郭 鵬，房靈申,趙明揚(yáng),朱思俊

(1.中國(guó)科學(xué)院沈陽(yáng)自動(dòng)化研究所 機(jī)器人學(xué)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，沈陽(yáng) 110016；2.中國(guó)科學(xué)院沈陽(yáng)自動(dòng)化研究所 揚(yáng)州工程技術(shù)研究中心，江蘇 揚(yáng)州 225127；3.中國(guó)科學(xué)院大學(xué)，北京 100049)

0 引言

隨著工業(yè)生產(chǎn)系統(tǒng)對(duì)機(jī)器人工作站的靈活性和自動(dòng)化程度的要求不斷提高，雙臂系統(tǒng)作為一種更先進(jìn)的自動(dòng)化系統(tǒng)，漸漸成為了學(xué)術(shù)和工業(yè)界的熱點(diǎn)研究問(wèn)題[1]。

在機(jī)器人學(xué)領(lǐng)域，利用冗余機(jī)械臂的特性結(jié)合特定的機(jī)器人性能指標(biāo)[15]來(lái)提高其在執(zhí)行任務(wù)過(guò)程中的靈活性需要用戶自己設(shè)計(jì)或修改機(jī)器人的逆解算法[2-3],但是一般來(lái)說(shuō)，大多數(shù)工業(yè)機(jī)器人廠商并不提供給用戶修改權(quán)限，所以在不修改機(jī)器人逆解算法的前提下進(jìn)行位姿優(yōu)化成為一個(gè)必要的研究課題，Maria等在文獻(xiàn)[4]首先提出一種通用的冗余機(jī)械臂的位姿優(yōu)化方法并給出了詳細(xì)的證明，該方法能夠?qū)⒂脩糇约哼x擇的機(jī)器人性能指標(biāo)作為優(yōu)化目標(biāo)，實(shí)現(xiàn)冗余機(jī)械臂的位姿優(yōu)化，在任務(wù)冗余的噴涂[5]和鉆孔操作[6]這兩種案例下已得到驗(yàn)證，它們選用的優(yōu)化指標(biāo)分別為單臂動(dòng)力學(xué)可操作性度和單臂運(yùn)動(dòng)學(xué)可操作度。由于雙機(jī)器人系統(tǒng)在執(zhí)行一些協(xié)調(diào)操作任務(wù)時(shí)的也可認(rèn)為是冗余機(jī)器人，故也可以利用該通用方法對(duì)其進(jìn)行位姿優(yōu)化，文獻(xiàn)[7]即是采用雙臂機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)可操作度作為優(yōu)化指標(biāo)一使用雙臂系統(tǒng)的相對(duì)雅克比矩陣來(lái)構(gòu)造。

本文的主要研究?jī)?nèi)容是將文獻(xiàn)[7]的優(yōu)化目標(biāo)進(jìn)行更改，利用基于各向同性指標(biāo)[8]對(duì)雙工業(yè)機(jī)械臂系統(tǒng)進(jìn)行位姿優(yōu)化。為了最大程度地接近實(shí)際情況，采用成熟的機(jī)器人逆解算法，故利用ABB RobotStudio軟件進(jìn)行仿真。

1 主從雙臂機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)學(xué)及優(yōu)化問(wèn)題描述

在 ABB公司開(kāi)發(fā)的RobotStudio機(jī)器人仿真環(huán)境中，使用兩臺(tái)ABB IRB140型號(hào)的工業(yè)機(jī)械臂，它們的DH參數(shù)如表1所示。

表1 ABB機(jī)器人DH參數(shù)

1.1 主從雙臂系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)

雙臂機(jī)器人出現(xiàn)冗余特性的一個(gè)情形為：用戶在描述一個(gè)雙機(jī)械臂協(xié)調(diào)操作任務(wù)時(shí)，只對(duì)兩機(jī)械臂末端坐標(biāo)系的相對(duì)位置和姿態(tài)作出規(guī)定，而對(duì)單個(gè)機(jī)械臂的末端的位姿信息不作約束限定。

為了建立雙臂機(jī)器人系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，將單臂關(guān)節(jié)空間擴(kuò)展為包含兩只機(jī)械臂的關(guān)節(jié)空間表達(dá)式：

(1)

圖1表示了主從機(jī)械臂系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)鏈，令W∈SE(3)和T∈SE(3)分別表示主機(jī)械臂和從機(jī)械臂在某一瞬時(shí)的位姿，協(xié)調(diào)操作任務(wù)可以認(rèn)為是從機(jī)械臂相對(duì)于主機(jī)械臂的位姿變化，所以定義R=W-1T(R∈SE(3))來(lái)描述相對(duì)運(yùn)動(dòng)。當(dāng)主機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)和從機(jī)械臂相對(duì)于主機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)被確定之后，雙臂系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)即被完整地描述出來(lái)了，如式(2)和式(3)所示：

(2)

(3)

其中，x表示從機(jī)械臂相對(duì)于主機(jī)械臂的相對(duì)位姿描述，y表示主機(jī)械臂的位姿描述，其中下標(biāo)r表示相對(duì)(relative)，l表示主動(dòng)(leader)，ρ,θ,φ分別表示三個(gè)歐拉角(ZYZ)，f(q)和h(q)表示相對(duì)運(yùn)動(dòng)和主機(jī)械臂的正向運(yùn)動(dòng)學(xué)表達(dá)式。

圖1 雙臂系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)鏈?zhǔn)疽鈭D

1.2 通用位姿優(yōu)化方法的問(wèn)題描述

如上所述，如果雙臂系統(tǒng)在完成協(xié)調(diào)操作任務(wù)時(shí)只需考慮兩機(jī)械臂的相對(duì)運(yùn)動(dòng)x，而對(duì)主機(jī)械臂和從機(jī)械臂的位置不作約束，此時(shí)，由于主機(jī)械臂的位置和姿態(tài)對(duì)協(xié)調(diào)操作任務(wù)沒(méi)有影響，所以可以任意設(shè)置，這就出現(xiàn)了冗余的情形。文獻(xiàn)[2]提出的通用優(yōu)化方法本質(zhì)上將主機(jī)械臂的位姿(y)作為擴(kuò)展任務(wù)，通過(guò)約束它來(lái)實(shí)現(xiàn)對(duì)兩只手臂的位姿優(yōu)化。

現(xiàn)設(shè)μ(q)為可微的目標(biāo)優(yōu)化函數(shù)，N為任務(wù)雅克比矩陣的零空間的一個(gè)基，所以優(yōu)化問(wèn)題的數(shù)學(xué)描述為下式：

minμ(q) subject tox-f(q)=0

(4)

通過(guò)簡(jiǎn)單證明[10]可得(4)式的解為：

(5)

由已知的冗余機(jī)械臂逆運(yùn)動(dòng)學(xué)算法技術(shù)可知，如果用戶想要優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)μ(q)，就需要修改或重新設(shè)計(jì)機(jī)器人逆運(yùn)動(dòng)學(xué)算法。目前大部分的工業(yè)機(jī)器人廠商并不會(huì)開(kāi)放給用戶足夠的權(quán)限來(lái)修改其控制器內(nèi)部的算法。所以本文利用這種在不修改和重新設(shè)計(jì)逆運(yùn)動(dòng)學(xué)算法[2]的前提下來(lái)對(duì)雙臂機(jī)器人系統(tǒng)的位姿進(jìn)行優(yōu)化。

文獻(xiàn)[2]中提出并證明的基于擴(kuò)展任務(wù)的位姿優(yōu)化方法可簡(jiǎn)述為：設(shè)n為機(jī)器人系統(tǒng)的自由度的數(shù)目，k為任務(wù)空間的維度，在一個(gè)可使任務(wù)雅克比矩陣Js非奇異的區(qū)域，且存在一個(gè)可微的函數(shù)h(·):Rn→Rn-k，令增廣矩陣JA[3,9]：

(6)

是非奇異的。設(shè)σ(q)=0為一個(gè)在機(jī)械臂運(yùn)動(dòng)過(guò)程中需要強(qiáng)化的可積分的約束。那么總存在一個(gè)可微的函數(shù)p(·):Rk→Rn-k，使逆解算法(7)可以求得對(duì)約束σ(q)=0強(qiáng)化的解。

(7)

需要指出的是，上述方法表面上使用的仍然是增廣雅克比矩陣，但是經(jīng)過(guò)證明也可以使用任何逆運(yùn)動(dòng)學(xué)算法，例如經(jīng)典的轉(zhuǎn)置雅克比矩陣甚至是封閉的解析解[2-4]。

圖2表示通用姿態(tài)優(yōu)化方法的總體框架圖，其中指令x為用戶輸入到機(jī)器人逆運(yùn)動(dòng)學(xué)算法的任務(wù)指令，而擴(kuò)展任務(wù)指令y依賴變量x，由y=-p(x)求得。

圖2 冗余系統(tǒng)的求解框圖

優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)μ(q)的選取決定了雙臂系統(tǒng)在執(zhí)行任務(wù)過(guò)程中體現(xiàn)的運(yùn)動(dòng)性能。機(jī)器人運(yùn)動(dòng)靈活性指標(biāo)可以量化地表示機(jī)器人靈活性和位形的優(yōu)劣，不同的靈巧性指標(biāo)針對(duì)不同的機(jī)器人的性能。經(jīng)典的靈巧性能指標(biāo)有可操作度和條件數(shù)兩種，條件數(shù)反映了機(jī)械臂末端的速度轉(zhuǎn)化能力的“均勻性”，條件數(shù)越小，反映了機(jī)械臂末端向操作空間各個(gè)方向的速度轉(zhuǎn)化能力分布越均勻[15]。

研究表明，將兩個(gè)機(jī)械臂的指標(biāo)相乘得到的新指標(biāo)可兼顧到兩只機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)性能[10]。對(duì)于工業(yè)機(jī)械臂的構(gòu)型來(lái)說(shuō)，前三個(gè)關(guān)節(jié)對(duì)整體的機(jī)械臂系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)靈巧性起到?jīng)Q定性的作用，故在確定優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)的時(shí)候，只考慮兩只機(jī)械臂的前三個(gè)關(guān)節(jié)，如式(8)所示，下稱“雙臂機(jī)器人各向同性指標(biāo)(DAIM)”。

(8)

將式(8)代入式(5)中可將目標(biāo)優(yōu)化函數(shù)轉(zhuǎn)化為可積約束，再使用函數(shù)擬合的方法求出y=-p(x)，最后按照如圖3所示的運(yùn)動(dòng)學(xué)結(jié)構(gòu)對(duì)機(jī)器人進(jìn)行編程，就可以達(dá)到使用現(xiàn)有的工業(yè)機(jī)器人的控制器(ABB自帶的逆解算法)來(lái)優(yōu)化用戶所要求的性能指標(biāo)(雙臂機(jī)器人各向同性指標(biāo))的目的。這種編程方式與普通的工業(yè)機(jī)器人編程不同之處是，在確定主機(jī)械臂位姿指令的時(shí)候調(diào)用了函數(shù)-p(x)。

圖3 雙工業(yè)機(jī)械臂系統(tǒng)的控制結(jié)構(gòu)框圖

2 基于蒙特卡洛方法采樣關(guān)節(jié)值

由于無(wú)法以解析方法求得方程-p(x)的表達(dá)式，故利用方程擬合的方式來(lái)求解，具體步驟為：

(1)利用蒙特卡洛方法采樣出流形σ(q)=0附近的關(guān)節(jié)值序列q。本文使用與文獻(xiàn)[2-5]相同的采樣算法，見(jiàn)下述的Hit-and-Run算法及圖4和圖5所示。

(2)將采樣得到的q值代入式(2)，式(3)中求解兩機(jī)械臂的相對(duì)位姿值x和主機(jī)械臂的位姿值y。

(3)將函數(shù)的非線性擬合轉(zhuǎn)化為最小二乘問(wèn)題，利用優(yōu)化算法如貪心算法來(lái)進(jìn)行求解。

設(shè)預(yù)先選定的函數(shù)模型序列和系數(shù)序列分別為式(9)和式(10)，函數(shù)p(x) 的求解問(wèn)題最終可以轉(zhuǎn)化為式(11)所示。

(9)

(10)

(11)

首先，在數(shù)學(xué)軟件Matlab編寫(xiě)采樣程序，采樣足夠多的關(guān)節(jié)空間q值序列，利用改進(jìn)的Hit-and-Run[5-8,13]算法在流形σ(q)=0鄰域生成一個(gè)偽均勻分布D={|σ(q)|<ε}，如圖5所示，該圖表示了采樣算法在生成關(guān)節(jié)點(diǎn)的過(guò)程的示意圖。

Hit-and-Run偽代碼如下所示：

假設(shè)已經(jīng)采樣得到k-1

step1：選擇跳轉(zhuǎn)次數(shù)T?1；

step2：設(shè)q(p)為在已經(jīng)生成的(p=1,…，k-1)個(gè)q值中任意挑選的一個(gè)值，并將其作為起點(diǎn)；

step3：設(shè)s←0,q(k),0←q(p)；

step4：生成一個(gè)隨機(jī)方向v，且‖v‖=1。

step5：設(shè)現(xiàn)在生成以q(k),s為起點(diǎn)沿方向v生成下一個(gè)點(diǎn)q(k),s+1=q(k),s+μv(經(jīng)過(guò)多次試驗(yàn)μ=2較合適)；

step6：設(shè)s←s+1；

step7：若s=T，設(shè)q(k)←q(k),T，否則回到step4；

step8：returnq(k)；

上述的偽代碼可用圖4的流程圖表示。

圖4 Hit-and-Run 算法的流程圖

圖5 Hit-and-Run算法示意圖(T=4)

圖6 σ 值的分布

3 擴(kuò)展任務(wù)關(guān)系式擬合結(jié)果

根據(jù)上節(jié)敘述的求解步驟，第2步驟為利用采樣得到的關(guān)節(jié)空間求出x,y。之后第3步驟為對(duì)擴(kuò)展任務(wù)y與x的關(guān)系進(jìn)行擬合，即求式(9)和式(11)的向量，最終確定式y(tǒng)=-p(x)。

挑選合適的模型函數(shù)，可以快速擬合并提高精度，研究表明將改進(jìn)的傅里葉序列作為模型函數(shù)[14]，可以達(dá)到快速擬合的效果，表2和表3列舉了選擇的模型函數(shù)(式(9))。利用綜合優(yōu)化分析軟件1stopt，調(diào)用麥夸特算法(Leverberg -Marquardt)求解，以位移2mm 角度6°為收斂判斷標(biāo)準(zhǔn)，確定式(10)表示的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)c′，最終可求得函數(shù)的形式：

表2 主機(jī)械臂位置的模型函數(shù)

表3 主機(jī)械臂姿態(tài)的模型函數(shù)

表4 系數(shù)值結(jié)果

4 基于RobotStudio的仿真結(jié)果

RobotStudio是ABB公司開(kāi)發(fā)的具有強(qiáng)大功能的機(jī)器人仿真環(huán)境，它提供了同ABB機(jī)器人實(shí)體產(chǎn)品相同的逆解算法。在RobotStudio環(huán)境中建立雙工業(yè)機(jī)械臂工作站，利用提供的虛擬示教器結(jié)合上述擴(kuò)展任務(wù)擬合公式進(jìn)行編程?，F(xiàn)設(shè)定雙臂協(xié)作任務(wù)算例：從機(jī)械臂末端沿主臂末端Z軸直線運(yùn)動(dòng)(0～100mm)。如式(2)所示，x表示從機(jī)械臂(follower)相對(duì)于主機(jī)械臂(leader)的位置和姿態(tài)，在任務(wù)路徑中共插值5個(gè)點(diǎn)即：

對(duì)機(jī)械臂進(jìn)行編程。

從機(jī)械臂(follower)的程序摘要為：

……

MoveJ x1……Wobj：=Leader；

MoveJ x2……Wobj：=Leader；

MoveJ x3……Wobj：=Leader；

MoveJ x4……Wobj：=Leader；

MoveJ x5……Wobj：=Leader；

……

主機(jī)械臂(leader)的程序摘要為：

……

MoveJ func(x1)……；

MoveJ func(x2)……；

MoveJ func(x3)……；

MoveJ func(x4)……；

MoveJ func(x5)……；

……

上述從機(jī)械臂的指令中：

(1)MoveJxi：表示將機(jī)械臂的末端移至xi變量所表示的位置和姿態(tài)；

(2)變量xi：表示雙臂協(xié)作任務(wù)描述的中間路徑點(diǎn)。如上述，所設(shè)的算例為相對(duì)線性運(yùn)動(dòng)，現(xiàn)在在路徑中都插值5個(gè)中間路徑點(diǎn)(x1-x5)；

(3)Wobj：= Leader：表示機(jī)械臂末端的參考坐標(biāo)系為主機(jī)械臂的末端。

(4)func()表示函數(shù)y=-p(x)。

程序運(yùn)行時(shí)的機(jī)械臂的運(yùn)行過(guò)程如圖7所示，它們顯示了雙臂系統(tǒng)在利用了擴(kuò)展任務(wù)的擬合公式(y=-p(x))對(duì)機(jī)器人編程后的位形隨時(shí)間的變化過(guò)程。首先設(shè)置兩只機(jī)械臂的初始位置(t=0s)為操作性能較劣的位形，隨著時(shí)間的進(jìn)行，兩只機(jī)械臂沿著xi路徑點(diǎn)指示的位姿運(yùn)動(dòng)，調(diào)用的是ABB機(jī)械臂自帶的逆解算法。

圖7 雙臂系統(tǒng)執(zhí)行相對(duì)直線任務(wù)時(shí)運(yùn)行的位形隨時(shí)間變化

對(duì)于工業(yè)機(jī)械臂的構(gòu)型，使其在工作中遠(yuǎn)離肘關(guān)節(jié)奇點(diǎn)和肩關(guān)節(jié)奇點(diǎn)[11]，具有很重要的現(xiàn)實(shí)意義，它是機(jī)械臂能夠靈活運(yùn)動(dòng)的一個(gè)重要因素。觀察圖7僅從外形的視角可以看出，基于擴(kuò)展任務(wù)關(guān)系對(duì)機(jī)器人編程可使兩機(jī)械臂都遠(yuǎn)離兩種奇異位形，這體現(xiàn)出了雙臂各向同性指標(biāo)的優(yōu)化效果和擬合公式的有效性。

圖7僅是從外形的角度上觀察機(jī)械臂的位形。如1.2節(jié)所述機(jī)器人性能指標(biāo)(如可操作度、條件數(shù)、各向同性指標(biāo)等)的一個(gè)重要功能是可以量化地表示機(jī)械臂的操作性能。圖7和圖8繪制的曲線圖表示了雙臂的性能指標(biāo)的值隨時(shí)間的變化過(guò)程。

圖8繪制的是本文所選用的優(yōu)化項(xiàng)“雙臂各向同性指標(biāo)(DAIM)”的值隨時(shí)間的變化情況，可以看出該值在雙臂系統(tǒng)運(yùn)行時(shí)相對(duì)初始位置(t=0s)會(huì)變大，這說(shuō)明基于擴(kuò)展任務(wù)的優(yōu)化方法可以優(yōu)化DAIM指標(biāo)的數(shù)值。

為了進(jìn)一步驗(yàn)證兩只機(jī)械臂確實(shí)均處于“速度分布均勻”的位形，現(xiàn)繪制兩只機(jī)械臂的經(jīng)典性能指標(biāo)—條件數(shù)—隨時(shí)間的變化情況如圖9所示，可以看出兩只機(jī)械臂的條件數(shù)均會(huì)出現(xiàn)變小的趨勢(shì)，這印證了“雙臂各向同性指標(biāo)”的優(yōu)化效果同條件數(shù)是類似的。

圖8 雙臂各向同性值隨時(shí)間的變化

圖9 兩只機(jī)械臂條件數(shù)隨時(shí)間的變化

5 結(jié)論

本文對(duì)最近提出的一種通用冗余機(jī)械臂位姿優(yōu)化方法進(jìn)行了擴(kuò)展研究，改變了優(yōu)化指標(biāo)，將乘積形式的“雙臂各向同性指標(biāo)”作為優(yōu)化目標(biāo)，然后對(duì)優(yōu)化問(wèn)題進(jìn)行了數(shù)學(xué)描述，編寫(xiě)采樣算法，得到大量的關(guān)節(jié)空間值的樣本，最終擬合出擴(kuò)展任務(wù)(主機(jī)械臂的位姿)和相對(duì)位姿的數(shù)學(xué)關(guān)系式，利用該關(guān)系式在仿真環(huán)境RobotStudio對(duì)雙臂系統(tǒng)進(jìn)行編程，觀察雙臂的運(yùn)行時(shí)的位形變化，為了量化顯示位形的優(yōu)化，繪制了性能指標(biāo)的數(shù)值隨時(shí)間的變化情況。

結(jié)果表明：

(1)將各向同性指標(biāo)作為優(yōu)化項(xiàng)后，基于蒙特卡洛的采樣算法對(duì)優(yōu)化函數(shù)采樣能夠在最優(yōu)位姿附近得到大量的有效的關(guān)節(jié)值。

(2)根據(jù)擴(kuò)展任務(wù)關(guān)系式對(duì)機(jī)器人編程會(huì)使兩只機(jī)械臂在運(yùn)行的過(guò)程中都處于遠(yuǎn)離軸關(guān)節(jié)奇點(diǎn)和肩關(guān)節(jié)奇點(diǎn)，DAIM的值會(huì)有增大趨勢(shì)，條件數(shù)的值會(huì)有減

小，這顯示了本文使用的基于擴(kuò)展任務(wù)的位姿優(yōu)化方法結(jié)合“雙臂各向同性指標(biāo)”的優(yōu)化效果的有效性。

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