祝洲杰，蔣立正，吳鋰力

(1.浙江機電職業(yè)技術(shù)學院，杭州 310053；2.浙江中力機械設(shè)備有限公司，浙江 湖州 313300)

0 引言

在“機器換人”大背景下，以機械手為代表的自動化裝備能大量替代人工操作、減輕勞動強度，在多個領(lǐng)域發(fā)揮著日益重要的作用[1]。機械手是一種復雜的工業(yè)產(chǎn)品，其涉及結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計、運動學、軌跡規(guī)劃、控制算法等研究[2]。很多學者在機械臂的構(gòu)型提出、機構(gòu)分析、控制系統(tǒng)各方面做了大量的研究[3]。機械手及機械臂產(chǎn)品因結(jié)構(gòu)特征和功能不同而存在較多差異，如并聯(lián)機械臂具有剛度大、精度高、承載能力強、誤差積累小的優(yōu)點[4]，但其結(jié)構(gòu)、動作控制等方面更復雜，而串聯(lián)機械臂則具工作空間大、成本較低的優(yōu)勢。另外，目前市場上的通用機械手大多具有自由度高、運行精度高的優(yōu)點，但結(jié)構(gòu)和控制成本都很高。相比而言，基于相應(yīng)工況開發(fā)的專用機械手則結(jié)構(gòu)簡單、成本較低、可靠性高，對于使用場合動作要求相對單一的工況來說，如堆垛、分揀、流水線搬運等，選用合適的專用機械手無論從經(jīng)濟上還是技術(shù)上來說都是更好的選擇。

在本文中筆者提出了一種多連桿架構(gòu)的串聯(lián)機械手，并通過運動學求解的方式對該機械手進行了理論求證。該機械手結(jié)構(gòu)簡單、輕質(zhì)，并且成本較低，非常適合應(yīng)用于要求單一的自動化工況。

1 結(jié)構(gòu)分析及參數(shù)建模

該機械手主要由回轉(zhuǎn)主體、主臂、副臂、末端夾持器等部分組成，是一種典型的操作型機械手[5]。與目前較為流行的Dobot型機械手相比，這種結(jié)構(gòu)采用了多組平行四桿機構(gòu)，能提供更強的穩(wěn)定性且更輕質(zhì)，在使用于小型堆垛場合時靈活性更好。該機械手不屬于多自由度全功能型，而是采用保持末端執(zhí)行器為水平位姿的方式，已可滿足動作要求較簡單的大量工業(yè)環(huán)境需求。機械手的結(jié)構(gòu)示意如圖1所示。

圖1 結(jié)構(gòu)示意圖

由結(jié)構(gòu)圖分析可得，該機械手由回轉(zhuǎn)主體帶動機械手各部件一起繞軸回轉(zhuǎn)，通過主臂和副臂擺動運動的結(jié)合帶動前臂運動，以保證末端夾持器以水平位姿跟隨前臂完成指定軌跡的運動或工作。由于采用了多連桿結(jié)構(gòu)，該機械手的運動機構(gòu)較為復雜，且由于回轉(zhuǎn)主體的旋轉(zhuǎn)運動和其余部件的運動不屬于同一平面，為自由度分析帶來了難度?；诖耍瑸榱撕喕嬎?，筆者實驗室進行了除回轉(zhuǎn)主體之外的平面自由度分析。由此，可精簡獲得機械手的機構(gòu)示意圖如圖2所示。

圖2 機構(gòu)運動示意圖

根據(jù)自由度公式對該機構(gòu)的自由度進行計算。機構(gòu)中活動構(gòu)件數(shù)n=9，所有的運動副全部為轉(zhuǎn)動副，即低副pL=12，沒有高副pH。由此可得：

F=3n-(2pL+pH)=3

再加上回轉(zhuǎn)主體的1個旋轉(zhuǎn)自由度，可分析得出該機械手是一種4自由度串聯(lián)開鏈式機械手，各個關(guān)節(jié)都是轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)。結(jié)合實際的關(guān)節(jié)情況及尺寸關(guān)系，筆者建立了該機械手的關(guān)節(jié)坐標系如圖3所示。

圖3 關(guān)節(jié)坐標系示意圖

基于D-H法的建立原則[6]，可結(jié)合已建立的坐標系得出各連桿及關(guān)節(jié)的D-H參數(shù)如表1所示。

表1 機械手連桿D-H參數(shù)

2 運動學方程求解

在確定了空間坐標系和D-H參數(shù)后，即要對機械手的運動學特性展開分析。運動學分析本質(zhì)上是研究關(guān)節(jié)變量空間和末端執(zhí)行器的位置和姿態(tài)之間的關(guān)系，是路徑規(guī)劃、軌跡控制的基礎(chǔ)[7]。由此筆者實驗室分別通過正、逆求解兩方面對該機械手進行了分析。

2.1 正運動學求解

該機械手屬于全轉(zhuǎn)動關(guān)節(jié)鏈，各連桿表示為以O(shè)0為基點，各關(guān)節(jié)依次沿坐標系旋轉(zhuǎn)θi，其中i表示為連桿的序號。由此可獲得連桿i對連桿i-1的連桿變換關(guān)系式為：

Ai=Rot(z,θi)Trans(0,0,di)Trans(ai,0,0)Rot(x,αi)

(1)

轉(zhuǎn)換成矩陣即為：

(2)

式中，為簡化矩陣的顯示效果，用s表示sin，c表示cos。

由于變換矩陣Ai表示了相鄰兩連桿之間的位姿變換，依據(jù)該矩陣并將表1的參數(shù)帶入即可依次求得各相鄰連桿的變換矩陣。

(3)

(4)

(5)

(6)

將上述矩陣相乘便可得出機械手末端執(zhí)行器相對于基坐標系位姿的變換通式為：

0T4=A1A2A3A4

(7)

由于乘積矩陣較為復雜，為簡化矩陣的顯示效果，令sθ12=s(θ1+θ2)=sθ1cθ2+cθ1sθ2，sθ34=s(θ3+θ4)=sθ3cθ4+cθ3sθ4，cθ12=c(θ1+θ2)=cθ1cθ2-sθ1sθ2，cθ34=c(θ3+θ4)=cθ3cθ4-sθ3sθ4，則：

(8)

該矩陣即為機械手的正運動學變換矩陣，根據(jù)齊次變換矩陣的定義，矩陣左上角3×3的矩陣表示末端執(zhí)行器相對基坐標系的姿態(tài)，第4列3×1的矩陣表示為末端執(zhí)行器相對基坐標系的位置。若已知各連桿的關(guān)節(jié)變量θi，將兩矩陣各行列元素一一對應(yīng)，末端執(zhí)行器相對于基坐標系的位姿即可求出。

2.2 逆運動學求解

若末端執(zhí)行器的位姿為已知條件，則通過逆求可解出機械手各關(guān)節(jié)的變量θi，對于本文的研究對象(全旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié))來說，即為求解各連桿之間的角度。由于在機械手控制系統(tǒng)中，往往是給定位姿要求逆向反求各關(guān)節(jié)變量，從而使機械手達到期望的位姿狀態(tài)，因而運動學逆解是機械手控制的關(guān)鍵環(huán)節(jié)之一[8]。

基于前文的正運動學結(jié)論，由于末端執(zhí)行器的位姿已知條件，則齊次變換矩陣0T4的各項均為已知。由于齊次矩陣的計算結(jié)果較為復雜，筆者將通過反變換法進行求解。

(1)求解θ2

將式(7)進行調(diào)整即可變形為：

A-14·0T4=A1A3A4

(9)

經(jīng)計算，取等式兩邊矩陣的元素(1，3)對應(yīng)相等可得：

cθ2×ax+ sθ2×az=0

求得：θ2=arctan(-ax/az)

(10)

(2)求解θ1

根據(jù)式(8)齊次變換矩陣的元素(1，3)可得：

sθ12=s(θ1+θ2)=ax

故θ1=arcsin(ax)-arctan(-ax/az)

(11)

(3)求解θ3和θ4

將式(7)進行調(diào)整即可變形為：

A-14·0T4=A1A2A3

(12)

經(jīng)計算，取等式兩邊矩陣的元素(3，1)和元素(3，2)對應(yīng)相等可得：

可求得：θ4=arctan(-nz/oz)

(13)

再根據(jù)式(8)齊次變換矩陣的元素(1，1)和元素(1，2)可得：

c(θ3+θ4)cθ12=nx

s(θ3+θ4)cθ12= -ox

可求得：θ3+θ4=arctan(-ox/nx)

因此可求得：θ3=arctan(-ox/nx)-arctan(-nz/oz)

(14)

從求解結(jié)果看，與正解法不同，逆解問題更為復雜和難解，且通過逆解法所獲得的關(guān)節(jié)角度值不是唯一的。由于機械手結(jié)構(gòu)及作業(yè)環(huán)境限制，大部分逆解都在實際中無法實現(xiàn)，而通過理論計算的方法是無法規(guī)避這些情況的。因而在實際情況中，需要在多組解中選擇其中的一組可行解或最優(yōu)解[9]。由于本文研究對象中的θi存在手臂角度和機械限位的雙重限制，存在明確的范圍，可以首先用以排除不合理解；再結(jié)合軟件仿真的方法檢驗各組逆解的正確，可使這一過程變得直觀且準確。故筆者實驗室在逆解的最優(yōu)性選擇和后續(xù)的驗證過程中使用了仿真軟件提供支持。

3 驗證及仿真

前文式(8)描述了機械手的末端執(zhí)行器與基坐標系之間的位姿變換關(guān)系，給定表1中的關(guān)節(jié)變量θ值，即可得到末端執(zhí)行器的確切位置與姿態(tài)；相反，若明確了位姿，也可以求出各關(guān)節(jié)變量。

為了更好地驗證該機械手運動學方程的正確性及方便后續(xù)進行帶控制參數(shù)的運動仿真，筆者實驗室使用基于Matlab平臺的Robotics Toolbox來驗證前文求解模型的正確性[10]。這種方式可以實時展現(xiàn)機械手的運行情況，相較直接代入數(shù)值進行計算的方式更直觀方便。

在Matlab環(huán)境下使用Robotics Toolbox建立機械手模型是后續(xù)驗證和仿真的基礎(chǔ)。由于該機械手實質(zhì)上是較為簡單的4自由度串聯(lián)桿式結(jié)構(gòu)，使用簡單的link()函數(shù)和robot()函數(shù)再結(jié)合表1的D-H參數(shù)表即可建立模型。結(jié)合機械手的實際情況，擬定末端執(zhí)行器起始點A的關(guān)節(jié)位置為θ始=[0 2.079 -2.598 0.52]，終止點B的關(guān)節(jié)位置為θ終=[0 0.875 -1.797 0.975]，則直接運用drivebot()命令生成機械手的三維桿狀示意圖，同時生成位置控制面板，顯示了位置坐標及關(guān)節(jié)角度值，并可方便地通過調(diào)節(jié)機械手的角度，使各關(guān)節(jié)產(chǎn)生轉(zhuǎn)動，便于分析其運動。起始點A和終止點B的仿真結(jié)果分別如圖4、圖5所示。

圖4 起始點A的仿真結(jié)果

圖5 終止點B的仿真結(jié)果

在仿真界面中，單獨調(diào)q1關(guān)節(jié)，機械手的形態(tài)不變，只繞垂直z軸轉(zhuǎn)動；而分別調(diào)q2、q3、q4關(guān)節(jié)，則機械手各部分相應(yīng)在垂直y軸平面內(nèi)擺動。仿真獲得的運轉(zhuǎn)情況和實際完全吻合，驗證了表1的機械手連桿坐標參數(shù)是完全準確的。

從圖4、圖5的位置控制面板中可得出其末端執(zhí)行器的位置坐標，將q1、q2、q3、q4的值帶入式(8)即可求得位置坐標(px，py，pz)，結(jié)合仿真數(shù)據(jù)結(jié)果進行驗證。但A、B點坐標過于不規(guī)整，驗證工作量大。為便于驗證，筆者設(shè)置了qC=[0 0 0 0]和qD=[pi/2 pi/2 pi/2 0]兩組數(shù)據(jù)，C點和D點的仿真結(jié)果分別如圖6、圖7所示。

圖6 C點的仿真結(jié)果

圖7 D點的仿真結(jié)果

仿真結(jié)果和qC、qD數(shù)值帶入式(8)得出的計算結(jié)果完全相同，由此得出機械手的運動學正解運算過程是正確的。

反之，用Robotics Toolbox的逆運動學命令ikine()可以來驗證逆解的運算過程是否正確。已知齊次變換矩陣0T4即可以用ikine()函數(shù)求出各關(guān)節(jié)位置。筆者將A、B兩點的矩陣0T4A和0T4B輸入Matlab逆求得到的qA和qB關(guān)節(jié)數(shù)組，再與式(10)、式(11)、式(13)、式(14)得出的[θ1θ2θ3θ4]進行了對比，結(jié)果除去小數(shù)點后的偏差之外基本吻合，從而證明了逆解運算過程也是正確的。

除此之外，筆者實驗室還在驗證的基礎(chǔ)上對機械手的運行軌跡進行了分析。機械手在運行過程中，其末端執(zhí)行器的運行軌跡是否合理十分重要。用Robotics Toolbox的jtraj()、ctraj()函數(shù)可以得到機械手的各關(guān)節(jié)空間、笛卡爾空間運動軌跡。根據(jù)A、B兩點的位置坐標經(jīng)插補算法獲得機械手各關(guān)節(jié)的運動軌跡曲線和運行速度曲線如圖8所示。

圖8 運動軌跡和速度曲線

圖8清楚顯示了各關(guān)節(jié)的運行軌跡和速度變化，各關(guān)節(jié)在運行中都很平滑，速度變化順暢，沒有出現(xiàn)運動錯位、運動抖振的情況，表明該機械手的軌跡規(guī)劃合理可行。

4 結(jié)束語

本文提出了一種多連桿架構(gòu)的串聯(lián)機械手結(jié)構(gòu)，對其進行了結(jié)構(gòu)分析，并采用D-H法進行了運動學正、逆問題分析，并結(jié)合Matlab機器人工具箱(Robotics Toolbox)對運動求解結(jié)果和運動軌跡進行了驗證和仿真，結(jié)果表明了該機械手采用的結(jié)構(gòu)在運行穩(wěn)定性和響應(yīng)速度方面表現(xiàn)都很良好，該機械手自由度較少，能大幅度其控制系統(tǒng)使用的算法和策略，且由于采用大量連桿結(jié)構(gòu)而能在保證強度的同時實現(xiàn)輕質(zhì)化。由此該機械手在成本上較目前市場上的通用全功能型機械手具有明顯的優(yōu)勢，非常適合動作單一的自動化工況。

值得一提的是，這種連桿式機械手結(jié)構(gòu)還可被遷移使用于激光雕刻、3D打印等其它功能用途，在應(yīng)用上具有較強的適應(yīng)性。

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