張艷

《普通高中數(shù)學課程標準》提出了數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、數(shù)學運算、直觀想象與數(shù)據(jù)分析六大數(shù)學核心素養(yǎng).問題情境指的是教師有目的、有意識地創(chuàng)設各種情境，促使學生去質(zhì)疑問題，并使之引起最強烈的思考動機和最佳的思維定向的這樣一種情境.本文以一節(jié)高三復習課為例談談如何在數(shù)學核心素養(yǎng)的指引下創(chuàng)設有效的問題情境.

一、課堂實錄

設橢圓C： x2 a2 +y2=1（a>1）.（Ⅰ）求直線y=kx+1被橢圓截得的線段長（用a，k表示）;（略）（Ⅱ）若任意以點 A（0 ，1）為圓心的圓與橢圓至多有三個公共點，求橢圓的離心率的取值范圍.

問題情境一：

教師：先請大家思考第二問中的關(guān)鍵詞是什么？

學生：三個公共點.

教師：那么你覺得什么情況下會出現(xiàn)三個公共點呢？

學生：其中有一個公共點是切點的時候.

教師：你能畫出這種特殊情形嗎？

投影儀上用幾何畫板展示這種臨界情況.

教師：當出現(xiàn)這種情形時，如何求a呢？

學生：這個時候圓的半徑為2，聯(lián)立圓方程與橢圓方程? x2 a2 +y2=1，x2+（y-1）2=4， ?消x得，（a2-1）y2+2y-a2+3=0，Δ=0，得a= 2 .

教師：我們已經(jīng)解決了有三個公共點的問題.那么除了“三個”，你還關(guān)注到了哪個關(guān)鍵詞呢？

學生：至多.

教師：至多三個公共點時橢圓應該越圓還是越扁？

學生：越圓.

教師：那么a的取值范圍能求了嗎？離心率能求了嗎？

學生：1<a≤ 2 .e=? a2-1? a = 1- 1 a2? ∈ 0，? 2? 2? .

問題情境二：

教師：讓我們重新審視這道題.我們知道圓與橢圓都具有優(yōu)美的對稱性，所以當有3個公共點時，其中一個公共點肯定是什么？

學生：（0，-1）.

教師：另兩個公共點之間有什么聯(lián)系嗎？

學生：關(guān)于y軸對稱.

教師：也就是這兩個公共點到點A的距離相等.

學生：任意以點A（0，1）為圓心的圓與橢圓至多有三個公共點是不是說至多出現(xiàn)三個點與點A的距離相等？

教師：是的，也就是我們可以考慮橢圓上的點與點A的距離的平方：

d2=x2+（y-1）2=a2（1-y2）+（y-1）2=（1- a2）y2- 2y+a2+1，y∈[-1，1].

問題情境三：

問題1：求橢圓C上的點與點A（0，1）的距離的取值范圍（用a表示）.

問題2：以點A（0，1）為圓心，r為半徑的圓與橢圓C無公共點時，求r的取值范圍.

問題3：直線f（y）=4與f（y）=（1-a2）y2-2y+a2+1，y∈[-1，1]的圖像有幾個公共點？

問題4：以A為圓心，2為半徑的圓與橢圓有幾個公共點？

問題情境四：

教師：以點A（0，1）為圓心的圓，當半徑不斷增大時，圓與橢圓的公共點個數(shù)會有哪些情形呢？

學生：當1<a≤ 2 時，以點A（0，1）為圓心的圓，當半徑不斷增大時，圓與橢圓的公共點個數(shù)依次為2個，1個，0個.當a> 2 時，圓與橢圓的公共點個數(shù)依次為2個，3個，4個，2個，0個.

教師：至多三個公共點時，a的取值范圍應該是什么呢？

學生：1<a≤ 2 ，e=? a2-1? a = 1- 1 a2? ∈ 0，? 2? 2? .

問題情境五：

學生：當1<a≤ 2 時，圓與橢圓的公共點個數(shù)依次為2個，1個，0個，當a> 2 時，圓與橢圓的公共點個數(shù)依次為2個，3個，4個，2個，0個.當有3個公共點時，則一定會有4個公共點，題中問“至多3個”和問“至多2個”是不是相同的？

教師：是的.

學生：那為什么要問“至多3個”呢？

另一學生：可能是在提示我們臨界情況.

問題情境六：

教師：第二問會不會與第一問有聯(lián)系呢？我們能不能嘗試從第一問出發(fā)來解決第二問呢？

學生：我們想想.

教師：通過前面的分析，我們知道3個公共點時應該有一個公共點是（0，-1），同時橢圓的左右兩側(cè)各存在一個點P，Q，使得|AP|=|AQ|=2.

學生：|AP|，|AQ|是第一問中的線段長，真的有聯(lián)系.

二、課后反思

教育家陶行知先生曾說： “發(fā)明千千萬，起點是一問，智者問得巧，愚者問得笨.”說明有效的問題情境對于激發(fā)學生的學習興趣，提高學習熱情，活躍課堂氛圍，提高數(shù)學的思維品質(zhì)，進而形成完善的人格具有積極的推動作用.核心素養(yǎng)指引下的問題情境的創(chuàng)設可以從以下幾點進行：

1.注重問題情境的自然性：關(guān)注知識、思維的發(fā)生和形成過程，建構(gòu)主義學說認為知識是不能傳遞，傳遞的只是信息，學生的學習過程是一個采集信息、處理信息、建構(gòu)自己知識體系的過程.先在學生思維的最近發(fā)展區(qū)設置問題情境：公共點和三個.讓每一名學生在課堂上都有思考的空間和任務，感受到“我”的想法是可以繼續(xù)深入下去的，通過直觀想象，問題的初步解決，學生真正展示了課堂主人的角色：敢思考、會思考、能解決問題.從思維的原始過程出發(fā)，設置尊重思維發(fā)展特征的問題情境，注重問題情境創(chuàng)設的自然性.

2.注重問題情境的過渡性：從圓錐曲線的對稱性出發(fā)，將公共點個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)角度求距離問題，學生感受到圓錐曲線的對稱性不僅具有美觀性還具有實用性，合理地轉(zhuǎn)換問題，注重數(shù)學知識和數(shù)學思想方法間的聯(lián)系和轉(zhuǎn)換，感受到合理的轉(zhuǎn)換有助于我們思維的延伸和開闊，為后續(xù)解決問題起到過渡的作用，體現(xiàn)問題情境的過渡性.

3.注重問題情境的流暢性：有了問題情境二的過渡，問題情境三沿著思維的發(fā)展過程，設計問題串的形式，環(huán)環(huán)相扣，自然流暢，問題1函數(shù)角度借助圖像解決范圍問題，問題2特殊情形，明確圓與橢圓有可能出現(xiàn)無公共點，問題3從函數(shù)圖像的交點個數(shù)的角度出發(fā)可以幫助我們解決問題，同時出現(xiàn)了3個公共點和1個公共點的特殊情形，為問題的解決指明了方向，問題4中，函數(shù)圖像的交點個數(shù)問題回歸我們所要解決的圓與橢圓的公共點的個數(shù)問題，在這一串問題的解決過程中，促進學生形成條理清晰、合乎邏輯，層次分明的思維品質(zhì)，體現(xiàn)設置問題情境的流暢性.

4.注重問題情境的拓展性：通過問題情境四，學生能夠從函數(shù)圖像的角度解決公共點的個數(shù)問題，因此，順著思維的發(fā)展方向，在學生跳一跳能夠得著的地方設置問題情境四，既能感受到思維的碰撞，又能感受到學生問題解決后的自信和滿足.既解決了這一問題，同時又對動態(tài)變化過程中的公共點的個數(shù)問題了然于胸，體現(xiàn)了設置問題情境的前瞻性和拓展性.

5.注重問題情境的深刻性：愛因斯坦曾說“提出一個問題比解決一個問題更重要.”有了問題四的鋪墊，學生很自然會有問題五的疑惑，問題情境五，學生自己提問，在相互討論中理解了出題者的意圖，也學會了多方面看待問題，體現(xiàn)了設置問題情境的深刻性.

6.注重問題情境的關(guān)聯(lián)性：數(shù)學知識間的相關(guān)性，前后問題的相關(guān)性，數(shù)學與現(xiàn)實生活的相關(guān)性，問題情境六讓學生學會從聯(lián)系和發(fā)展的角度看待問題、解決問題、拓展思路.

三、結(jié)束語

本文以一堂高三復習課為例，簡要闡述在數(shù)學核心素養(yǎng)的指引下創(chuàng)設問題情境的六個關(guān)注點：自然性、過渡性、流暢性、拓展性、深刻性、關(guān)聯(lián).真正把“從數(shù)學知識的傳授走向數(shù)學核心素養(yǎng)的生成”作為一個新思路，把培育數(shù)學六大核心素養(yǎng)作為新目標，學生必將能從數(shù)學的角度認識問題，以數(shù)學的態(tài)度思考問題，用數(shù)學的方法解決問題，進而能在真實情境中應用數(shù)學知識與技能理性地處理問題，并終身受益.