廣東省仁化縣仁化中學(xué)(512300) 金海兵

一、問(wèn)題提出

在學(xué)習(xí)完必修5第一章正、余弦定理后進(jìn)行了一次單元測(cè)試,其中一題的講評(píng)引發(fā)了筆者的思考,現(xiàn)將講評(píng)過(guò)程中的師生對(duì)話摘錄如下:

由于難度不大,請(qǐng)生1回答解題思路.

師:你是如何想到用正弦定理的?

生1:此前已經(jīng)總結(jié)過(guò)條件中含兩邊及一邊的對(duì)角或兩角一邊時(shí)用正弦定理.

生2:直接使用余弦定理可快速求出:

師:你是如何想到使用余弦定理的?

生2:教輔書中有類試題型.

師:對(duì)生2的自學(xué)能力表示贊賞,我們能從此題中總結(jié)出此類問(wèn)題的解法嗎?

生3:已知兩邊及一邊的對(duì)角解三角形正、余弦定理均可使用.

此時(shí)生4提出了疑惑:此處的結(jié)論似乎讓之前已經(jīng)總結(jié)的結(jié)論變得混亂,如已知三邊或兩邊及夾角用余弦定理解,能用正弦定理嗎?

突如其來(lái)的提問(wèn)打亂了原有的教學(xué)設(shè)計(jì),一直都要求學(xué)生牢記正、余弦定理各自使用的題型,解題過(guò)程中對(duì)號(hào)入座,而對(duì)定理之間的關(guān)系及能解決的題型未做深層次的思考,課后筆者針對(duì)此問(wèn)題做了進(jìn)一步的思考.

二、問(wèn)題的思考

思考一 已知兩角一邊的情況能否用余弦定理解決?

以上解法可以推廣到一般情況.

思考二 已知兩邊及夾角的情況能否用余正弦定理解決?

以上解法可以推廣到一般情況.

思考三 已知三邊能否用正弦定理解三角形?

2、由余弦定理推導(dǎo)正弦定理:

以上解法可以推廣到一般情況.

綜上可以發(fā)現(xiàn):教學(xué)中所總結(jié)的已知兩角一邊、兩邊及一邊對(duì)角用正弦定理,已知三邊、兩邊及夾角用余弦定理,只是針對(duì)特定題型提出的最簡(jiǎn)單方法,便于學(xué)生快速解題,事實(shí)上四種題型都可以通過(guò)單獨(dú)一個(gè)定理來(lái)解決.

思考4 通過(guò)上述思考可以發(fā)現(xiàn),能用正弦定理解決的問(wèn)題同樣能用余弦定理解決,同樣的能用余弦定理解決的問(wèn)題也能用正弦定理來(lái)解決,區(qū)別在于步驟的多少及計(jì)算的繁雜程度,也就是說(shuō),正、余弦定理本質(zhì)上并沒(méi)有區(qū)別,只是表示的形式有所不同,筆者通過(guò)推導(dǎo)及查找相關(guān)資料,得到了正余弦定理的等價(jià)性證明.

同理可證:

三、點(diǎn)滴體會(huì)

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)強(qiáng)調(diào)探究,通過(guò)多方位、多角度、多途徑觀察和解決問(wèn)題,能夠激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情,能夠進(jìn)一步增強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)基本概念基本定理的理解,能夠提高學(xué)生處理問(wèn)題的能力,能夠指引我們發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、定理的內(nèi)在聯(lián)系,因此在平時(shí)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中,要善于多角度、全方位地分析與思考問(wèn)題,以達(dá)到拓寬思路、發(fā)展創(chuàng)新思維的目的.隨著廣東高考使用全國(guó)卷,對(duì)于學(xué)生的思維能力有了較高的要求,所以教學(xué)中再按照以前的一個(gè)定理三點(diǎn)注意進(jìn)行只會(huì)把知識(shí)教死,不利于學(xué)生思維的拓展,教師要以此為契機(jī)加強(qiáng)自身業(yè)務(wù)水平的鉆研,加深對(duì)定理的理解,把知識(shí)教活,學(xué)生才會(huì)變通,相信只要學(xué)生能抓住了定義、定理的本質(zhì),無(wú)論是考廣東卷還是全國(guó)卷都能取得優(yōu)異成績(jī).