唐 凱，洪榮晶,1b，方成剛,1b，張 虎

(1.南京工業(yè)大學(xué) a.機(jī)械與動(dòng)力工程學(xué)院；b.江蘇省工業(yè)裝備數(shù)字制造及控制技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南京 210009；2.南京工大數(shù)控科技有限公司，南京 210009)

0 引言

數(shù)控成形磨齒機(jī)作為齒輪磨削的關(guān)鍵設(shè)備，其加工精度主要由兩個(gè)方面決定: 修整過程中砂輪的修整精度和磨齒過程中砂輪相對(duì)齒輪的位置精度[1]。其中，砂輪修整精度是決定成形磨齒加工精度的重要因素。在修整砂輪時(shí)，由制造誤差和裝配誤差引起的幾何誤差始終影響著系統(tǒng)的定位精度。為了提高磨齒精度，必須對(duì)砂輪修整系統(tǒng)的幾何誤差進(jìn)行建模分析，找出主要誤差來源并進(jìn)行補(bǔ)償。

近年來，多體系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)學(xué)理論的提出為解決復(fù)雜多軸數(shù)控機(jī)床的運(yùn)動(dòng)幾何誤差提供了途徑[2]。多體系統(tǒng)誤差運(yùn)動(dòng)分析的基本原理是采用低序體陣列的方法描述多體系統(tǒng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的關(guān)系，用4×4階齊次方陣描述點(diǎn)和矢量在廣義坐標(biāo)系中的變換關(guān)系，讓多體系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)誤差分析變得簡單、直接[3-6]。

在國內(nèi)，劉又午等[7]提出了基于多體系統(tǒng)理論的數(shù)控機(jī)床誤差模型、參數(shù)辨識(shí)及補(bǔ)償技術(shù)研究。韓江等[8]利用齊次坐標(biāo)變換建立了砂輪磨齒機(jī)空間誤差模型，并對(duì)幾何誤差進(jìn)行了預(yù)測(cè)和實(shí)時(shí)補(bǔ)償。上海交通大學(xué)任永強(qiáng)等[9]在幾何誤差模型建立過程中考慮了熱誤差的影響，得到了很好的補(bǔ)償效果。而針對(duì)成形磨齒機(jī)砂輪修整系統(tǒng)的幾何誤差，目前很少有學(xué)者進(jìn)行探究。

本文根據(jù)修整系統(tǒng)金剛滾輪與砂輪之間傳動(dòng)鏈的封閉性，以相鄰體間典型運(yùn)動(dòng)變換矩陣為基礎(chǔ)，推導(dǎo)出考慮誤差時(shí)的相鄰體變換矩陣。建立砂輪修整系統(tǒng)的幾何誤差模型，并給出綜合誤差補(bǔ)償?shù)姆桨?，通過磨削試驗(yàn)驗(yàn)證了誤差數(shù)學(xué)模型的正確性及誤差補(bǔ)償?shù)挠行浴?/p>

1 SKMC-3000W/20數(shù)控成形磨齒機(jī)

普及型成形磨齒機(jī)的構(gòu)成組件包括床身、工作轉(zhuǎn)臺(tái)、立柱、托板、刀具和多個(gè)回轉(zhuǎn)軸等，是一個(gè)復(fù)雜的機(jī)械運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)[10]。

圖1為SKMC-3000W/20數(shù)控成形磨齒機(jī)，該機(jī)床共有6個(gè)數(shù)控軸和2個(gè)主軸。6個(gè)數(shù)控軸包括X、Y、Z、W四個(gè)直線軸和A、C兩個(gè)旋轉(zhuǎn)軸，2個(gè)主軸為砂輪旋轉(zhuǎn)主軸S1和金剛輪旋轉(zhuǎn)主軸S2。

圖1 SKMC-3000/20成形磨齒機(jī)

1.1 成形砂輪修整原理

如圖2所示，砂輪修整系統(tǒng)由Y軸、W軸、金剛石滾輪主軸、砂輪主軸組成。其中金剛石滾輪作為刀具，砂輪為加工件。在用砂輪磨齒之前，依據(jù)輸入的參數(shù)，系統(tǒng)先計(jì)算出砂輪的理論軸向廓形，之后Y軸和W軸同時(shí)動(dòng)作，金剛石滾輪通過運(yùn)行軌跡將砂輪修整成既定形狀。

在修整過程中金剛石滾輪和砂輪都保持高速旋轉(zhuǎn)，其余軸不動(dòng)作。最后把修整好的砂輪定位到待磨削齒輪槽中間就可以實(shí)現(xiàn)一個(gè)齒槽的加工。

修整砂輪會(huì)產(chǎn)生誤差，過程中將復(fù)映到加工齒輪上，決定了齒形誤差大小。為研究齒輪加工誤差，應(yīng)首先建立砂輪修整誤差模型。

圖2 砂輪修整系統(tǒng)及其拓?fù)鋱D

1.2 修整系統(tǒng)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)及運(yùn)動(dòng)分析

砂輪修整系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)件包含B0、B1、B2、B3、B4、B5、B6體，可將此運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)分為兩個(gè)分支。

分支一：磨頭架、砂輪電主軸、砂輪

分支二：磨頭架、Y軸、W軸、金剛石滾輪主軸、金剛石滾輪

顯然，砂輪B2和金剛石滾輪B6分別為分支一和分支二的末端體。

依照?qǐng)D2的砂輪修整系統(tǒng)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)示意圖和相應(yīng)描述，可以得出如表1所示的砂輪修整系統(tǒng)低序體陣列。

表1 砂輪修整系統(tǒng)低序體陣列

固定連接的兩相鄰體，如0(磨頭架)和1(砂輪主軸)通常誤差只有兩種：理想固定聯(lián)接位姿(位置和姿態(tài))誤差和靜止位姿誤差；而作相對(duì)運(yùn)動(dòng)的兩相鄰體之間，如3(Y軸)和4 (W軸) ，除了具備上述兩種誤差外，因?yàn)槠浯嬖谶\(yùn)動(dòng)初始時(shí)的相對(duì)靜止和此后的相對(duì)運(yùn)動(dòng)兩種狀態(tài)，所以還有理想運(yùn)動(dòng)位姿以及運(yùn)動(dòng)誤差引起的運(yùn)動(dòng)位姿誤差[11]。這就說明兩個(gè)相鄰體的運(yùn)動(dòng)關(guān)系可以用4×4個(gè)特征矩陣描述，靜止位姿矩陣Tijp、靜止位姿誤差矩陣ΔTijp、運(yùn)動(dòng)位姿矩陣Tijs和運(yùn)動(dòng)位姿誤差矩陣ΔTijs。

2 砂輪修整系統(tǒng)誤差模型建立

分別對(duì)系統(tǒng)分支一和分支二相鄰體的變換矩陣進(jìn)行分析：

砂輪主軸S1與磨頭架B0之間的靜止位姿矩陣、靜止位姿誤差矩陣、運(yùn)動(dòng)位姿矩陣、運(yùn)動(dòng)位姿誤差矩陣為：

(1)

(2)

(3)

(4)

式中的θ1px、θ1py、θ1pz和τ1px、τ1py、τ1pz分別表示相鄰體相對(duì)位姿的三個(gè)角誤差和三個(gè)線誤差；φ1表示砂輪主軸體坐標(biāo)系繞Y軸的旋轉(zhuǎn)角度。

砂輪主軸S1與刀具(砂輪)B2之間的靜止位姿矩陣、靜止位姿誤差矩陣、運(yùn)動(dòng)位姿矩陣、運(yùn)動(dòng)位姿誤差矩陣為：

(5)

ΔT12P=I4×4T12S=I4×4ΔT12S=I4×4

(6)

Y軸B3與磨頭架B0之間的靜止位姿矩陣、靜止位姿誤差矩陣、運(yùn)動(dòng)位姿矩陣、運(yùn)動(dòng)位姿誤差矩陣為：

T03P=I4×4ΔT03P=I4×4

(7)

(8)

(9)

式中的θ3sx、θ3sy、θ3sz和τ3sx、τ3sy、τ3sz分別表示相鄰體相對(duì)位姿的三個(gè)角誤差和三個(gè)線誤差；

W軸B4與Y軸B3之間的靜止位姿矩陣、靜止位姿誤差矩陣、運(yùn)動(dòng)位姿矩陣、運(yùn)動(dòng)位姿誤差矩陣為：

T34P=I4×4

(10)

(11)

(12)

(13)

金剛石滾輪主軸S2與W軸B4之間的靜止位姿矩陣、靜止位姿誤差矩陣、運(yùn)動(dòng)位姿矩陣、運(yùn)動(dòng)位姿誤差矩陣為：

(14)

T45P=I4×4

(15)

(16)

(17)

金剛石滾輪B6與金剛石滾輪主軸S2之間的靜止位姿矩陣、靜止位姿誤差矩陣、運(yùn)動(dòng)位姿矩陣、運(yùn)動(dòng)位姿誤差矩陣為：

(18)

ΔT56P=I4×4T56S=I4×4ΔT56S=I4×4

(19)

假設(shè)金剛滾輪磨削點(diǎn)在金剛滾輪體坐標(biāo)系內(nèi)的坐標(biāo)為Pr=[PrxPryPrz1]T，砂輪磨削點(diǎn)在刀具體坐標(biāo)系內(nèi)的坐標(biāo)為Pw=[PwxPwyPwz1]T。

因?yàn)樵谏拜喰拚^程中，金剛滾輪和砂輪始終嚙合，理想狀態(tài)，兩個(gè)磨削點(diǎn)在機(jī)床坐標(biāo)系下的位置重合，則有:

T01pT01sT12pT12sPw=T03pT03sT34pT34sT45pT45sT56pT56sPr

(20)

在砂輪修整運(yùn)動(dòng)中，金剛滾輪磨削點(diǎn)的實(shí)際位置會(huì)偏離理想位置，產(chǎn)生空間位置誤差和姿態(tài)偏差。金剛滾輪磨削點(diǎn)的綜合空間誤差為：

E=TwPw-TrPr

(21)

其中：

Tw=T01pT01sΔT01pΔT01sT12pT12sΔT12pΔT12s

Tr=T03pT03sΔT03pΔT03sT34pT34sΔT34pΔT34s·
T45pT45sΔT45pΔT45sT56pT56sΔT56pΔT56s

由此表明，砂輪坐標(biāo)系中的砂輪磨削點(diǎn)可通過相應(yīng)的金剛滾輪上的任意磨削點(diǎn)求得，如果求解出系列砂輪磨削點(diǎn)，根據(jù)包絡(luò)理論，可得到修整后砂輪的齒面形狀。與理想情況下齒廓形狀對(duì)比，便可計(jì)算出磨齒機(jī)的砂輪修整誤差。

將類似的誤差建模過程應(yīng)用于齒輪磨削系統(tǒng)中，便可完成對(duì)整個(gè)磨齒機(jī)整機(jī)的幾何誤差建模，為后續(xù)的幾何誤差補(bǔ)償做準(zhǔn)備。

3 誤差補(bǔ)償方案

在進(jìn)行幾何誤差補(bǔ)償前，首先采用激光干涉儀進(jìn)行單項(xiàng)幾何誤差測(cè)量，計(jì)算出數(shù)控磨齒機(jī)各個(gè)軸的基礎(chǔ)誤差項(xiàng)，再將所有軸的基礎(chǔ)誤差帶入前面給出的相應(yīng)系統(tǒng)的幾何誤差表達(dá)式中，就能計(jì)算出誤差量。

SKMC-3000/20成形磨齒機(jī)使用的是西門子數(shù)控系統(tǒng)，在磨齒機(jī)上可通過修正NC程序來實(shí)現(xiàn)幾何誤差補(bǔ)償功能。

修正NC程序補(bǔ)償方案是在既有的NC程序中各軸的位置命令上附加一個(gè)補(bǔ)償指令，使其在原有坐標(biāo)位置的基礎(chǔ)上移動(dòng)一個(gè)補(bǔ)償量，到達(dá)符合精度要求的實(shí)際位置，從而優(yōu)化齒輪磨削的廓形精度。該補(bǔ)償方法原理如圖3所示。

圖3 砂輪修整系統(tǒng)誤差補(bǔ)償方案

4 磨削試驗(yàn)

對(duì)于建立的誤差模型及補(bǔ)償方法需要進(jìn)行試驗(yàn)驗(yàn)證，圖4為磨削加工的試驗(yàn)現(xiàn)場(chǎng)，選取如表2所示的齒輪進(jìn)行磨削試驗(yàn)。磨削完成之后，取齒圈均布的四個(gè)位置在三坐標(biāo)測(cè)量儀上進(jìn)行左右齒面齒廓精度檢測(cè)，得到初始齒廓精度如圖5所示。之后將修改后的NC程序?qū)肽X機(jī)數(shù)控系統(tǒng)中，運(yùn)行加工程序，圖6為補(bǔ)償后的齒廓檢測(cè)報(bào)告。結(jié)果顯示：齒廓補(bǔ)償前該磨齒機(jī)的設(shè)計(jì)精度為6級(jí)，補(bǔ)償后，齒廓的總體精度提高到3級(jí)。

表2 齒輪的基本參數(shù)

圖4 磨削加工實(shí)驗(yàn)現(xiàn)場(chǎng)

圖5 補(bǔ)償前齒廓精度

圖6 補(bǔ)償后齒廓精度

5 結(jié)論

本文分析了砂輪修整過程中的誤差傳遞關(guān)系，基于多體運(yùn)動(dòng)學(xué)理論建立了SKMC-3000/20型數(shù)控成形磨齒機(jī)砂輪修整系統(tǒng)的幾何誤差模型。提出一種綜合誤差補(bǔ)償方案，最后通過磨削試驗(yàn)驗(yàn)證了模型的正確性和補(bǔ)償方案的可行性，為成形磨齒機(jī)的設(shè)計(jì)制造和誤差修正提供了借鑒。

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