王荔枝

雙曲線是圓錐曲線的一個重要幾何模型.它在日常生活、生產(chǎn)和科學(xué)技術(shù)中有著廣泛的應(yīng)用.本節(jié)課是在學(xué)生初步認(rèn)識圓錐曲線橢圓的基礎(chǔ)上，運用類比的方法研究雙曲線，使學(xué)生體會聯(lián)系、發(fā)展等辯證觀點.在雙曲線的學(xué)習(xí)中，學(xué)生要熟練掌握探究定義、推導(dǎo)方程的思想方法，為解析幾何的學(xué)習(xí)起到承上啟下、完善建構(gòu)、拓展提高的作用.

一、學(xué)情分析及教學(xué)重難點

1.學(xué)情分析.學(xué)生已經(jīng)初步認(rèn)識了解析幾何課程的特征，并且已經(jīng)初步體驗到數(shù)形結(jié)合及等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，有了研究橢圓的概念和標(biāo)準(zhǔn)方程的經(jīng)歷.這些知識都為本節(jié)課的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).在研究橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程時，學(xué)生已有動手體驗和探究興趣，有一定的數(shù)學(xué)實驗?zāi)芰σ约耙欢ǖ挠^察分析、猜想判斷及邏輯推理的能力.學(xué)生剛剛升入高二，分析問題、解決問題的能力和運算能力還有待提高，對于復(fù)雜問題的解決還需教師的啟發(fā)、引導(dǎo)、示范.

2.教學(xué)的重點和難點.重點是雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程.難點是對雙曲線定義的剖析和雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程的化簡.

二、教學(xué)目標(biāo)

1.知識與技能.通過實驗，抽象出雙曲線的定義；通過類比橢圓，推導(dǎo)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

2.過程與方法.讓學(xué)生經(jīng)歷雙曲線的形成過程，建構(gòu)模型，抽象概括定義.運用自主探索、動手實踐、合作交流的學(xué)習(xí)方式.通過類比橢圓，學(xué)習(xí)雙曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程.

3.情感態(tài)度價值觀.通過查找實例資料和動手實踐，使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)來源于實踐又作用于實踐，生活中處處有數(shù)學(xué).讓學(xué)生體驗數(shù)學(xué)概念的形成過程，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識.

三、教學(xué)過程

1.問題導(dǎo)引，進(jìn)入新課（進(jìn)入定義研究）.問題1：同學(xué)們，圓錐曲線的家族有幾個成員？（容易回答：3個.）問題2：我們認(rèn)識了幾個？都是誰？（容易回答：1個，橢圓.）問題3：我們是如何學(xué)習(xí)橢圓的？（容易回答：先學(xué)習(xí)定義，再探究方程，最后研究性質(zhì).）設(shè)計意圖：回顧橢圓定義為引出雙曲線的定義作好鋪墊.問題4：我們今天要研究第二個成員雙曲線，如何研究呢？（容易回答：類比橢圓，按照相同的順序和方法研究.）問題5：橢圓的是如何定義的呢？如何畫出來的？（容易回答：闡述定義，并敘述實踐做橢圓的過程.）問題6：我們把橢圓定義中的“和”改為“差”會如何呢？對于這個問題課前已以數(shù)學(xué)實驗的形式布置給學(xué)生（讓學(xué)生以小組形式完成），學(xué)生可以通過上網(wǎng)搜索、查閱資料等方式探究平面內(nèi)到兩個定點距離之差等于常數(shù)的點的軌跡.

2.學(xué)生實踐，感知曲線.各小組學(xué)生根據(jù)自己組的設(shè)計（自制拉鏈或筆筒教具），完成數(shù)學(xué)實驗.設(shè)計意圖：動手操作，直觀感知，提高學(xué)合作意識和合作能力，激發(fā)學(xué)生興趣.

3.動態(tài)演示，分析曲線.問題7：根據(jù)你們的作圖，誰能給出雙曲線的定義？教師借助幾何畫板展示與學(xué)生一道抽象出雙曲線定義.問題8：形成雙曲線的動點滿足什么幾何條件？絕對值問題：左右兩支上的點分別滿足的幾何條件.參數(shù)限制問題：參數(shù)2a可以是任意數(shù)嗎？

4.小組展示，實際應(yīng)用.各小組利用PPT展示雙曲線的實際應(yīng)用，如冷卻塔，埃菲爾鐵塔，北京交通規(guī)劃圖等圖片.設(shè)計意圖：（1）讓學(xué)生了解雙曲線在科研、生產(chǎn)、實際生活的作用，體現(xiàn)數(shù)學(xué)來源于生活，以數(shù)學(xué)模型為素材.（2）從具體到抽象，將實際問題抽象出數(shù)學(xué)模型，有利于認(rèn)識事物.問題9：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程又是怎樣的呢？該如何探究？

5.設(shè)計方案，獨立完成（推導(dǎo)標(biāo)準(zhǔn)方程）.問題10：根據(jù)橢圓的研究方法，我們應(yīng)該如何探究雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程？（學(xué)生類比橢圓的研究過程，說出研究方案，然后獨立完成.）問題11：橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程有幾種形式？雙曲線呢？（容易產(chǎn)生另一種形式的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)一步鞏固類比的方法.）

6.學(xué)以致用，鞏固提高.已知雙曲線的焦點為F1（-5，0），F(xiàn)2（5，0），雙曲線上一點P到F1、F2的距離差的絕對值等于6，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

四、教學(xué)反思

在本節(jié)課的教學(xué)中，重點放在定義的形成和標(biāo)準(zhǔn)方程的掌握，符合高中數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)中數(shù)學(xué)建模、邏輯推理和數(shù)學(xué)運算的要求，引導(dǎo)學(xué)生把新舊知識有機融合，掌握知識系統(tǒng)結(jié)構(gòu).運用多媒體輔助教學(xué)，既能直觀地展示點的軌跡，又能體現(xiàn)其中的數(shù)量關(guān)系，對于學(xué)習(xí)有困難的學(xué)生既起到了激發(fā)興趣的作用，又能從數(shù)與形的關(guān)系中找到解決問題的切入點.endprint