算的意義聯(lián)系起來，使學(xué)生有理有據(jù)地選擇算法。

（二）畫圖簡化信息，解決“開放型”問題

條件多余的問題，屬于“開放型”問題。新教材從一年級時就開始編排，到了二年級更是屢見不鮮，這對學(xué)生解決問題增加了難度。如圖3，這是一道有多余條件、稍復(fù)雜的用乘法的意義解決的實際問題，同時滲透了單價、數(shù)量、總價的數(shù)量關(guān)系。情境圖中呈現(xiàn)了多種文具的價格，為學(xué)生解決問題提供了豐富的素材，當(dāng)然，也必須選擇與問題相關(guān)的信息，才能順利解決問題。教學(xué)時，可以先引導(dǎo)學(xué)生看圖，提取數(shù)學(xué)信息：文具盒8元、橡皮2元、日記本4元、鉛筆3元，再深入挖掘這些信息的含義，初步理解物品單價的意義。接著出示數(shù)學(xué)問題：買3個文具盒，一共多少元？讓學(xué)生充分讀懂問題，并根據(jù)問題找到需要的數(shù)學(xué)信息，再畫出符號圖，來表示信息與問題（如圖4）。圖中，已經(jīng)把信息和問題簡單化，拋棄了多余信息，為學(xué)生解決問題厘清了思路，明白了解決這種類型的問題用乘法計算的道理，為初步建立數(shù)學(xué)模型奠定基礎(chǔ)。

二、嘗試“初級線段圖”，厘清數(shù)量關(guān)系

理解數(shù)量關(guān)系，能促進學(xué)生的認知出現(xiàn)由表及里、由淺入深的飛躍。線段圖，是幫助學(xué)生理解數(shù)量關(guān)系、有效解決問題的一大法寶。在小學(xué)二年級的教材中，已經(jīng)出現(xiàn)了線段圖的雛形，為以后的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)。

（一）畫圖理解“數(shù)量關(guān)系”

在解決一步計算“求比一個數(shù)多（少）幾的數(shù)”的問題時，用畫圖的方法表示數(shù)量關(guān)系，這是初級線段的前奏。如：

（1）一班得了12面小紅旗，二班比一班多得3面，二班得了多少面？

（2）三班的小紅旗比一班少4面，三班得了多少面？

由于學(xué)生第一次接觸這類“比多比少”問題，所以要求學(xué)生在反復(fù)讀題的基礎(chǔ)上，先重點提示學(xué)生思考“誰與誰比？”“誰多誰少？”“求多還是求少？”，只有弄清了這三個問題，才能正確地畫圖表示出數(shù)量關(guān)系。畫圖時，教師要引導(dǎo)學(xué)生先畫出已知的量（一班12面），然后再根據(jù)求多還是求少，在已知量的下面畫出未知量，標上問題（如圖5）：

如此教學(xué)，讓學(xué)生在實物線段圖的基礎(chǔ)上，抽象出真正的線段圖，對線段圖有一個初步的感知。從線段圖中，學(xué)生很容易判斷出：求多的量要用加法，求少的量要用減法。可見，通過畫圖、對比，可以幫助學(xué)生比較順暢地明確數(shù)量關(guān)系的變化，溝通問題之間的內(nèi)在聯(lián)系，突破教學(xué)難點。

（二）畫圖明確“中間問題”

兩步計算問題中，都隱含一個“中間問題”，是不少學(xué)生解決問題的“瓶頸”，需要教師幫其疏通這個瓶頸，順利解決問題。如二年級教材中安排了用混合運算解決問題（如圖7）：

教學(xué)時，可以先讀題，再試著簡化數(shù)學(xué)信息：總數(shù)90，已經(jīng)烤了36個，一次烤9個。最后分析問題“剩下的還要烤幾次？”。問題中有一個重要詞“剩下”，學(xué)生根據(jù)已有經(jīng)驗，求剩下的用減法來解決的，因此“中間問題”也很快浮現(xiàn)出來：要先求剩下的，也給分析數(shù)量關(guān)系埋下了伏筆。教材安排了色條圖，即簡易線段圖，這是線段圖的雛形。低段學(xué)生還不具備根據(jù)題意獨立畫出線段圖的能力，教師可以一步步引導(dǎo)——先出示一長條，表示“一共要烤90個面包”，然后問學(xué)生：怎樣表示“已經(jīng)烤的36個”？學(xué)生會根據(jù)數(shù)量的大小分析出：90的一半是45，36還不到一半，那么色條就分成了一短一長兩部分，接著依次在色條上出示信息和問題（見圖8）。其實，在色條圖的基礎(chǔ)上，教師還可以進一步出示線段圖（見圖9），給以后的學(xué)習(xí)作鋪墊。在完成了圖示后，讓學(xué)生看圖再次分析，求還要烤幾次，應(yīng)先求剩下的面包個數(shù)：90-36=54（個），再把54個面包平均分，每次9個，需要幾次：54÷9=6（次）。最后要求學(xué)生再列出綜合算式：（90-36）÷9=6（次），根據(jù)四則混合運算的法則，兩級運算要先算減，所以必須加上小括號。

三、推敲“簡易設(shè)計圖”，糾正操作錯誤

依據(jù)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011年版）》，對低年級教材中的“圖形的運動”板塊做出了修改，如圖10是二年級下冊數(shù)學(xué)教材中

“剪一剪”的例題，以“解決問題”形式出現(xiàn)，是“圖形與幾何”領(lǐng)域的突破——突破了以往解決問題都安排在“數(shù)與計算”領(lǐng)域的局限，使得培養(yǎng)學(xué)生的“四能”的素材和案例更為豐富。同時，作為解決問題的配套練習(xí)（如圖11），通過讓學(xué)生剪出指定的圖形，培養(yǎng)學(xué)生用所學(xué)知識解決問題的能力，同時深化對“軸對稱圖形”和“圖形的旋轉(zhuǎn)”兩個已學(xué)知識的理解，還可以使學(xué)生體會到成功的喜悅，提高學(xué)習(xí)的興趣。習(xí)題要求學(xué)生剪出4個頭靠頭、手拉手的小人，沒有步驟提示，更沒有方法講解，只有一副“成品圖”，要求學(xué)生在學(xué)習(xí)例題的基礎(chǔ)上，觀察圖形，逐步探索折紙的方法和畫法，在一次次的嘗試中總結(jié)、調(diào)整方案，從而解決問題。因此這個動手操作的解決問題過程，不是一蹴而就的，需要一定的時間，對學(xué)生來說，更是一條充滿坎坷的路程。在教學(xué)時，可以讓學(xué)生嘗試三次試剪。第一次試剪，放手讓學(xué)生觀察后，自己嘗試畫和剪，允許出現(xiàn)各種錯誤答案，然后分析排除，最后得出兩種正確的折法，主要目的是“確定折法”。第二次試剪前，學(xué)生已經(jīng)總結(jié)出正確折法，所以本次試剪主要目的是“確定畫法”。先通過觀察的方法，分析出頭的位置，然后再根據(jù)試剪后的錯誤，分析頭斷開的原因，從而總結(jié)出正確畫法。教學(xué)片段如下：

1.觀察思考，畫法再探

（1）思考：畫的時候頭在什么地方

師：從第一次試剪我們發(fā)現(xiàn)不少小朋友剪出來的小人的頭的方向不對，我們再重新觀察習(xí)題，頭朝哪里？

生：在紙中間的方向。

師：請你拿水彩筆在紙的中間畫個小圓作記號。然后對折三次呈三角形狀，觀察水彩筆記號在哪，記號所在的地方就是畫頭的地方（見圖12，13）。

（2）提出要求，獨立完成二次試剪

要求：分析第一次試剪失敗原因，思考：如何改進？

注意畫法，同時思考：頭是否朝中間，手是否相連。

第一次試剪成功的，思考：怎樣畫讓剪出來的小人更漂亮。

2.剪后糾錯，確定畫法

全班展示匯報

第二次試剪還有一部分學(xué)生錯誤，如圖14中的“左圖”和“右圖”。

師：我們要恭喜已經(jīng)成功的小朋友，下面讓我們來幫助還需改進的小朋友，請觀察左、右兩圖，分別錯在哪？

生：左圖的頭沒有畫圓。

生：右圖的頭沒有連在一起，剪斷了。

師：是的，右圖的錯誤，其實就像把手剪斷的錯誤是一樣的，頭和手都要連在一起。（板書：不剪斷，如圖14）

最后進行第三次試剪。如果前兩次試剪是“放”，那么第三次試剪就是“收”，適時收放，能讓學(xué)生積極動手、充分思考，找到解決問題的方法，收獲成功的喜悅，享受學(xué)習(xí)的樂趣。回望三次試剪，各具價值。第一次雖然錯誤百出，但分析出了正確的折法，調(diào)整方案；第二次試剪錯誤明顯變少，只存在頭和手是否相連的問題，通過再次分析與反思，再次調(diào)整方案；第三次試剪，迎來了柳暗花明般的成功?？梢?，在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識、解決數(shù)學(xué)問題的過程中，往往不能一步成功，關(guān)鍵是要讓學(xué)生一次次地反思，一次次地調(diào)整方案，數(shù)學(xué)思考在動手操作中得到深化與提升，數(shù)學(xué)問題也在思維碰撞中妥善解決。在這過程中，簡易設(shè)計圖功不可沒。

小學(xué)數(shù)學(xué)問題解決過程中，“信息、問題、解答”三者有著千絲萬縷的緊密聯(lián)系，信息是問題的前提，是解答的必備要素；問題是信息的延續(xù)，是解答的必然指向；解答是信息呈現(xiàn)與問題取向指引的思維過程。適時開展“圖式化”教學(xué)，正好溝通了三者間的關(guān)系，智慧地架起了從信息及問題到解答的橋梁，在學(xué)生需要時，及時地出現(xiàn)，幫助學(xué)生有序思考，突破解決問題的重難點，有效地解決問題，真乃“圖”到難點破，“圖式化”的教學(xué)價值自然彰顯。

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011年版）[S].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[2]義務(wù)教育教科書.教師教學(xué)用書·數(shù)學(xué)·一至三年級[M].北京：人民教育出版社，2014，10，第1版.