摘 要：本文給出標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的規(guī)范性的兩種證明方法，作為應(yīng)用，我們運(yùn)用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布給出了π和e的近似計(jì)算方法。

關(guān)鍵詞：正態(tài)分布；Gamma函數(shù)；規(guī)范性

正態(tài)分布在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)具有非常重要的地位。中心極限定理很好地體現(xiàn)了這一重要性。一般地，正態(tài)分布隨機(jī)變量X的密度函數(shù)具有如下的形式

f（x）=12πσexp-（x-μ）22σ2，-∞0。此時(shí)，我們記X～N（μ，σ2），如果μ=0，σ=1，則x的密度函數(shù)為φ（x）=12πe-x22，-∞

證明方法一：

由積分的性質(zhì)我們知道：

∫∞-∞e-x22dx2=

∫∞-∞e-x22dx·∫∞-∞e-y22dy=∫∞-∞∫∞-∞e-x2+y22dxdy

令x=rcosθ，y=rsinθ，其中r>0，0≤θ≤2π，則

∫∞-∞e-x22dx2=∫∞0∫2π0e-r22rdrdθ=2π。

規(guī)范性得證。

證明方法二：

下面我們借助Gamma函數(shù)的工具來證明標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的規(guī)范性。Gamma函數(shù)的定義為Γ（x）=∫∞0tx-1e-tdt。Gamma函數(shù)Γ（x）滿足如下的余元公式

Γ（1-x）Γ（x）=πsin（πx），0

在上式中令x=0.5，則Γ（0.5）=π。在Γ（x）=∫∞0tx-1e-tdt中，令t=s2可以得到

Γ（x）=2∫∞0s2x-1e-s2ds，

故π=Γ（0.5）=∫∞-∞e-s2ds。再令，s=t/2，則π=Γ（0.5）=∫∞-∞e-t22dt/2，即∫∞-∞e-t22dt/2π=1，標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的規(guī)范性得證。為了證明一般正態(tài)分布N（μ，σ2）的規(guī)范性，在∫∞-∞e-t22dt/2π=1中，令t=（x-μ）/σ，即x=σt+μ，則有

∫∞-∞12πσexp-（x-μ）22σ2dx=1。

標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的應(yīng)用：

設(shè)X～N（0，1），則

E（|X|）=∫∞-∞|x|12πe-x22dx=2∫∞0x2πe-x22dx=-22π∫∞0e-x22d-x22=2π，

E（eX）=∫∞-∞ex12πe-x22dx=e∫∞-∞12πe-（x-1）22dx=e.

π和e是數(shù)學(xué)中兩個(gè)非常重要的常量，借助于上面得到的公式，我們可以給出

π和e的近似值。設(shè)（x1，x2，…xn）是由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N（0，1）生成的隨機(jī)數(shù)，則

1n∑nk=1|xk|可以作為E（|X|）的估計(jì)值，而π=2/（E（|X|））2，所以2/1n∑nk=1|xk|2可以作為π的近似值。同理，1n∑nk=1exk2可以作為e的估計(jì)。

參考文獻(xiàn)：

[1] 茆詩松，程依明，濮曉龍，概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程[M].高等教育出版社，2011.

[2] 李賢平.概率論基礎(chǔ)[M].高等教育出版社，2010.

[3] 杜海霞.貫穿概率論的n重貝努里概型[J].價(jià)值工程，2014年29期.

[4] 王君.概率論伯努利概型課堂教學(xué)中的思維訓(xùn)練設(shè)計(jì)[J].新疆師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2011（03）.

[5] 孔運(yùn)，王淵.伯努利試驗(yàn)的推廣及應(yīng)用[J].科技傳播，2013（24）.

[6] Amir Dembo， Ofer Zeitouni， Large Deviations Techniques and Applications[M]. Springer， 1998.

作者簡介：

劉小艷，江蘇省揚(yáng)州市，江蘇省邗江中學(xué)。