浙江省紹興市高級中學(312000) 曹千秋

1.引言

隨著科學技術(shù)的發(fā)展,在新課改的大背景下,數(shù)學教育的面貌正全面改觀,信息技術(shù)尤其是計算機教學軟件的應(yīng)用,將課程中的知識全面、動態(tài)、形象地呈現(xiàn)給學生,信息技術(shù)成為教師教學、學生學習數(shù)學和解決生活中實際問題的工具,極大地調(diào)動了學生探索和實踐的主動性和積極性.這其中,幾何畫板、超級畫板、SmartBoard、GeoGbra(簡稱GGB)等數(shù)學演示軟件逐漸為廣大教師所熟悉并應(yīng)用于教學之中.

長期以來,國內(nèi)諸多教師、學者對數(shù)學教學軟件訴諸了大量精力,如葉中豪、陳殿林等基本實現(xiàn)了絕大多數(shù)尺規(guī)作圖問題在幾何畫板中的演示,但其過程較復(fù)雜,用到了很多高等幾何方面的知識,而幾何畫板中圓錐曲線的作圖乃至求作切線仍是一大難題.此外,幾何畫板僅有“形”的動態(tài)變化,對于揭示圖形的精微性質(zhì)仍有較大的缺陷.與之相比,GGB融合了代數(shù)和幾何兩大學科,做到了圖形與代數(shù)方程的同步變化.例如,可以通過在GGB下方的“指令欄”輸入“圓形[<圓心>,<半徑>]”,直接畫出圖形,同時在“代數(shù)區(qū)”得到該圓的方程;甚至可以用向量運算的方式輸入“(A+B+C)/3”來直接顯示三角形ABC的重心.除此之外,GGB具有較強的可操作性,可以多種方法做出點、多邊形、圓錐曲線和三維立體圖形,同時還可以方便地畫出垂線、交點、角平分線、切線等輔助線,使教材中難以呈現(xiàn)、原本枯燥繁瑣的問題得到生動形象的展示,例如,針對平面解析幾何軌跡求解問題,在GGB中打開軌跡跟蹤功能,可以創(chuàng)設(shè)運動對象軌跡探究的情境,通過直觀的觀察,為學生猜想、探討和證明提供幫助.

解析幾何作為高中數(shù)學教學中的重點和難點,一直都是數(shù)學課堂中學生理解的軟肋,本文借助GGB動態(tài)數(shù)學軟件,以橢圓教學為例,著重講解GGB在橢圓教學中的新嘗試,旨在豐富教學手段、開拓學生學習視角.

2.用GeoGebra繪制橢圓

教科書中橢圓的定義是:平面內(nèi)到兩定點距離之和為常數(shù)(大于兩定點間距離)的點的軌跡為橢圓.在實際教學過程中,用黑板、粉筆很難精準實現(xiàn)這一作圖過程,而用GGB可以很方便實現(xiàn).

例1平面直角坐標系中,關(guān)于y軸對稱的兩點F1(5,0),F2(-5,0),點P到兩定點距離為15,求P點軌跡.

如圖 1所示,在 GGB“指令欄”中根據(jù)題目要求輸入:橢圓 [<焦點 1>,<焦點 2>,半長軸長],即:橢圓[(5,0),(-5,0),7.5]點擊回車,在代數(shù)區(qū)出現(xiàn)圓錐曲線函數(shù)20x2+36y2=1125,繪圖區(qū)域出現(xiàn)橢圓.

圖1 案例1及GGB功能分區(qū)

通過以上橢圓定義繪制橢圓,進一步的,我們了解到了橢圓的焦點、頂點等基本概念,那么橢圓的其他定義能否也能通過GGB實現(xiàn)呢?

例2 已知O(-5,0),A(5,0),以O(shè)為圓心、半徑r=12做圓C,P是圓C上任意一點,線段AP的垂直平分線l和半徑OP相交于點Q,點P在圓上運動時,求Q點的軌跡.

分析:GGB軟件有“對象軌跡跟蹤”功能,可以方便實現(xiàn)動點軌跡的求解;此外,在求解圖像交點方面,幾何畫板等繪圖軟件顯得有些無能為力,需要經(jīng)過充分計算,容易出錯且時效很差,這一難題在GGB面前卻非常簡單,只需通過一個按鈕即可解決.

(2)通過“線段”按鈕,繪制線段OP、線段AP,通過“中垂線”按鈕繪制線段AP中垂線,點擊“交點”按鈕,拾取中垂線與OP的交點Q;

3.基于GeoGebra探究橢圓性質(zhì)

GGB繪圖軟件帶有“滑塊”控件,可以實現(xiàn)變量的賦值和調(diào)整,且代數(shù)與幾何繪圖結(jié)果聯(lián)動,可以非常直觀地展現(xiàn)變量變化引起的圖形整體的變動.以例1為例,我們將兩焦點橫坐標及定點到兩焦點的距離之和設(shè)置為可變量,即焦點F1(c,0),F2(-c,0),點P到兩定點距離之和為2a(c＞0,a＞c),通過改變以上變量值觀察橢圓形狀的變化,方法如下:

(2)點擊 “描點”按鈕建立橢圓焦點 F1、F2,在 “代數(shù)區(qū)”右鍵單擊焦點設(shè)置屬性,將點定義分別改為F1(c,0),F2(-c,0);

(3)在“指令欄”輸入橢圓命令,即“橢圓[F1,F2,a/2]”,點擊回車;

(4)通過調(diào)整滑動條改變c和a的值觀察橢圓形狀的變化,如圖3所示為變量不同取值下對應(yīng)的橢圓形狀.

圖3 橢圓屬性探究

在此基礎(chǔ)上,通過重新定義變量,我們可以推演出橢圓的各種性質(zhì)、參量與橢圓形狀變化的關(guān)系,如:橢圓的對稱性、橢圓的準線,橢圓的離心率等.

4.橢圓與直線的關(guān)系探究

傳統(tǒng)判定橢圓與直線的位置關(guān)系(相離、相切、相交)常常將橢圓方程與直線方程聯(lián)立,消去變量組成一元二次方程進行Δ判定,解題過程繁瑣且不易于學生直觀理解,而GGB可以通過構(gòu)建與橢圓外直線平行的橢圓切線,加深學生理解.

分析 題目是求解直線到橢圓上點的距離的最小值,可以轉(zhuǎn)化為求直線l和與l平行的橢圓切線之間的距離,即轉(zhuǎn)化為求解兩條平行線之間的距離.

(1)在“指令欄”輸入函數(shù)“xx/25+yy/9=1”繪制橢圓C,輸入函數(shù)“4x-5y+40=0”繪制直線l;

(4)點擊“線段”按鈕,繪制線段BC,顯示線段長度為2.34.

圖4 案例4繪圖過程及結(jié)果

另外:例3中,線段l的位置是固定的,如果直線l是經(jīng)過一固定點的直線,隨著直線l的旋轉(zhuǎn),或者隨著直線l上某一定點在特定軌跡上移動,直線l與橢圓間C之間的最小距離是怎樣變化的呢?對此,我們可以結(jié)合GGB中“滑動條”(例2變式)與例3中“求切線”共同解決,不再贅述.

圓錐曲線是高中數(shù)學中的重要內(nèi)容,是學生學習的難點,傳統(tǒng)的一支粉筆、一把直尺很明顯不能滿足當代教學的要求,夢想通過幾張幻燈片蒼白地向?qū)W生展示幾個圓錐曲線圖像就能得到教學精髓也有點異想天開.數(shù)學教學源自實踐,是現(xiàn)實世界的客觀反映,充分應(yīng)用GGB動態(tài)教學軟件,基于由現(xiàn)實世界抽象出來的圓錐曲線模型拓展教學和學習思維,才能使課堂成為探究式的課堂,學生真正成為課堂的主人.

5.教學啟示

在數(shù)學教學探究過程中,僅有形的動態(tài)變化,而無對應(yīng)方程與坐標的變化是顯然不夠的,數(shù)形結(jié)合是中學數(shù)學重要的思想方法,GGB融合了代數(shù)與幾何兩大學科,做到了圖形與代數(shù)同步變化,完全可以滿足數(shù)學教學動態(tài)演示的需要.

在教師備課、教學環(huán)節(jié)中,GGB可以生成精確、優(yōu)美的教學圖形并應(yīng)用于教案與課件中,通過精心構(gòu)思可以實現(xiàn)各種動畫漸變效果(如圖3),大量節(jié)省上課時間,增加教師教學效率;在學生學習環(huán)節(jié)中,GGB廣泛的兼容性(Windows、IOS、Android系統(tǒng)均可運行)、源代碼免費開放性為軟件的便攜和后續(xù)開發(fā)提供了可能,這也為學生自主學習、提高思維敏捷度和實際問題的解決創(chuàng)造了可能.隨著GGB軟件的進一步推廣,它將為更多教師帶來更優(yōu)化的課堂,為學生帶來更優(yōu)化的學習效果.不共線,點M在直線AB上,求