浙江省杭州市蕭山區(qū)金山初級中學 沈亞芳

近幾年，杭州市的中考數(shù)學試題立足于數(shù)學基礎，內涵豐富，既全面考查了學生的基本知識和解題基本技能，而且更加重視對學生的數(shù)學思想和數(shù)學基本圖形的考查。重視學生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題的能力，重視學生探究學習過程，促進學生進一步感悟問題的實質和數(shù)學思想方法。如2013年杭州市中考數(shù)學第二十三題以正方形為基本圖形與圖形的對稱為外顯形式，以動點為載體，試題立足于常規(guī)，為每一位教師的教學理念和教學目標指明了方向。本文站在八年級學生的視角以該題為例運用了旋轉思想解題，解決了看似只有九年級學生才能挑戰(zhàn)的中考壓軸題。并對原題結論進行開發(fā)，凸顯數(shù)學在再創(chuàng)造條件下的魅力。

一、原題再現(xiàn)，認識經(jīng)典

題1：如圖，已知正方形ABCD的邊長為4，對稱中心為點P，點F為BC邊上一個動點，點E在AB邊上，且滿足條件∠EPF=45°，圖中兩塊陰影部分圖形關于直線AC成軸對稱，設它們的面積和為S1。

（1）求證：∠APE=∠CFP；

（2）設四邊形CMPF的面積為

①求y關于x的函數(shù)解析式和自變量x的取值范圍，并求出y的最大值；

②當圖中兩塊陰影部分圖形關于點P成中心對稱時，求y的值。

【評析】本題是代數(shù)與幾何綜合題，考查了正方形的性質、幾何變換（軸對稱與中心對稱）、相似三角形、二次函數(shù)解析式與最值、圖形面積的計算等知識點，涉及的考點比較多且有一定的難度。本題的重點與難點在于求出y與x的解析式，最終的難點落在用x表示線段AE或BE的長上，同時用配方法求函數(shù)的最值問題也不是對一個常規(guī)的整式配方，而是對一個分式進行配方。因此，涉及整體換元的思想也是一個難點，設置第（1）小題證明∠APE=∠CFP的目的，是能為第（2）小題找到相似三角形去解決問題做了預設臺階，有了這個橋梁，九年級的學生能較容易地想到用相似比去表示出線段AE的長度，進而聯(lián)系到面積之間的關系，這是九年級學生的常規(guī)解法，是出題者對學生的知識本身和邏輯思維能力的考察的意圖。

二、挖掘基本圖形，挑戰(zhàn)經(jīng)典

對于八年級學生而言本題的第一小題挖掘的基本圖形是幾何里常用的三角相等基本模型?？砂凑找韵滤季S導圖具體展示：

而本題的第二小題讓八年級學生感到困難的應該是如何用好45°角，如何求一個不規(guī)則四邊形的面積，求面積時如何表示出未知線段長度等，為幫助學生突破難點，筆者并不急于讓學生解決原題，而是設計了一組問題串引導學生剖析背景圖形和45°角進行探究，回溯以往的活動經(jīng)驗：

（1）正方形具備的性質是什么？通過作輔助線，可產(chǎn)生哪些45°角？

（2）E、F為線段AB，BC上的動點，則E和F的臨界位置在哪？

（3）軸對稱變換使得求陰影部分S1只需求什么？而對于不規(guī)則四邊形求面積可用什么辦法解決？

（4）無論是哪種辦法，此題最重要的是求出哪些線段的長才可以表示出圖形的面積？

這樣一步一步地追問和探討已使問題簡單明朗化，并在引導的過程中逐步添加出正方形中常用的輔助線，師生共同努力運用“旋轉變換思想”獲得了以下解法：巧用等腰RtΔPBC，拆分 45°角的基本模型。

題1（2）解：過點P作PH⊥BC于點C，連接BP，由正方形ABCD可知，∠APB=90°，∠BPG=45°=∠EPF，

即∠1+∠BPF=∠2+∠BPF， ∴∠1=∠2，

把△PEB繞點P順時針旋轉90°得到△PE'C，

則△PEB≌ △PE'C，∴BE=CE'，∠2=∠5， ∴∠1=∠5，

∴∠1+∠6=∠5+∠6=∠CPG=45°，連接EF，易證△PEF≌△PE'F，則E'F=EF，

由FC=x，得出BF=4-x，∴E'F=BC-BF-CE'=4-（4-x）-BE=x-BE=EF，

在Rt△BEF中，由勾股定理可得，BE2+BF2=EF2，

【評析】這種解法違背了出題者的意圖：利用正方形和等腰直角三角形完美的基本圖形的本質特征，僅抓住隱含著的 45°和 90°角與題目所給的定角∠EPF=45°之間的關系，用旋轉思想巧妙轉化了線段與角之間的位置關系，又用方程思想將線段與線段之間的數(shù)量關系聯(lián)系起來，使代數(shù)思想為幾何所用。尤其是這種方法只涉及七、八年級的教材的知識，因此對其解法很有研究的價值。當學生們?yōu)樽约豪冒四昙壍闹R就能解決中考壓軸的最后一題時，對數(shù)學的興趣和由此產(chǎn)生的成就感就不言而喻，從而激活他們的經(jīng)驗，提升他們的解題能力，有自信面對壓軸題。

在剛剛考完的八年級期中考試中，最后壓軸題中也有類似的基本圖形。

題2：如圖，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，D是AB上一動點，連接CD，點M是CD的中點，連接BM并延長交AC于點F，過D作DE⊥AC，垂足為E。

（1）當∠ACD∶∠BCD=2∶1 時，求證：①EM=BM；②EM⊥BF；③AE2+

（2）當點D在AB上移動時，（1）中的三個結論是否仍成立？（填“成立”與“不成立”即可）

①EM=BM_____；

②EM⊥BF______；

③AE2+CF2=EF2_____ 。

這里的第（2）小題③運用了和上題類似的運用旋轉思想的等腰直角三角形基本模型。

由旋轉得△BF’A≌△BFC，則∠BAF’=∠BCF=45°=∠BAC，F(xiàn)C=AF’，BF’=BF，∴∠EAF’=90°，由（1）的①②可知△BEM是等腰直角三角形，∴∠EBF=45°，從而∠EBF’=45°，再證△BF’E≌ △BFE（SAS）， 推 得EF’=EF， 在 Rt△AEF’ 中，AE2+AF’2=EF’2，∴AE2+CF2=EF2，得證。

三、轉化為基本圖形，提升能力

題3：如圖，長方形ABCD中，AD=10，AB=4，點Q是BC的中點，點P在AD邊上運動，當△BPQ是等腰三角形時，AP的長為 。

每次碰到這個題目我都發(fā)現(xiàn)學生容易漏解，后來通過了解，發(fā)現(xiàn)學生都是憑直覺看看想想的，沒有通過作圖導致漏解。其實該題只要把它轉化為基本作圖：

如圖，已知直線l和A、B兩點，在l上找一點P，使△ABP為等腰三角形的作法：分別以A、B為圓心，AB長為半徑作圓，再過兩圓交點作AB的中垂線，圓、中垂線和l的交點就是所求的P點。

而與上題類似的就是已知兩點B，Q，在線段AD上找一點P，使△PBQ為等腰三角形的做法，學生只要有上面作圖的想法就能把全部情況都找出來。

剛考過的期中卷上16題其實本質也是考等腰三角形的做法。只要想到兩圓一線的做法，此題當然就不在話下了，只是重復作了3次而已：1.已知A，B在其余兩邊BC，AC上，找點P，使△ABP成為等腰三角形（可找到4個點）；2.已知B，C在其余兩邊AB，AC上，找點P，使△BCP成為等腰三角形（可找到2個點）；3.已知A，C在其余兩邊AB，BC上，找點P，使△ACP成為等腰三角形（可找到1個點），找完后把這些等腰三角形畫出來后，7條線躍然紙上。

題目：如圖，△ABC的邊長分別為3，4，6，在△ABC所在平面內畫一條直線，將△ABC分割成兩個三角形，使其中的一個是等腰三角形，則這樣的直線最多可畫____條。

四、探索新結論，培養(yǎng)更高素養(yǎng)

在解答完一個題目后教師可引導學生進行二次探索，能不能從已知中還可以得出新的結論，引發(fā)學生探究的欲望，久而久之，可以開拓學生思路，從而提高學生的數(shù)學思維品質和素養(yǎng)。

題1結論1：在點F的運動過程中，設△BEF的周長為C，則C的值是否變化?請證明你的結論。

分析：利用題1“旋轉變換思想”得出的結論，

得C△BEF=BE+BF+EF=CE’+BF+E’F=4為定值，結論得證。

結論2：求證ΔPEF的面積等于EF的長。

分析：由圖可知，ΔPE'F≌ΔPEF，則E'F=FE，則EF上的高，

即EF'上的高PH=2，即

五、反思結語

單純地掌握幾種方法和幾個基本圖形并不是我們學習數(shù)學的最終目的，更重要的是讓學生對不同方法和不同的基本圖形有所感悟和反思，從而對所學的知識做到融會貫通，深入淺出。原題的本意是第一小題證明角度相等為第二小題證明相似三角形鋪路，從而利用對應邊關系去尋求未知線段的表達式，事實上，此題的得分率并不高，學生在碰到新問題情境時仍然手足無措。所以教師在解題教學中需要立足數(shù)學的基礎知識，讓學生積淀數(shù)學活動經(jīng)驗，理解數(shù)學思想，抓住通法通性解題；對八年級學生而言，在學幾何初期教師就要指導學生腳踏實地學好基本圖形。對教師而言，可引導教師的教學回歸原點，進一步對習題資源進行二次開發(fā)，引導學生把題目做出來后再深入反思。

學生在教師指導下的再創(chuàng)造學習，就是在回溯的前提下不斷生成的過程，在題海中梳理表象，理清思維，凸顯本質。相信長此以往，學生的數(shù)學核心素養(yǎng)就會像大樹一樣沐浴陽光，提升有度。