金露

【摘要】數(shù)學(xué)學(xué)科的靈魂之一是數(shù)學(xué)思想，而在所有的數(shù)學(xué)思想之中，最重要、最能夠化抽象為具體的思想便是數(shù)形結(jié)合思想。數(shù)形結(jié)合思想可以把抽象的數(shù)學(xué)語言與生動(dòng)直觀的幾何圖形相結(jié)合，能夠讓數(shù)學(xué)問題更加清晰明了。小學(xué)生還處于認(rèn)知能力發(fā)展的初級(jí)階段，數(shù)形結(jié)合有利于幫助他們簡化數(shù)學(xué)難度，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，從而提高課堂教學(xué)效率。文章在結(jié)合前人研究成果的基礎(chǔ)上，對(duì)數(shù)形結(jié)合方法的原理與作用進(jìn)行論述，在此基礎(chǔ)上收集、總結(jié)了教學(xué)實(shí)踐中學(xué)生出現(xiàn)的錯(cuò)題，并分析其內(nèi)在產(chǎn)生原因，進(jìn)而提出解決方案，以期對(duì)促進(jìn)數(shù)形結(jié)合在策略解析中的應(yīng)用提供參考。

【關(guān)鍵詞】數(shù)形結(jié)合；小學(xué)數(shù)學(xué)；錯(cuò)題；改進(jìn)策略

一、數(shù)形結(jié)合思想與方法

數(shù)學(xué)的核心研究內(nèi)容是研究數(shù)量關(guān)系與空間形式的科學(xué)，其中“數(shù)”和“形”是研究的最主要內(nèi)容且二者并不是壁壘分明而是相依相生。通過“數(shù)”和“形”的完美結(jié)合，有助于在研究和解決數(shù)學(xué)問題時(shí)充分體會(huì)到隱含的條件和聯(lián)系。在探尋數(shù)量關(guān)系上的意義的同時(shí)，可以以幾何的直觀性促進(jìn)認(rèn)知。數(shù)形結(jié)合思想的本質(zhì)是以抽象的數(shù)量關(guān)系和直觀的幾何圖形結(jié)合來看待問題，是人們研究和解決數(shù)學(xué)問題的重要方法和觀念。

數(shù)形結(jié)合思想方法在數(shù)學(xué)教學(xué)尤其是小學(xué)學(xué)習(xí)中非常普遍，它的具體應(yīng)用主要包含三個(gè)方面：“以形代數(shù)”“以數(shù)化形”“數(shù)形結(jié)合”。這三種思想都能夠在數(shù)學(xué)應(yīng)用中起到一定的作用，雖然形式和側(cè)重點(diǎn)有所不同，但它們的根本目的都是使問題變得更加簡單、易于理解或者方便操作。小學(xué)是學(xué)生能力培養(yǎng)的重要階段，在這一時(shí)期采用數(shù)形結(jié)合的學(xué)習(xí)方法，不僅能夠改善學(xué)習(xí)效果，也能夠促進(jìn)學(xué)生的思維能力的發(fā)展，為學(xué)生綜合發(fā)展打下基礎(chǔ)。

二、數(shù)形結(jié)合對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的作用

1.有助于提升概念的具體性

構(gòu)建主義認(rèn)為，更高級(jí)的學(xué)習(xí)形式不是學(xué)生對(duì)知識(shí)被動(dòng)接受或者按部就班地完成學(xué)習(xí)流程，而是將自己已經(jīng)獲取的知識(shí)運(yùn)用與自己掌握的方法系統(tǒng)地架構(gòu)起來，獨(dú)立自主地構(gòu)建知識(shí)體系的過程。但這一過程卻并不簡單，因?yàn)閷?duì)于小學(xué)生來說很多知識(shí)或者方法是抽象難懂的，對(duì)于他們而言有相當(dāng)?shù)碾y度。而“數(shù)形結(jié)合”的思想恰好能夠幫助他們解決這一問題，化抽象為具體，使相關(guān)知識(shí)點(diǎn)在他們腦海中能夠清晰地浮現(xiàn)出來，從而提高學(xué)習(xí)效率。

2.有助于正確理解算式算理的方向性

計(jì)算能力是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)當(dāng)中最基礎(chǔ)最重要的能力，是學(xué)生綜合素養(yǎng)的重要組成部分之一。而計(jì)算能力培養(yǎng)的重心在于熟悉正確的計(jì)算方法、理解正確的計(jì)算原理。因此，小學(xué)數(shù)學(xué)教師在教學(xué)中要側(cè)重于運(yùn)用有效的方法策略，傳授正確的算法算理，通過練習(xí)鞏固計(jì)算方法培養(yǎng)計(jì)算能力，在這個(gè)過程中數(shù)形結(jié)合的思想可以起到很好的導(dǎo)向作用。

3.有助于拓寬學(xué)生思維

數(shù)形結(jié)合的基本應(yīng)用就相關(guān)問題中的數(shù)學(xué)符號(hào)或者邏輯關(guān)系展現(xiàn)出來，映射到圖形上。這樣的特點(diǎn)能夠?yàn)榻處熞龑?dǎo)學(xué)生分析問題，梳理內(nèi)部數(shù)量關(guān)系起到關(guān)鍵作用的重要策略。特別是在講解重難點(diǎn)知識(shí)的時(shí)候，若能將相應(yīng)的數(shù)學(xué)符號(hào)與圖形對(duì)應(yīng)起來，形成一個(gè)映射相互轉(zhuǎn)換，則可以使得原本問題由繁化簡，由抽象化為具體，讓學(xué)生覺得自己有可能解開，從而調(diào)動(dòng)起主動(dòng)學(xué)習(xí)的積極性。

三、“求比一個(gè)數(shù)多（或少）幾分之幾的數(shù)是多少”教學(xué)錯(cuò)例分析

《求比一個(gè)數(shù)多（少）幾分之幾的數(shù)是多少》被安排在人教版六年級(jí)上冊(cè)，教學(xué)目標(biāo)包括：

1.通過學(xué)生自主學(xué)習(xí)以及合作學(xué)習(xí)，了解“求比一個(gè)數(shù)多（或少）幾分之幾的數(shù)是多少”的應(yīng)用題的結(jié)構(gòu)特征。在此基礎(chǔ)上學(xué)會(huì)利用線段圖來分析數(shù)量關(guān)系。

2.通過學(xué)生自主學(xué)習(xí)以及合作學(xué)習(xí)，掌握解答“求比一個(gè)數(shù)多（或少）幾分之幾的數(shù)是多少”的應(yīng)用題的解題思路和方法，并能夠正確列式計(jì)算。

3.學(xué)生在自主學(xué)習(xí)以及合作學(xué)習(xí)過程中，培養(yǎng)提出問題的意識(shí)，并且愿意對(duì)問題進(jìn)行討論、交流、達(dá)成共識(shí)的合作意識(shí)。培養(yǎng)學(xué)生分析問題的能力和綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題的能力。

但在實(shí)際教學(xué)中教學(xué)目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)并不簡單，學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中會(huì)出現(xiàn)各種各樣的錯(cuò)誤，現(xiàn)總結(jié)如下。

1.常見錯(cuò)誤：慣性思維

【錯(cuò)例重現(xiàn)】案例1：某社區(qū)圖書角有文學(xué)書840本，漫畫書比文藝書少7/12，則文學(xué)書比漫畫書少多少本？

【錯(cuò)誤解法】840×7/12=560

【錯(cuò)誤成因】出現(xiàn)這一類型的錯(cuò)誤，主要是由于之前的學(xué)習(xí)讓學(xué)生產(chǎn)生了“慣性思維”。題中兩個(gè)條件自然而然地讓學(xué)生想將其相乘，而將已知量看作單位1，忽視了題目中的實(shí)際條件。

【改進(jìn)策咯】對(duì)大多數(shù)學(xué)生來說，智力水平并不出眾，在小學(xué)階段更為重要的是培養(yǎng)孩子良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣而不是僅僅聚焦于結(jié)果。多年來的錯(cuò)誤導(dǎo)向使得有些孩子急于找到最后的結(jié)果，經(jīng)常急于求成或者過于自負(fù)。常見的問題有讀題不完整不仔細(xì)、遺漏重要信息、憑感覺做題等。因此教師要采取針對(duì)性的策略，加強(qiáng)對(duì)讀題仔細(xì)的要求，注重檢查、驗(yàn)算。對(duì)于一些抽象思維能力不夠強(qiáng)的學(xué)生，教師可以通過作圖來幫助他們理解。

2.常見錯(cuò)誤：關(guān)系錯(cuò)誤

【錯(cuò)誤再現(xiàn)】案例2：有兩堆水果，甲堆有36公斤，比乙堆水果的3/4多4公斤，那么乙堆水果有多少千克？

【錯(cuò)誤解法】36×3/4+4或36÷3/4+4等

【原因分析】很多學(xué)生對(duì)這題感覺很熟悉，但又有陌生之處，事實(shí)上學(xué)生之前掌握了某些題目，但對(duì)于解法與真正的數(shù)學(xué)關(guān)系并沒有清楚的認(rèn)知，因此面對(duì)變體題目的時(shí)候，很難把握差異，而只是生搬硬套導(dǎo)致錯(cuò)誤。

【改進(jìn)策略】要解決數(shù)學(xué)關(guān)系梳理不清的問題，就必須培養(yǎng)學(xué)生洞察數(shù)學(xué)對(duì)象的能力，加強(qiáng)練習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)真分析、深刻理解題意的習(xí)慣。不同類型的本質(zhì)區(qū)別是包含了不同的數(shù)學(xué)關(guān)系，教師要選取典型例題進(jìn)行對(duì)比講解，然后找出什么情況下用什么解法合理。對(duì)于一些比較復(fù)雜的題目，若利用數(shù)形結(jié)合可以讓難題迎刃而解。

3.常見錯(cuò)誤：缺乏思路

【錯(cuò)誤再現(xiàn)】案例3：菜園里有三種菜地，其中茄子地和辣椒地的面積之比是1：4，白菜地占總菜地的2/7，目辣椒地的面積有92平方米，則菜地總共有多大面積？

【錯(cuò)誤解法】92÷（1-1/5-2/7）

【原因分析】很多學(xué)生面對(duì)這道題的時(shí)候表示不會(huì)做或者沒有思路，他們說，不知怎么入手，不清楚辣椒的份數(shù)也不清楚茄子地的面積。但通過細(xì)致分析，可以捋清楚每一種蔬菜的份數(shù)，然后統(tǒng)一進(jìn)行計(jì)算，問題便能輕松解決。

【改進(jìn)策略】創(chuàng)新的前提是理解，而理解的前提在于對(duì)知識(shí)充分掌握。培養(yǎng)學(xué)生思維能力不是能夠一蹴而就的，教師首先要在日常學(xué)習(xí)中讓學(xué)生把知識(shí)學(xué)得“深”一點(diǎn)，在深的基礎(chǔ)上學(xué)得“活”一點(diǎn)。只有在教學(xué)中運(yùn)用多種方式，讓學(xué)生對(duì)知識(shí)有更深刻的理解，將所有的知識(shí)點(diǎn)、方法在頭腦中串聯(lián)起來，形成完整的知識(shí)體系，這樣才能在做題的時(shí)候及時(shí)發(fā)現(xiàn)思路，高效完成任務(wù)。如果實(shí)在做不出來，則可以讓學(xué)生不管會(huì)不會(huì)做，先把圖形畫出來，慢慢在圖形當(dāng)中找到思路。

綜上所述，對(duì)于數(shù)學(xué)解題中存在的多種問題，數(shù)形結(jié)合思想都能夠有效改善學(xué)習(xí)效率，提高解題效果。

四、“求比一個(gè)數(shù)多（或少）幾分之幾的數(shù)是多少”中數(shù)形結(jié)合的運(yùn)用

在實(shí)際教學(xué)中，實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)的第一個(gè)要求并不難，但是到了第二步就開始不太順利，對(duì)應(yīng)分?jǐn)?shù)內(nèi)容，學(xué)生本身就沒有非常清晰明確的認(rèn)識(shí)，因而列出算式、理解算式的意義、梳理清楚數(shù)量關(guān)系對(duì)他們也就顯得不太容易。其中很重要的一個(gè)原因在于由整數(shù)向分?jǐn)?shù)具有較大的跨度，整數(shù)相加減很容易在現(xiàn)實(shí)生活中找到相應(yīng)的參照物，但是對(duì)于分?jǐn)?shù)就不那么容易。因此，本課的教學(xué)重點(diǎn)就在于幫助學(xué)生搭建直觀操作與抽象知識(shí)之間的連接，實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)的一大利器就是數(shù)形結(jié)合：

1.教學(xué)實(shí)踐1：線段圖解題

【題目引入】教輔資料中有一道例題如下：張曉華的身高是110cm，比爸爸的身高低3/8，那么張曉華的爸爸身高多少？

閱讀題目可以產(chǎn)生以下幾個(gè)問題：

①從題目中你獲取了哪些已知條件？

②怎樣理解“張曉華的身高比爸爸的身高低3/8”？

③這道題如何畫出線段圖，怎樣列出各量之間的比例關(guān)系，最終如何列式解答？

【深度分析】此題是建立在“已知比一個(gè)數(shù)多（少）幾分之幾是多少求這個(gè)數(shù)”這一知識(shí)點(diǎn)的分?jǐn)?shù)應(yīng)用題。這一題中最難的部分是分析數(shù)量關(guān)系并怎么樣利用等量關(guān)系式來解題。通過教學(xué)實(shí)踐看來，最常見的錯(cuò)誤是“爸爸身高×3/8=張曉華的身高”。這種錯(cuò)誤也體現(xiàn)了對(duì)于建立等量關(guān)系這一分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)中的重難點(diǎn)，學(xué)生掌握得還不是很好。

在教學(xué)交流活動(dòng)中，我發(fā)現(xiàn)許多老師的教學(xué)重心放在“已知量÷已知量的對(duì)應(yīng)份額=單位“1”這一等式上。在教學(xué)中也是對(duì)其反復(fù)講解，使得學(xué)生對(duì)這一概念的理解和記憶根深蒂固，一旦面對(duì)分?jǐn)?shù)問題，首先想到的就是這個(gè)等式，對(duì)于這樣的情況，教師不能急于求成，而是運(yùn)用系統(tǒng)的方法，讓學(xué)生清晰地梳理各種關(guān)系，使題目迎刃而解。

【教學(xué)設(shè)計(jì)】對(duì)于分?jǐn)?shù)問題，線段圖解題是一種很好的數(shù)形結(jié)合方法方法，用長線條代表爸爸的身高，用一條平行的短線段代表張曉華的身高，通過這樣的辦法，可以借助更加形象的思維，幫助學(xué)生理解，進(jìn)一步實(shí)現(xiàn)舉一反三，較好地完成教學(xué)任務(wù)。

具體設(shè)計(jì)流程如下：

①師生共同探究，自己畫出線段圖表示爸爸的身高和張曉華的身高，并標(biāo)記每一部分代表的含義。

②畫出兩條線段的差額，并讓學(xué)生解釋這一段的含義。

⑧提問：這里是怎么得出兩人身高差額的？

④進(jìn)一步提問：怎樣求出爸爸的身高？

在完成上述步驟的基礎(chǔ)自上，引導(dǎo)學(xué)生梳理清楚等量關(guān)系：爸爸的身高一張曉華比爸爸低的身高=張曉華身高。教師繼續(xù)提問題：你們能不能把所畫的線段圖和等量關(guān)系連接起來？根據(jù)數(shù)形結(jié)合確立等量關(guān)系式，相比之下更加直觀且易于理解。實(shí)踐證明，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法，可以讓學(xué)生很好地掌握知識(shí)點(diǎn)，也不容易在類似問題上犯錯(cuò)。

2.教學(xué)實(shí)踐2：創(chuàng)設(shè)生活情境，運(yùn)用圖表教學(xué)

【題目引入】布置一道這樣的題目：隨著科技的發(fā)展，我國火車運(yùn)用經(jīng)歷了六次提速。從20世紀(jì)90年代的120km/h的運(yùn)行時(shí)速提高到了如今的300km/h并有望在之后提高到350km/h，那么在這些年里，動(dòng)車車速總共提高了幾分之幾？

【深度分析】此題考察的重點(diǎn)在于區(qū)分每一次速度增加時(shí)候的基數(shù)。學(xué)生在課堂教學(xué)和課后作業(yè)面對(duì)類似的題目是所常犯的問題也就是對(duì)于增長基數(shù)區(qū)分不清楚。如在有120增加到140的時(shí)候，實(shí)際增加了（140-120）÷120=1/6，但在計(jì)算由140增加到160的時(shí)候，會(huì)算成（160-140）÷120=1/6；或是在計(jì)算總增加量的時(shí)候算成（300-120）/200=8/90。

【教學(xué)設(shè)計(jì)】對(duì)于這一類多次增加的問題，可以設(shè)計(jì)柱狀圖讓學(xué)生進(jìn)行理解。

②根據(jù)上表，計(jì)算出每一次增加的增量分別為20、40、50、50，將其列在上表之后：

③在此基礎(chǔ)上再增加一列作為基數(shù)：

通過這樣的程序，便可以讓學(xué)生很清晰地理清楚每一次增加之間的數(shù)量關(guān)系。除了用表，也可以運(yùn)用統(tǒng)計(jì)圖來讓學(xué)生有更直觀的印象：

五、結(jié)束語

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，數(shù)學(xué)符號(hào)和幾何圖形之間的緊密聯(lián)系不僅僅可以使抽象和直觀的融合得以實(shí)現(xiàn)，通過運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的教學(xué)模式，對(duì)于鍛煉小學(xué)生將直觀圖形轉(zhuǎn)化為數(shù)字的能力和將數(shù)字轉(zhuǎn)化為易懂的圖形能力的提高有很大幫助。另一方面，這種生動(dòng)活潑的教學(xué)形式也可以有效提升教學(xué)效果，讓學(xué)生產(chǎn)生主動(dòng)學(xué)習(xí)的欲望，對(duì)數(shù)學(xué)不再畏懼，積極探索，善于發(fā)現(xiàn)生活中的問題并利用數(shù)學(xué)知識(shí)加以解決，這對(duì)于小學(xué)生長遠(yuǎn)發(fā)展和綜合發(fā)展起著至關(guān)重要的作用。