北京市通州區(qū)潞河中學(xué)(101149) 趙月靈

信息時代的到來,逼迫著教學(xué)必須從農(nóng)耕時代的樸素的“教學(xué)即傳遞”的觀念中走出來,也從非此即彼的各種形式化的改革中走出來,重新認識教學(xué)的任務(wù)與功能.教學(xué)為了發(fā)展,教學(xué)要促進發(fā)展,教學(xué)要讓學(xué)生具備自主發(fā)展的意識與能力,要發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng).這,成為當(dāng)前緊迫的任務(wù),深度學(xué)習(xí)的研究成為信息時代背景下的新任務(wù).

因此我們首先要弄清楚兩個概念,即何謂深度學(xué)習(xí)?何謂變式教學(xué)?

所謂深度學(xué)習(xí),就是指在教師引領(lǐng)下,學(xué)生圍繞著具有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)主題,全身心積極參與、體驗成功、獲得發(fā)展的有意義的學(xué)習(xí)過程.在這個過程中,學(xué)生掌握學(xué)科的核心知識,理解學(xué)習(xí)的過程,把握學(xué)科的本質(zhì)及思想方法,形成積極的內(nèi)在學(xué)習(xí)動機、高級的社會性情感、積極的態(tài)度、正確的價值觀,成為既具獨立性、批判性、創(chuàng)造性又有合作精神、基礎(chǔ)扎實的優(yōu)秀的學(xué)習(xí)者,成為未來社會歷史實踐的主人.

所謂“變式教學(xué)”,就是圍繞一個問題本質(zhì),在基本思路不變的基礎(chǔ)下,不斷變更問題的情境,使事物的一些外在屬性不斷遷移、變化,從而使學(xué)生不斷調(diào)整思維、思考的角度,把問題轉(zhuǎn)化成原問題本質(zhì)的一種教與學(xué)的方法.是踐性葉瀾教授:“把課堂還給學(xué)生,讓課堂充滿生命活力”的有效途徑.開放性“變式教學(xué)”是學(xué)生主動建構(gòu)的課堂,是學(xué)生做學(xué)習(xí)的主人的課堂.筆者近幾年來堅持通過“變式”的數(shù)學(xué)教學(xué)活動,培養(yǎng)和提高學(xué)生的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化能力,收到較好的效果.

下面就高三教學(xué)中“函數(shù)零點問題”的復(fù)習(xí)教學(xué)談?wù)勛约涸谶@方面的實踐.

一、由常數(shù)到參數(shù),揭示問題解決的基本方法,培養(yǎng)學(xué)生思維的深度.

例題1 已知函數(shù)發(fā)f(x)=lnx+1求函數(shù)y=f(x)的零點.

變1 已知函數(shù)f(x)=lnx-x+1求函數(shù)y=f(x)的零點的個數(shù).

變2 已知函數(shù)f(x)=lnx-ax+1,a∈R常數(shù),討論函數(shù)y=f(x)零點的個數(shù).

方法1 轉(zhuǎn)化為函數(shù)f(x)=lnx-ax+1在(0,+∞)上與x軸交點的情況.

這種方法的難點是函數(shù)里含有參量a,所以要對a進行討論,分類較多,往往會使問題復(fù)雜化.

評析 由于分離了參量,回避了分類討論,思路變得簡潔清晰.

方法3 由f(x)=0?lnx-ax+1=0(x＞0),即lnx=ax-1.轉(zhuǎn)化為求函數(shù)y=lnx與直線y=ax-1交點的情況.由于函數(shù)y=lnx和一次函數(shù)y=ax-1均為基礎(chǔ)函數(shù),且y=ax-1的圖象必過(0,-1)點,所以數(shù)形結(jié)合也很容易得到結(jié)果.

解題回顧 例題1主要是讓學(xué)生明白函數(shù)零點的概念和最根本的解法;變式1當(dāng)零點直接不好求時,通過轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖像交點求零點個數(shù);變式2加入?yún)?shù),變?yōu)榱泓c的逆向問題,本題所展示的三種解題方法同時也是解函數(shù)零點的問題的三種主要方法(直接法、分離法、轉(zhuǎn)化為兩個基礎(chǔ)函數(shù)圖像交點法).這個環(huán)節(jié)的變式,引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會緊緊抓住函數(shù)零點概念,適當(dāng)進行函數(shù)零點、相應(yīng)方程的根、函數(shù)圖像與軸的交點、兩個函數(shù)圖像的交點的相互轉(zhuǎn)化.

“解題”是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí),特別是高考復(fù)習(xí)的主要活動.設(shè)計好變式將問題隱藏在題目之中,讓學(xué)生在教師的追問、反問、補問把掩藏在解法背后的想法挖掘出來.讓學(xué)生做到知其然更要知其所以然.在深度學(xué)習(xí)中,學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體,教師是引導(dǎo)者而非學(xué)生學(xué)習(xí)的替代者,教學(xué)內(nèi)容不是只需學(xué)生記憶的、外在于學(xué)生的靜態(tài)的、客觀知識,而是需要學(xué)生全身心投入去理解、領(lǐng)會、評判、體驗、感受才能“活”起來、“動”起來的知識.

二、改變不同問法,揭示問題,培養(yǎng)學(xué)生思維的廣度.

到這個程度學(xué)生對函數(shù)零點問題真的理解掌握了嗎?如果學(xué)生沒有很好重視解后的反思、再變化和引申等重要環(huán)節(jié),題目稍作變化可能就不會解決了.

所以需要再設(shè)計了一系列的對比問題:

變3已知函數(shù)f(x)=lnx-ax+1,a∈R常數(shù),

(1)若y=f(x)在區(qū)間(1,e)上恰有兩個零點,求a的取值范圍;

(2)若y=f(x)與x軸有且只有一個公共點,求a的取值范圍;

(3)方程lnx-ax+1=0有兩個根求a的取值范圍;

至此學(xué)生明白了函數(shù)零點問題、方程根的問題、兩個函數(shù)圖像交點問題可以相互轉(zhuǎn)化,都可以用解決零點的三種主要方法解決.學(xué)生也在總結(jié)中用了“一箭多雕”這個詞,即掌握了“函數(shù)零點”問題的解決辦法,方程根的問題和函數(shù)圖像交點的問題也都一樣解決了.緊接著給出下題;

例2 已知函數(shù)f(x)=x3-3ax+2a,(a,b∈R),若y=f(x)與x軸有且只有一個公共點,求a的取值范圍.

方法1直接分析函數(shù)和軸的交點情況,f′(x)=3x2-3a,然后對參量進行討論,畫函數(shù)的圖像分析;

方法2 x3-3ax+2a=0?a(3x-2)=x3.

解題回顧 變式3使學(xué)生更明確函數(shù)零點、相應(yīng)方程的根、函數(shù)圖像與軸的交點、兩個函數(shù)圖像的交點等的相互轉(zhuǎn)化;例2檢驗學(xué)生理解的情況,直接應(yīng)用,但指出了一個易錯問題,即分離參量時需要對自變量的取值范圍進行討論.對學(xué)生分析如何分離變量、分離時需要注意什么問題,什么時候可以分離,什么時候不能分離給于啟發(fā).

在深度學(xué)習(xí)中,教師的是設(shè)計引導(dǎo)者,引導(dǎo)學(xué)生不僅能夠掌握知識的(文字)符號表達以及(文字)符號表述的邏輯,還能夠理解文字符號所傳達的意義內(nèi)容,即對能夠教學(xué)內(nèi)容進行深度加工.

因此在解題過程中,不僅要引導(dǎo)學(xué)生“求變”,還應(yīng)“求聯(lián)”,即在解后反思前后聯(lián)系,以上這樣變換問題的條件和形式,即在原題的基礎(chǔ)上創(chuàng)設(shè)新的情境,以變式的理念研究解題的方向和優(yōu)化解題策略,能不斷鼓勵學(xué)生獨立思考,深入思考,可使學(xué)生思維開闊性得到訓(xùn)練和提高.

三、轉(zhuǎn)換角度,培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散度.

在基本方法和聯(lián)系的前提下,如果沒有靈活性還是不能解決,

交點的情況.

······

分析發(fā)現(xiàn)方向1比較簡單易行,所以采用方向1來解決.

通過把兩個函數(shù)圖像交點,轉(zhuǎn)化為相應(yīng)方程的根,適當(dāng)變形,再把方程的根轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖像的交點,確定方向,問題很容易得到解決.

解題回顧 例題3涉及到如何運用已有的知識儲備,靈活分析轉(zhuǎn)化的問題,讓學(xué)生明白為什么轉(zhuǎn)化的多方向,然后通過優(yōu)化確定合適的方向.任何東西都不是死東西,我們要引導(dǎo)學(xué)生變換思維的角度,運用轉(zhuǎn)化的思想,化歸的方法,把要解決的問題化歸為已經(jīng)解決或比較容易解決的問題.這樣對數(shù)學(xué)的認識也就表現(xiàn)為一種多角度、全方位的上升過程.學(xué)生的思維的創(chuàng)造性和靈活性得到有效的訓(xùn)練和提高.根的情況→函數(shù)y=x和

四、創(chuàng)設(shè)新的情境,引導(dǎo)靈活轉(zhuǎn)化,培養(yǎng)學(xué)生思維的創(chuàng)造性和靈活性.

例題4 已知函數(shù)f(x)=2x3-3x.若過點P(1,t)存在3條直線與曲線y=f(x)相切,求t的取值范圍;(本題是2014年北京文科20題第二問)

變式 已知函數(shù)f(x)=(4-x)ex-2(x＜2),若存在直線ax-2y+m=0(a、m為常數(shù))與曲線y=f(x)相切,求a的范圍.

分析 f′(x)=(3-x)ex-2(x＜2)由ax-2y+m=0所以原問題可轉(zhuǎn)化為(3-x)e在x∈(-∞,2)有解,即函數(shù)g(x)=(3-x)x∈(-∞,2)存在零點的問題.

解題回顧 例題4和這兩個問題表面是切線的問題,但通過分析只需轉(zhuǎn)化為零點問題就可以了,自然得到解決.

教師設(shè)計問題的有效性,直接決定學(xué)生思考的深度,設(shè)計新的問題背景,對問題進行遷移和拓展變化.然后引導(dǎo)學(xué)生大膽轉(zhuǎn)化,找到方法和規(guī)律,學(xué)會對問題反思,增強解決問題的靈活性.

五、延伸新的外圍,拓寬思維鏈,培養(yǎng)學(xué)生思維的廣泛性.

課堂教學(xué)的時間畢竟是有限的,如何才能提高課堂的效率,增加學(xué)生學(xué)習(xí)的深度和廣度,加強有效性,為此,筆者合理利用原有教學(xué)資源,在原有情景中“求變”,幫助學(xué)生拓展到課堂教學(xué)的外圍,延伸課堂教學(xué)的信息容量.

首先,為了使學(xué)生在課堂學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上,對知識有更加深刻的認識和理解,從中總結(jié)提煉出各自學(xué)習(xí)和發(fā)展所掌握的東西,在課堂上的反思交流總結(jié).

比如:讓學(xué)生的交流、反思、總結(jié)、提取零點問題知識結(jié)構(gòu).理清函數(shù)零點問題、方程根的問題、函數(shù)圖像交點問題間的轉(zhuǎn)化關(guān)系,

零點問題主要有三條路,方法①直接求函數(shù)圖像和x軸的交點,這種方法由于要對參量進行分類討論,所以一般較為麻煩;方法②是轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的方程,然后把參量分離出來,通過圖像來看函數(shù)圖像與一條平行于軸直線交點的個數(shù)比較簡單,局限性是有時不能分離參量.方法③是函數(shù)零點轉(zhuǎn)化為方程的根,然后適當(dāng)分配,轉(zhuǎn)化為看、兩個簡單函數(shù)圖像的交點.

體會了數(shù)學(xué)題目的發(fā)展變化及解法的發(fā)現(xiàn)過程,引導(dǎo)嘗試自己去發(fā)現(xiàn)、再創(chuàng)造,再探索.采用小組互助學(xué)習(xí)的方式去探究問題.

延伸題目 設(shè)函數(shù)f(x)=lnx,g(x)=ax-1,a∈R,f(x)＞g(x)恒成立.求a的范圍?

讓學(xué)生自己學(xué)著用方程解決問題的方法去解決不等式的問題.為了使學(xué)生進一步自我體驗數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程,學(xué)會自主探究與合作交流相結(jié)合的學(xué)習(xí)方式.

新課程倡導(dǎo)積極主動《標準》明確提出數(shù)學(xué)教學(xué)必須鼓勵學(xué)生積極參與數(shù)學(xué)活動,不僅是行為上的參與,更要有思維上的參與,通過各種方式激活思維,深化思維,不斷地提高數(shù)學(xué)思維能力.在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中采用遞進型變式教學(xué),從典型的例題出發(fā)引導(dǎo)學(xué)生去變化、去引申、去發(fā)現(xiàn),變中求活,變中求新,這樣就能逐步提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題的能力,同時也能不斷提高學(xué)生的思維品質(zhì)和數(shù)學(xué)素養(yǎng).