任子朝 趙 軒

（教育部考試中心，北京 100084）

函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)和重點(diǎn)內(nèi)容，有一種說(shuō)法是“初中以方程為主線，高中以函數(shù)為主線”，足見(jiàn)函數(shù)在高中數(shù)學(xué)中的地位?，F(xiàn)行中學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中，函數(shù)是分散在必修課程和選修課程中分別教授的，其中必修課程教授函數(shù)概念、基本初等函數(shù)、三角函數(shù)（本文不討論三角函數(shù)），選修課程教授導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用[1]。高考數(shù)學(xué)對(duì)函數(shù)的考查，在注重基礎(chǔ)性、體現(xiàn)綜合性的同時(shí)，突出選拔性和創(chuàng)新性。

1 函數(shù)內(nèi)容的考查特點(diǎn)

1.1 注重基礎(chǔ)性

函數(shù)是高考數(shù)學(xué)的考查重點(diǎn)，對(duì)函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)的理解和函數(shù)數(shù)學(xué)方法的掌握，對(duì)于發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)揮著基礎(chǔ)性的關(guān)鍵作用，因此歷年高考數(shù)學(xué)試題全面覆蓋函數(shù)的概念、函數(shù)的圖像和性質(zhì)、冪指對(duì)函數(shù)、函數(shù)的模型及其應(yīng)用、函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用等各項(xiàng)內(nèi)容。通過(guò)對(duì)函數(shù)核心概念、基本原理和基本方法的考查，增強(qiáng)考查內(nèi)容的基礎(chǔ)性；同時(shí)通過(guò)對(duì)函數(shù)內(nèi)容全面系統(tǒng)的考查，強(qiáng)化學(xué)科共同基礎(chǔ)，使學(xué)生牢固掌握解決問(wèn)題的基本方法和工具，為學(xué)科核心素養(yǎng)的提升創(chuàng)造條件、打牢基礎(chǔ)。

1.2 體現(xiàn)綜合性

函數(shù)涉及的內(nèi)容多，高考由于試卷容量的限制，不可能設(shè)計(jì)很多的試題，所以通常是通過(guò)綜合設(shè)計(jì)試題，將函數(shù)的多個(gè)內(nèi)容銜接和聯(lián)系起來(lái)考查，如將函數(shù)的圖像和性質(zhì)相結(jié)合考查，將冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)作為函數(shù)模型考查函數(shù)性質(zhì)，將導(dǎo)數(shù)和切線結(jié)合，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值等。函數(shù)的綜合性試題注重強(qiáng)化知識(shí)體系的內(nèi)在聯(lián)系，強(qiáng)調(diào)各分支內(nèi)容的相互交叉與滲透，要求學(xué)生能夠綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)、原理、方法分析問(wèn)題和解決問(wèn)題，從而引導(dǎo)學(xué)生注重認(rèn)識(shí)事物整體的結(jié)構(gòu)、功能和作用，分析理解事物變化發(fā)展的全過(guò)程，鼓勵(lì)學(xué)生從整體上分析各種現(xiàn)象的本質(zhì)和規(guī)律，促進(jìn)學(xué)生形成更加全面、完整的知識(shí)結(jié)構(gòu)。

1.3 突出創(chuàng)新性和選拔性

函數(shù)是高中階段極為重要的數(shù)學(xué)知識(shí)，函數(shù)的方法和思想在解決其他分支問(wèn)題時(shí)發(fā)揮著重要作用，是大學(xué)數(shù)學(xué)及其他相關(guān)學(xué)科的基石，是初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)聯(lián)系的橋梁和紐帶。高考數(shù)學(xué)充分利用函數(shù)內(nèi)容的特點(diǎn)，加強(qiáng)對(duì)考生創(chuàng)新能力的考查，以達(dá)到區(qū)分和選拔的目的，主要途徑有：增強(qiáng)試題的開(kāi)放性和探究性，鼓勵(lì)學(xué)生打破常規(guī)、創(chuàng)造性地解決問(wèn)題；通過(guò)創(chuàng)設(shè)新穎的試題情境，考查學(xué)生的閱讀理解能力，體現(xiàn)思維的靈活性；提出有一定跨度和挑戰(zhàn)性的問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深入思考和探究，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理素養(yǎng)。

2 函數(shù)內(nèi)容考查實(shí)踐

2.1 數(shù)形結(jié)合考查函數(shù)性質(zhì)

例1（2018年高考數(shù)學(xué)全國(guó)Ⅱ卷理科第3題）

例1考查的知識(shí)內(nèi)容是函數(shù)的圖像與性質(zhì)，考查的核心素養(yǎng)目標(biāo)是邏輯推理、直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)。該題以指數(shù)函數(shù)y=ex-e-x（奇函數(shù)）和冪函數(shù)y=x2（偶函數(shù)）為基礎(chǔ)，設(shè)計(jì)構(gòu)造了一個(gè)新的函數(shù)f(x)=。通過(guò)這種復(fù)合的方式，綜合考查了函數(shù)的圖像和性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)，同時(shí)考查由函數(shù)性質(zhì)分析函數(shù)圖像的能力。

在解決這類(lèi)函數(shù)圖像判定問(wèn)題時(shí)，因?yàn)楹瘮?shù)的圖像不容易得到，所以可以通過(guò)函數(shù)的奇偶性、周期性的特點(diǎn)和在特殊點(diǎn)處的取值判定函數(shù)圖像的一些特征，相互對(duì)比、校驗(yàn)得出結(jié)論。根據(jù)函數(shù)表達(dá)式進(jìn)行推斷：因?yàn)閒(x)=-f(-x)，所以這是一個(gè)奇函數(shù)，故選項(xiàng)A不是正確選項(xiàng)；再通過(guò)f(2)=＞1，故選項(xiàng)C和D不是正確選項(xiàng)。此題也可以通過(guò)分析函數(shù)的變化趨勢(shì)進(jìn)行判斷：函數(shù)在趨于負(fù)無(wú)窮時(shí)取值趨于負(fù)無(wú)窮,或計(jì)算f(-3)=＜-2。選項(xiàng)B為該題正確答案。

例1以圖像的形式考查指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的基本概念與性質(zhì)，形式新穎，對(duì)考生的邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象素養(yǎng)以及靈活分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力都進(jìn)行了考查，體現(xiàn)了2017年版新課標(biāo)的基本理念。

2.2 抽象綜合考查思維層次

例2（2018年高考數(shù)學(xué)全國(guó)Ⅱ卷理科第11題）

已知f(x)是定義域?yàn)?-∞,+∞)的奇函數(shù)，滿(mǎn)足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2，則f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=

A.-50 B.0 C.2 D.50

例2考查的知識(shí)內(nèi)容是函數(shù)的奇偶性、周期性、函數(shù)的圖像與性質(zhì)，考查的核心素養(yǎng)目標(biāo)是邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)，以及觀察、歸納、合情推理的數(shù)學(xué)思想及方法。該題也是以函數(shù)的性質(zhì)命題，但與例1不同的是：一是更強(qiáng)調(diào)函數(shù)的周期性、對(duì)稱(chēng)性的特點(diǎn)；二是沒(méi)有給出具體的函數(shù)的表達(dá)式；三是要求得出具體的數(shù)值結(jié)果。因此，例2的考查要求比例1更高，難度更大，要求考生能正確地理解概念，計(jì)算出抽象函數(shù)的部分函數(shù)值，歸納得出一般規(guī)律，從而給出解答，得出結(jié)論。

解答例2可以先由題設(shè)的奇函數(shù)條件和f(1-x)=f(1+x)，推導(dǎo)出f(x)是周期為4的周期函數(shù)，然后再由已知f(1)=2，計(jì)算f(2)=f(0)=0，f(3)=f(-1)=-f(1)=-2，f(4)=f(-2)=-f(2)=0，最后得出f(1)+f(2)+f(3)+…+f(49)+f(50)=(2+0-2+0)×12+2+0=2。此題也可以利用函數(shù)圖像對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)進(jìn)行解答，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)滿(mǎn)足f(1-x)=f(1+x)，可知f(x)的圖像關(guān)于直線x=1對(duì)稱(chēng)；又f(x)為奇函數(shù)，所以有f(0)=0；已知f(1)=2，計(jì)算f(2)=f(0)=0，f(3)=f(-1)=-f(1)=-2，同理計(jì)算f(4)，f(5)，…，f(50)，即可得出結(jié)論。

例2以抽象函數(shù)為問(wèn)題背景，考查了函數(shù)的全部重要性質(zhì)，體現(xiàn)了綜合性的要求。試題對(duì)數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)提出了較高要求，有效地區(qū)分了考生。

2.3 分析推理考查探究創(chuàng)新

例3（2018年高考數(shù)學(xué)全國(guó)Ⅱ卷理科第21題）

已知函數(shù)f(x)=ex-ax2.

（1）若a=1，證明：當(dāng)x≥ 0時(shí)，f(x)≥ 1；

（2）若f(x)在(0,+∞)只有一個(gè)零點(diǎn)，求a.

例3考查的知識(shí)內(nèi)容是導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則、函數(shù)零點(diǎn)的概念、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法，綜合考查數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)，以及分類(lèi)與整合的數(shù)學(xué)思想。該題體現(xiàn)了高考對(duì)函數(shù)內(nèi)容的最高要求，是全卷難度最高的試題，彰顯了高考區(qū)分和選拔的特點(diǎn)。

例3以學(xué)生熟悉的初等函數(shù)為出發(fā)點(diǎn)，函數(shù)中設(shè)置一個(gè)未知參數(shù)，第（1）問(wèn)給定參數(shù)a=1，考查考生對(duì)函數(shù)求導(dǎo)、利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性等基本方法的掌握程度；第（2）問(wèn)要求考生利用函數(shù)在(0,+∞)只有一個(gè)零點(diǎn)的條件求出參數(shù)的值，有一定難度，對(duì)考生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)尋找合理的運(yùn)算途徑以及推理論證能力都提出了較高要求。

解答例3的思路很多。對(duì)于第（1）問(wèn)，由于對(duì)函數(shù)求導(dǎo)后f′(x)=ex-2x，難以直接判斷f′(x)的正負(fù)，可以考慮設(shè)新函數(shù)g(x)=f′(x)=ex-2x，對(duì)函數(shù)g(x)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷g(x)的正負(fù)，從而討論f(x)的單調(diào)性，進(jìn)而得到結(jié)論；還可以對(duì)f(x)≥1進(jìn)行變形，得到ex≥x2+1，再進(jìn)一步作等價(jià)變形得到(x2+1)e-x-1≤0，從而討論函數(shù)g(x)=(x2+1)e-x-1的性質(zhì)，得到結(jié)論。在證明過(guò)程中，變形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵?？傊?dāng)ex與x2或2x分離時(shí)，很難判定函數(shù)的正負(fù)，只有把它們組合起來(lái)，把冪函數(shù)變成ex的系數(shù)，求導(dǎo)后再討論冪函數(shù)的性質(zhì)，才能更容易地解決問(wèn)題。

第（2）問(wèn)的解題思路與第（1）問(wèn)類(lèi)似，也是要進(jìn)行變形，將ex與x2組合起來(lái)，便于求導(dǎo)處理。由于f(x)=0，即ex-ax2=0，將等式兩邊同除以ex，轉(zhuǎn)化為 1-ax2e-x=0；設(shè)h(x)=1-ax2e-x，從而f(x)在(0,+∞)只有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)h(x)在(0,+∞)只有一個(gè)零點(diǎn)；進(jìn)而利用導(dǎo)數(shù)研究h(x)的性質(zhì)即可得到參數(shù)的取值。該題還可以對(duì)ex-ax2=0進(jìn)行反向處理，將等式兩邊同除以x2，顯然x=0不是f(x)的零點(diǎn)，故將此式轉(zhuǎn)化為-a=0，設(shè)h(x)=-a，從而f(x)在(0,+∞)只有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)h(x)在(0,+∞)只有一個(gè)零點(diǎn)；進(jìn)而利用導(dǎo)數(shù)研究h(x)的性質(zhì)即可得到參數(shù)的取值。

解答第（2）問(wèn)的另一個(gè)思路是利用數(shù)形結(jié)合的方法，從函數(shù)圖像的形態(tài)進(jìn)行分析，得到解題思路。由于f(0)=1，且由函數(shù)的性質(zhì)可得，當(dāng)x充分大時(shí) ，f(x)＞0，從而如果存在x1∈(0,+∞)使得f(x1)＜ 0，則f(x)在(0,+∞)至少存在兩個(gè)零點(diǎn)；從而，f(x)在(0,+∞)的唯一零點(diǎn)一定是f(x)在(0,+∞)的最小值點(diǎn)，則由f(x0)=0，f′(x0)=0即可得到參數(shù)的取值。通過(guò)幾何直觀可知，在(0,+∞)上f(x)只有一個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于曲線y=ex與y=ax2只有一個(gè)公共點(diǎn)，從而曲線y=ex與y=ax2在公共點(diǎn)處有相同的切線，即若f(x0)=0，應(yīng)有f′(x0)=0，即可求得參數(shù)的取值。

在高中階段引進(jìn)導(dǎo)數(shù)概念，有利于學(xué)生更深刻地理解動(dòng)態(tài)變化的函數(shù)本質(zhì)，提高思維層次。導(dǎo)數(shù)的重要應(yīng)用之一是利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性、零點(diǎn)、極值和最值，是高中數(shù)學(xué)的重要知識(shí)和工具。例3分步設(shè)問(wèn)，逐步推進(jìn)，考查由淺入深，使考生的思維廣度和深度得到充分展示，較好地發(fā)揮了選拔功能，特別是對(duì)高水平考生的選拔功能。試題引導(dǎo)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)在提高學(xué)生的分析綜合能力、問(wèn)題轉(zhuǎn)化能力和邏輯推理素養(yǎng)方面下功夫。

3 函數(shù)內(nèi)容教學(xué)建議

通過(guò)以上分析可以看出，高考對(duì)函數(shù)內(nèi)容的考查，一方面是作為重要的基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生對(duì)今后學(xué)習(xí)所必需的重要基礎(chǔ)和工具的掌握程度，同時(shí)更重要的是考查學(xué)生核心素養(yǎng)的發(fā)展水平，以區(qū)分和選拔學(xué)生。

利用函數(shù)知識(shí)可以深入考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象和邏輯推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)：1）對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算的考查，既可以在冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的計(jì)算中或函數(shù)值大小的判定中，也可以在函數(shù)的奇偶性、增減性、周期性、對(duì)稱(chēng)性的判斷和利用性質(zhì)求解的計(jì)算中，還可以在函數(shù)和導(dǎo)數(shù)結(jié)合中進(jìn)行考查，其中求導(dǎo)是一種重要的運(yùn)算，要求考生將求導(dǎo)法則應(yīng)用于具體的函數(shù)，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)和極值間的關(guān)系，判定函數(shù)的極值和單調(diào)性。2）對(duì)直觀想象的考查，主要是根據(jù)函數(shù)表達(dá)式畫(huà)出函數(shù)的圖像，根據(jù)函數(shù)的圖像推斷函數(shù)的性質(zhì)，以及根據(jù)函數(shù)的表達(dá)式判斷函數(shù)的圖像，通過(guò)函數(shù)圖像啟發(fā)思路、驗(yàn)證結(jié)論。3）邏輯推理主要包括兩類(lèi)：一類(lèi)是從特殊到一般的推理，推理形式主要有歸納、類(lèi)比；另一類(lèi)是從一般到特殊的推理，推理形式主要有演繹[2]。高考中利用函數(shù)知識(shí)考查的邏輯推理素養(yǎng)主要是從一般到特殊的推理，即演繹推理。

根據(jù)高考中對(duì)函數(shù)內(nèi)容的考查要求和特點(diǎn)，中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)首先要全面學(xué)習(xí)基礎(chǔ)知識(shí)，不要存在任何僥幸心理，不要根據(jù)前一年的試題盲目推斷當(dāng)年哪項(xiàng)內(nèi)容不考、哪項(xiàng)內(nèi)容必考?，F(xiàn)在中學(xué)教學(xué)和復(fù)習(xí)中存在一種現(xiàn)象，就是加快教學(xué)進(jìn)度，灌輸難題，反復(fù)刷題，不給學(xué)生思考的時(shí)間和空間。這種應(yīng)試傾向必須克服，教師要通過(guò)全面教學(xué)，使學(xué)生了解知識(shí)發(fā)生、發(fā)展和應(yīng)用的過(guò)程，夯實(shí)學(xué)生的知識(shí)基礎(chǔ)，使學(xué)生掌握解決問(wèn)題的工具；教師要教會(huì)學(xué)生發(fā)現(xiàn)知識(shí)間的有機(jī)聯(lián)系，使學(xué)生能夠進(jìn)行知識(shí)間的綜合，達(dá)到對(duì)知識(shí)的靈活運(yùn)用；教師在教學(xué)過(guò)程中要充分利用函數(shù)內(nèi)容的特點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力。這些才是中學(xué)教學(xué)最重要的目的。