王延忠，王 段

(北京航空航天大學(xué) 機(jī)械工程及自動(dòng)化學(xué)院，北京 100191)

0 引言

首先螺旋錐齒輪的嚙合是一個(gè)復(fù)雜的過(guò)程，嚙合齒面之間是局部共軛點(diǎn)接觸，接觸區(qū)的狀態(tài)和傳遞的載荷是隨著嚙合位置變化而變化的；其次傳動(dòng)路線(xiàn)上軸系、軸承等支撐剛度的變形、輪齒嚙合的振動(dòng)與沖擊等工況因素，同時(shí)都會(huì)對(duì)多因素耦合狀態(tài)下的輪齒精確應(yīng)力譜分析處理帶來(lái)很大的困難。目前在輸入載荷譜向系統(tǒng)主要承力元件即軸系-齒輪系統(tǒng)直至螺旋錐齒輪副的載荷轉(zhuǎn)換方法還缺少系統(tǒng)、完整地研究。精確獲取航空發(fā)動(dòng)機(jī)傳動(dòng)系統(tǒng)中核心部件螺旋錐齒輪的齒面應(yīng)力變化是航空螺旋錐齒輪長(zhǎng)壽命疲勞可靠性設(shè)計(jì)評(píng)估技術(shù)研究的重要指標(biāo)，對(duì)準(zhǔn)確預(yù)測(cè)航空齒輪的疲勞壽命和可靠性具有關(guān)鍵性作用。

齒輪的動(dòng)力學(xué)分析經(jīng)歷了一開(kāi)始以沖擊理論為基礎(chǔ)的階段到現(xiàn)在以振動(dòng)理論為基礎(chǔ)的階段[1-2], Tuplin提出把齒輪系統(tǒng)作為一個(gè)彈性機(jī)械振動(dòng)體統(tǒng)來(lái)研究，是理論意義上的第一個(gè)齒輪動(dòng)力學(xué)模型，揭開(kāi)了齒輪動(dòng)力學(xué)分析開(kāi)始以振動(dòng)理論為基礎(chǔ)的序幕，Tuplin的齒輪動(dòng)力學(xué)模型分析中把齒輪時(shí)變嚙合剛度和輪齒綜合誤差作為齒輪系統(tǒng)的內(nèi)部激勵(lì)；何航紅[3]研究了非線(xiàn)性齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為，這些動(dòng)力學(xué)行為是受間隙參數(shù)的影響的；肖會(huì)勇等[4]建立了非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)模型，因此由于嚙合引起的動(dòng)力學(xué)特性被求解出。 Litvin等[5-6]利用螺旋錐齒輪切齒計(jì)算和齒面點(diǎn)計(jì)算的數(shù)值程序得到齒面點(diǎn)，在Abaqus和python軟件環(huán)境研究和建立了齒輪有限元模型的生成方法和計(jì)算求解技術(shù)；Bibel[7]通過(guò)Marc有限元軟件計(jì)算了一對(duì)螺旋錐齒輪在啟動(dòng)瞬時(shí)的非線(xiàn)性嚙合接觸情況，得到了輪齒載荷大小。A.Kahraman建立了一個(gè)非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)模型，用于分析直齒輪3自由度的齒輪模型[8-9]，研究了由于齒輪嚙合間隙和傳遞誤差引起的內(nèi)部激勵(lì)等動(dòng)態(tài)特性。Lim以汽車(chē)減速器螺旋錐齒輪為對(duì)象，建立了14自由度動(dòng)力學(xué)模型[10]。張祖芳等[11]以齒輪重合度為著手點(diǎn)，利用Runge-Kutta法研究對(duì)含間隙齒輪非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行數(shù)值仿真，結(jié)合時(shí)間歷程圖分析了齒輪的非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)特性。但是他們?cè)诙嘤绊懸蛩伛詈蠗l件下的變化情況方面的研究存在不足，對(duì)于精確獲取輪齒應(yīng)力變化并沒(méi)有系統(tǒng)完整的研究。

螺旋錐齒輪在嚙合過(guò)程中會(huì)有多因素耦合影響，主要有動(dòng)力學(xué)特性、支撐剛度變形等影響因素。螺旋錐齒輪動(dòng)力學(xué)特性對(duì)輪齒應(yīng)力的影響體現(xiàn)在動(dòng)載系數(shù)；支撐剛度變形是影響螺旋錐齒輪的相對(duì)嚙合位置。文中主要建立了螺旋錐齒輪的動(dòng)力學(xué)模型和有限元分析模型，它是基于螺旋錐齒輪加載接觸分析原理的，結(jié)合齒輪的14個(gè)工況條件計(jì)算輪齒的變形，并且以動(dòng)載系數(shù)和輪齒相對(duì)位移的偏移量的耦合因素作為邊界條件輸入分析。更加準(zhǔn)確的描述了輪齒的應(yīng)力變化關(guān)系，為齒輪的設(shè)計(jì)提供技術(shù)基礎(chǔ)。

1 航空螺旋錐齒輪的工況

本論文研究對(duì)象的航空螺旋錐齒輪的輸入功率譜如表1所示，表中的功率譜是某型直升機(jī)螺旋錐齒輪的真實(shí)功率譜，能夠真實(shí)反映齒輪在整個(gè)工作過(guò)程中的載荷變化。

表1 螺旋錐齒輪的輸入功率譜

2 動(dòng)載系數(shù)的求解及影響

本文建立如圖1所示的螺旋錐齒輪動(dòng)力學(xué)模型，把大、小輪的軸線(xiàn)的交點(diǎn)作為坐標(biāo)原點(diǎn)，把大輪的軸線(xiàn)設(shè)為y軸，把小輪的軸線(xiàn)設(shè)為x軸，建立直角坐標(biāo)系。將大輪及大輪軸、小輪及小輪軸簡(jiǎn)化為一個(gè)同時(shí)具有集中質(zhì)量和集中轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的剛體；軸承支撐和輪齒綜合嚙合剛度因?yàn)槭菑椥宰冃危虼丝梢缘刃С梢粚?duì)彈簧和阻尼器，彈簧的剛度分別設(shè)為相應(yīng)的軸承支撐剛度和輪齒嚙合剛度，同樣設(shè)置阻尼器的阻尼值。

圖1 螺旋錐齒輪動(dòng)力學(xué)模型

根據(jù)螺旋錐齒輪在各個(gè)自由度上的動(dòng)力學(xué)公式，可以得到傳動(dòng)系統(tǒng)的8個(gè)振動(dòng)微分方程，螺旋錐齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程組如下所示：

式中，m1、m2——為兩齒輪的質(zhì)量；

J1、J2——為兩齒輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；

cij、kij(i=x,y,z;j=1,2)——為主被動(dòng)輪沿x、y、z方向的阻尼和剛度系數(shù)。

T1——輸入力矩

T2——負(fù)載力矩

并對(duì)上式振動(dòng)微分方程組中的振動(dòng)位移θ1x、θ2y用齒面嚙合點(diǎn)間的法向相對(duì)位移λn去代替，于是系的自由度數(shù)減去一個(gè)變成7個(gè)。合并后的方程為：

F=T1/r1=T2/r2

將上述7自由度微分振動(dòng)方程組進(jìn)行量綱一化處理，得到螺旋錐齒輪動(dòng)力學(xué)的數(shù)學(xué)模型如下所示：

式中，

xj=Xj/bmyj=Yj/bm

zj=Zj/bmλ=λn/bm

ξh=ch/(2meωn)τ=ωnt

ωh=Ωh/ωn

然后對(duì)上述動(dòng)力學(xué)方程進(jìn)行編程求解得到如圖2所示的動(dòng)載系數(shù)變化曲線(xiàn)。

(a)工況1～7的動(dòng)載系數(shù)

(b)工況8～14的動(dòng)載系數(shù)圖2 14個(gè)工況的動(dòng)載系數(shù)曲線(xiàn)

3 支撐剛度變形的影響

由于動(dòng)載系數(shù)對(duì)齒輪的支撐剛度變形會(huì)有影響，因此本文將動(dòng)載系數(shù)作為邊界條件輸入有限元模型，使得分析更為精確。

AMPLITUDE工具模塊選項(xiàng)存在于ABAQUS軟件中，可以用來(lái)定義多樣的曲線(xiàn)，載荷或者位移等邊界條件的數(shù)值可以由這條曲線(xiàn)表示，它可以反應(yīng)在一個(gè)分析步中隨時(shí)間步的變化。

文中的螺旋錐齒輪在傳動(dòng)過(guò)程中發(fā)生二、三齒嚙合交替變化，一個(gè)輪齒嚙合周期歷程中的動(dòng)載系數(shù)變化如圖3a所示。

(a)一個(gè)嚙合周期歷程中的動(dòng)載系數(shù)變化 (b)AMPLITUDE設(shè)置 圖3 混合過(guò)程中動(dòng)載系數(shù)變化

由于ABAQUS有限元軟件中的AMPLITUDE最大相對(duì)數(shù)值只能輸入1，所以可以將動(dòng)載系數(shù)數(shù)值統(tǒng)一除以最大的動(dòng)載系數(shù)值作為新的數(shù)值輸入到AMPLITUDE里，同時(shí)將各工況的扭矩乘以相應(yīng)的最大的動(dòng)載系數(shù)值作為載荷邊界條件輸入。某工況的AMPLITUDE設(shè)置如圖3b所示。

根據(jù)建立的有限元模型進(jìn)行有限元分析如圖4所示為工況4的有限元分析。

圖4 工況4的有限元分析結(jié)果

其余13個(gè)工況也可以采用相同的方法進(jìn)行求解，可以得到如表2所示為14個(gè)工況的支撐剛度變形邊界條件輸入。

表2 14個(gè)工況的大輪和小輪相對(duì)理論嚙合位置偏移量

4 考慮支撐剛度變形與動(dòng)載系數(shù)耦合的輪齒應(yīng)力分析

螺旋錐齒輪由于支撐剛度變形帶來(lái)的嚙合位置誤差主要體現(xiàn)在大輪和小輪的在x軸、y軸和z軸坐標(biāo)上的距離定位誤差和角度誤差，但是由前面的輪齒嚙合位置誤差敏感性分析，角度誤差對(duì)輪齒的嚙合性能的影響不明顯，因此輪齒應(yīng)力誤差實(shí)際就是坐標(biāo)系各個(gè)方向的位移誤差的綜合作用結(jié)果。在理論分析中常常使用如圖5所示的模型來(lái)進(jìn)行分析。Δx、Δy和Δz為大輪和小輪分別在x軸、y軸和z軸坐標(biāo)上偏離理論嚙合位置的相對(duì)位移量；O為大輪中心點(diǎn)，O1為小輪中心點(diǎn)。

圖5 齒輪位移誤差模型

分別比較小輪工作扭矩在工況2、工況9和工況14的情況下，僅考慮支持剛度變形和不考慮支持剛度變形的輪齒應(yīng)力大小對(duì)比，工況2的輸入扭矩為440N·m、工況9的輸入扭矩為747 N·m、工況14的輸入扭矩為986N·m。如圖6～圖8所示，不同扭矩下的螺旋錐齒輪有限元計(jì)算結(jié)果的齒面中點(diǎn)的接觸應(yīng)力和齒根中點(diǎn)的彎曲應(yīng)力在嚙合過(guò)程中的曲線(xiàn)變化圖，其中曲線(xiàn)1、2分別為不考慮、考慮支持剛度和軸系變形的應(yīng)力計(jì)算結(jié)果。

圖6 440 N·m扭矩下的齒面接觸應(yīng)力和齒根彎曲應(yīng)力

圖7 747 N·m扭矩下的齒面接觸應(yīng)力和齒根彎曲應(yīng)力

圖8 986N·m扭矩下的齒面接觸應(yīng)力和齒根彎曲應(yīng)力

由上圖可以看出，考慮支撐剛度變形影響因素，輪齒在受載情況下會(huì)明顯發(fā)生提前嚙合，輪齒嚙合位置發(fā)生改變，進(jìn)而會(huì)影響輪齒的應(yīng)力值，齒面接觸應(yīng)力和齒根彎曲應(yīng)力都會(huì)相應(yīng)地提升，受載時(shí)間也會(huì)變長(zhǎng)，因此考慮支撐剛度變形的應(yīng)力計(jì)算結(jié)果會(huì)更加精確。

5 基于相似理論的試驗(yàn)驗(yàn)證

確定螺旋錐齒輪的齒根彎曲應(yīng)力相似模型的主要參數(shù)為齒根彎曲應(yīng)力、載荷Fmt、工作齒寬和模數(shù)這4個(gè)獨(dú)立的物理量，這些參數(shù)的單位及其量綱表示形式如表3所示，F(xiàn)為力量綱，L為長(zhǎng)度量綱。

表3 螺旋錐齒輪齒根彎曲應(yīng)力計(jì)算模型的主要參數(shù)及單位

根據(jù)上表，把每個(gè)參數(shù)都寫(xiě)成量綱表示形式，可得系統(tǒng)的量綱矩陣如下：

a1a2a3a4σFmFmtbF1010L-2101

此矩陣的秩為2，其相似準(zhǔn)則數(shù)目為4-2=2，可知系統(tǒng)的相似準(zhǔn)則有2個(gè)。

按此矩陣分別寫(xiě)出以T、b為參量的相似準(zhǔn)則。

以Fmt為參量：

以b為參量：

綜上可得系統(tǒng)的兩個(gè)相似準(zhǔn)則為：

根據(jù)π定理，如果通過(guò)改變系統(tǒng)的這4個(gè)參數(shù)，同時(shí)使兩個(gè)π項(xiàng)保持不變，那么這兩組不同的4個(gè)參數(shù)所代表的系統(tǒng)就是一對(duì)相似的系統(tǒng)，其各個(gè)參數(shù)滿(mǎn)足相似比關(guān)系的要求。這兩個(gè)項(xiàng)就構(gòu)成了面齒輪齒根彎曲應(yīng)力計(jì)算的相似模型。

基于相似理論搭建試驗(yàn)臺(tái)如圖9所示。

圖9 動(dòng)態(tài)下的齒輪應(yīng)變測(cè)試試驗(yàn)臺(tái)

打磨并擦拭干凈需要測(cè)量的齒輪表面，在齒根部并粘貼應(yīng)變片，如圖10所示。

圖10 應(yīng)變片的粘貼

利用相似性原理，選取工況5和工況10的動(dòng)態(tài)下的螺旋錐齒輪齒根彎曲應(yīng)力進(jìn)行驗(yàn)證分析。針對(duì)工況5測(cè)得螺旋錐齒輪動(dòng)態(tài)應(yīng)變?nèi)鐖D11所示。

針對(duì)工況10，測(cè)得螺旋錐齒輪測(cè)得動(dòng)態(tài)應(yīng)變?nèi)鐖D12所示。

圖11 工況5的相似模型中的應(yīng)力采樣

圖12 工況10的相似模型中的應(yīng)力采樣

6 結(jié)論

(1)根據(jù)相似性試驗(yàn)結(jié)果表明本論文建立的模型是正確的，能夠?qū)崿F(xiàn)錐齒輪應(yīng)力的精確獲取；

(2)考慮了多因素耦合對(duì)輪齒應(yīng)力的影響，結(jié)合螺旋錐齒輪的14個(gè)工況條件，更加真實(shí)的反映了齒輪的應(yīng)力變化，為實(shí)際的齒輪設(shè)計(jì)提供了理論基礎(chǔ)。

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