張景中+彭翕成

5.不用極限定義導數(shù)

無窮在數(shù)學中的應用，在微積分學中達到了極致。

微積分中用到了無窮分割、無窮接近、無窮大和無窮小、無窮數(shù)列和無窮級數(shù)。無窮過程成了家常便飯。

拉格朗日的《解析函數(shù)論》一書的副標題是：“不用無窮小，或正在消失的量，或極限與流數(shù)等概念，而歸結(jié)為有限的代數(shù)分析的藝術。”他用泰勒展開式克服極限理論的困難，這當然無法避開無窮。

拉格朗日時代至今已有200多年，避開無窮來建立微積分的想法依然徘徊在人們心頭，揮之不去。網(wǎng)上有一本熱銷書叫做《Calculus Without Limits-Almost》。美國麻省理工學院的M. Livshits教授提出了不用極限定義導數(shù)的方法，還在自己的網(wǎng)站上銷售帶有Calculus Without Limits字樣的T恤衫。

在中國，林群院士是改革微積分基本理論的倡導者。他提出用“一致性不等式”直接定義導數(shù)（參看林群著《微積分快餐》），從而在微積分的最基本的概念層次上避開了無窮。

林群的導數(shù)定義，可以形式化地表述如下：

用一致性不等式定義導數(shù)設函數(shù)F在[a，b]上有定義，如果有一個在[a，b]上有定義的函數(shù)f，和一個在（0，b-a]上正值遞增而無正的下界的函數(shù)a（x），使得對[a，b]上任意的x和x+h，有下列不等式：|（F（x+h）-F（x）-f（x）h）|≤|h|a（h），則稱F在[a，b]上一致可導，且稱f是F的導數(shù)。

本文作者之一在《直來直去的微積分》一書中提出了另一個思路：用不同于牛頓的觀點分析瞬時速度問題。

如何求任一時刻的速度，即所謂的瞬時速度呢？

牛頓讓時間區(qū)間趨于0，啟用了一個無窮過程。

能不能避開無窮來思考瞬時速度的概念呢？平均速度與瞬時速度有何關系？有沒有簡單明白的說法？

眼前就有一個明擺著的道理：在勻速運動時，瞬時速度就是平均速度；若不是勻速運動，瞬時速度有時比平均速度大，有時比平均速度小。

這里并沒有回答什么是瞬時速度。這里只說，如果有所謂的瞬時速度，它應當有這樣的性質(zhì)，它和平均速度應當有這樣的關系。

這樣的說法平凡清楚。奇怪的是，數(shù)學家長期以來都忽略了這個平凡的關系。沿著這個平凡的思路，就能夠避開無窮而走進微積分的大門。

如果用牛頓的思路，讓兩點無窮接近取極限，不少有用的信息就會被湮沒。為了復原被湮沒的信息，必須進一步研究無窮過程所產(chǎn)生的結(jié)果的性質(zhì)，即極限的性質(zhì)。而若從“瞬時速度有時比平均速度大，有時比平均速度小”這一點出發(fā)，則避開了求極限的無窮過程，保留了g（x）=2x與S（x）= x2的原汁原味的關系。與極限方法相比，可說是返璞歸真。

6.避開無窮定義瞬時速度

“瞬時速度有時比平均速度大，有時比平均速度小”的道理，僅僅給出了瞬時速度應當滿足的必要條件，并不是瞬時速度的定義。

能不能避開無窮過程，給瞬時速度一個看起來更有道理的定義？

先問一下，要瞬時速度有什么用？

速度是位移和時間的比。速度定了，可以根據(jù)時間求位移，就可以了解物體的運動狀態(tài)。如果瞬時速度僅僅適用于瞬時，僅僅適用于長度為0的時間區(qū)間，就不能用它求出非0的位移，不能用它了解物體的運動狀態(tài)，就沒有用。如果想用瞬時速度，就要在一個長度非0的區(qū)間上用它。也就是說，在某個時刻T附近的小小的時間區(qū)間上，把運動的物體近似地看成以T處瞬時速度為速度的勻速運動。

當然，我們希望這樣的勻速運動在小小的時間區(qū)間上是最接近真實運動的勻速運動。

瞬時速度的物理定義設S=F（t）是質(zhì)點A的運動方程，若作勻速運動L（t）=F（u）+v（t-u）的質(zhì)點B比任意一個勻速運動K（t）=F（u）+k（t-u）的質(zhì)點C在時刻t=u附近更接近A，則稱v為A在t=u處的瞬時速度。

其準確含義是指有一個包含u的時間區(qū)間I=（u-c，u+c），使得對一切t沂（u-c，u+c）但t屹u（t=u時，L（u）=F（u）=K（u）），總有|L（t）-F（t）|<|K（t）-F（t）|。

應用極限理論和導數(shù)的性質(zhì)，可以證明瞬時速度的物理定義和依賴極限的數(shù)學定義是等價的。

僅僅應用瞬時速度的物理定義容易推導出，若運動方程為S（x）=x2，則時刻x的瞬時速度為g（x）=2x。這時|L（t）-F（t）|<|K（t）-F（t）|中的L（t）=u2+2u（t-u），K（t）=u2+k（t-u）。而F（t）=S（t）=t2。要證明的是有一個包含u的時間區(qū)間I=（u-c，u+c），使得對一切t沂（u-c，u+c）但t屹u（t=u時，L（u）=F（u）=K（u）），總有|u2+2u（t-u）-t2|<|u2+k（t-u）-t2|。

設t屹u，約去|t-u|后成為|u-t|約|k-t-u|。注意條件k屹2u（否則兩端恒等），可以記k=2u+d，要證的不等式化簡為|u-t|約|u-t+d|，當|u-t|足夠小時此式當然成立。

7.避開無窮定義切線

數(shù)學家經(jīng)過一千多年的思考才認識到，切線是割線的極限。沿著這個線索發(fā)現(xiàn)了導數(shù)，啟動了創(chuàng)建微積分的“大業(yè)”。

但是，極限是分析的概念，涉及一個無窮過程。能不能避開無窮，不依賴分析中的極限概念，建立切線的幾何定義呢？endprint

最早研究的切線是圓的切線，看看圓的切線有何特點。

如圖8，過圓O上一點A作切線AB，再作圓O的任意一條割線AP。設直線AM是蟻PAB的角平分線。顯然，在切點A附近，切線比任意一條割線更接近圓弧。

可以說，在過切點的所有直線中，在切點附近最接近圓弧的是切線。這啟發(fā)我們給出不依賴于極限的切線的定義。

曲線切線的幾何定義過曲線上一點A的所有直線中，如果有一條在點A附近最接近該曲線，就把這條直線叫做該曲線在點A的切線。

應用極限理論和導數(shù)的性質(zhì)可以證明，切線的幾何定義和微積分中用極限建立的定義是一致的。

因為當k≠2u時，d≠0，容易看出當|h|足夠小且非0時，有d（B，AP）

這里按照切線的幾何定義來確定某條直線是不是切線，比起硬性規(guī)定切線就是割線的極限，則顯得更為簡單和順理成章，也使我們獲得了更多信息和更深刻的認識。這又是避開無窮帶來的意料之外的收獲。

8.避開無窮求導數(shù)

上面幾節(jié)以函數(shù)y=x2為例，探討了在微積分中避開無窮的可能。

新思路來自一個常識性的斷言：瞬時速度有時大于或等于平均速度，有時小于或等于平均速度。

為了方便更一般的討論，下面把這個思路提升為數(shù)學概念。

確實可以。容易證明：若g（x）是f（x）在區(qū)間I上的乙函數(shù)，又是f（x）在區(qū)間J上的乙函數(shù)，且區(qū)間I和區(qū)間J有公共點，則g（x）是f（x）在區(qū)間K= I胰J上的乙函數(shù)。

用了估值不等式，從乙函數(shù)的性質(zhì)馬上可以推導出甲函數(shù)的性質(zhì)：

（i）若乙函數(shù)恒為0，則甲函數(shù)為常數(shù)；

（ii）若乙函數(shù)為非0常數(shù)，則甲函數(shù)為一次函數(shù)；

（iii）若乙函數(shù)在某區(qū)間上恒正，則甲函數(shù)在此區(qū)間上遞增；

（iv）若乙函數(shù)在某區(qū)間上恒負，則甲函數(shù)在此區(qū)間上遞減。

從這些性質(zhì)看，乙函數(shù)很像導數(shù)。但從導數(shù)的定義推導出這些性質(zhì)是一個很痛苦的過程：先要走進無窮世界，再從無窮世界解脫出來回歸現(xiàn)實，好像經(jīng)歷了一次脫胎換骨的輪回。而避開無窮使用估值不等式，簡單明白地就得到了這些性質(zhì)。甲、乙函數(shù)概念的建立，可以看成是微積分基本思想的返璞歸真。

容易提出問題，滿足不等式的甲、乙函數(shù)相對來說是唯一的嗎？

從定義確實不能保證乙函數(shù)的唯一性。對所討論的函數(shù)類加一些限制條件是必然選擇，如差商有界；甚至可以加一個更弱的條件：一致連續(xù)。限于篇幅，在此就不展開論述了。其實還可以避開無窮求面積，導出微積分基本定理，建立一元微積分的基本理論，有興趣的讀者可參看《不用極限的微積分》和《直來直去的微積分》兩本書。

無窮大和無窮小都是人們想象力的創(chuàng)造物。有了無窮的概念，數(shù)學家有時能夠更方便地發(fā)現(xiàn)、解決或描述只涉及有窮的問題。數(shù)學能夠思考無窮，而且能夠得出一系列令人信服的有關結(jié)論，是理性思維與感性直觀相互融合滲透的典型范例。

微積分是人類精神的勝利之果，是兩千年來人類智慧的結(jié)晶。它既包含了基于潛無窮的極限方法，也包含了基于實在無窮小的非標準分析方法。如今我們可以看到，它還有避開無窮的樸素的方法。這顯示出微積分學的豐富多彩，讓我們又一次感受到數(shù)學文化的博大精深。

（作者單位：中國科學院華中師范大學）