王海東，王肇喜，楊勝康，陳志偉

（1.上海航天精密機(jī)械研究所環(huán)境試驗檢測部，上海 201600；2.西安電子科技大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，陜西 西安 710071）

0 引言

開展應(yīng)力篩選和可靠性試驗已成為產(chǎn)品研發(fā)和生產(chǎn)過程不可缺少的重要組成部分，其對提高產(chǎn)品針對性、篩選效率及功能可靠性具有重要意義。高加速應(yīng)力篩選（HASS）試驗采用遠(yuǎn)高于產(chǎn)品技術(shù)條件規(guī)定值的應(yīng)力量級進(jìn)行試驗，以快速激發(fā)并清除產(chǎn)品潛在缺陷，從而達(dá)到提高裝備可靠性的目的[1]。

據(jù)統(tǒng)計分析，振動環(huán)境和熱環(huán)境是對裝備失效形式最主要的影響因素。因此，溫度和振動被列為最有效的試驗應(yīng)力，施加這兩種載荷能夠更加可靠的模擬產(chǎn)品在使用時的工作環(huán)境。其中，振動載荷可使結(jié)構(gòu)過度彎曲而導(dǎo)致器件表面粘附、斷裂或分層，甚至造成結(jié)構(gòu)疲勞失效的產(chǎn)生[2，3]。因此，許多研究者對產(chǎn)品在HASS試驗隨機(jī)振動載荷條件下的響應(yīng)展開了研究[4，5]。

李健[6]采用模態(tài)迭加方法和等效黏滯性小阻尼條件，計算復(fù)合載荷作用下的振動加速度響應(yīng)分析。馬思鵬[7]通過對小尺寸PCB組件進(jìn)行了有限元建模和隨機(jī)振動加速試驗的仿真分析得出振動響應(yīng)曲線。孟玥然[8]利用仿真的手段對電路板組件進(jìn)行隨機(jī)振動試驗分析，得到其頻響特性曲線。圖1為HASS振動載荷試驗剖面示意圖，如圖1所示，橫坐標(biāo)為振動數(shù)值加載的時間，縱坐標(biāo)為所選振動量級大小，振動幅值用加速度均方根值來表示。而且其振動載荷在時域上呈現(xiàn)明顯的超高斯振動特性[9，10]。

此外，國內(nèi)外學(xué)者也開始進(jìn)行非高斯信號形成的研究[11，12]。Seong[13]基于非高斯隨機(jī)信號生成的方法，將建筑表面的風(fēng)力載荷基于一定方法模擬成時域非高斯信號歷程。Kumer[14]采用逆傅里葉變化方法，利用自己提出的將一個隨機(jī)過程中的高峰值部分通過簡化指數(shù)峰值模型的參數(shù)來進(jìn)行還原的方法，在此基礎(chǔ)上形成了非高斯類型的風(fēng)壓時間過程。蔣瑜[15]利用快速傅里葉變換算法，提出了一種基于幅值調(diào)制和相位重構(gòu)的非高斯隨機(jī)振動數(shù)值模擬方法。

經(jīng)過數(shù)十年的研究，大多是從頻域的角度進(jìn)行板結(jié)構(gòu)的振動載荷響應(yīng)分析，很少從時域的角度出發(fā)進(jìn)行載荷響應(yīng)分析，而且目前對于非高斯隨機(jī)過程的數(shù)字模擬可分為兩大類：（1）根據(jù)指定的統(tǒng)計參數(shù)如均值、均方差、偏斜度、峭度以及功率譜密度函數(shù)來模擬非高斯隨機(jī)過程；（2）根據(jù)特定的概率密度函數(shù)與功率譜密度函數(shù)對非高斯隨機(jī)過程進(jìn)行模擬。

本文基于二次相位調(diào)制控制激勵峭度的方法進(jìn)行了HASS試驗隨機(jī)振動載荷的數(shù)值模擬，進(jìn)行薄板在HASS試驗隨機(jī)振動載荷下的數(shù)值響應(yīng)分析，獲得其應(yīng)力分布及薄弱位置，為裝備失效分析及合理制定HASS試驗剖面奠定理論基礎(chǔ)及依據(jù)。

圖1 HASS振動載荷剖面

1 HASS振動激勵載荷分析

1.1 HASS振動載荷模擬

振動篩選過程中求解每個量級對應(yīng)下的時域信號，從時域著手分析求解結(jié)構(gòu)動力學(xué)響應(yīng)。HASS試驗主要是使用一種新型的超高應(yīng)力加載試驗系統(tǒng)，在試驗的過程中會產(chǎn)生一種不同于傳統(tǒng)高斯分布的超高斯型隨機(jī)振動信號。因此，對于HASS試驗振動載荷可采用通過二次相位調(diào)制來控制激勵信號峭度值的方法對超高斯隨機(jī)振動信號進(jìn)行模擬。圖2為環(huán)境應(yīng)力篩選中采用的典型隨機(jī)振動激勵譜。

圖2 典型隨機(jī)振動激勵譜

在頻域分析上，表示一個隨機(jī)過程信號只需要有幅值信息與相位信息即可，其中幅值A(chǔ)k可由公式（2）求得。但是當(dāng)樣本數(shù)量接近無窮時，隨機(jī)過程大概表現(xiàn)為高斯分布時，相位φk在（-π，π）上表現(xiàn)為均勻分布隨機(jī)數(shù)時，可對相位角φk進(jìn)行調(diào)制改變，使其數(shù)值在（-π，π）上不再符合隨機(jī)分布性來達(dá)到實現(xiàn)還原超高斯激勵信號的目的。

式中：N 為正整數(shù)，φk為（-π，π）上均勻分布的獨立隨機(jī)相位角。

式中：Δf=（fu-fl）/N，N是采樣點數(shù)。[fu-fl]是隨機(jī)過程功率譜密度Sx（f）具有顯著值得頻率范圍，fk=kΔf.

將概率密度分布不滿足正態(tài)分布的隨機(jī)信號統(tǒng)稱為非高斯信號，在工程中采用峭度來描述，峭度定義如下：

具體對于高斯隨機(jī)過程峭度等于零，超高斯隨機(jī)過程的峭度則大于零。

在對一般性結(jié)構(gòu)進(jìn)行隨機(jī)性運(yùn)動試驗時，信號的均值為零。當(dāng)采集數(shù)據(jù)N足夠大時，x（t）的運(yùn)動過程的均值趨于零。因此，峭度的表達(dá)式為：

式中：M2，M4分別是隨機(jī)信號X的二階中心距和四階中心距。

本文將8 Grms、20 Grms按國軍標(biāo)生成典型隨機(jī)振動激勵譜，然后采用二次相位調(diào)制控制激勵峭度的方法，進(jìn)行時域超高斯振動載荷模擬，并采用MATLAB編程分別模擬8 Grms、20 Grms振動應(yīng)力篩選下目標(biāo)峭度值（K）分別為1.9和7.9的超高斯偽隨機(jī)信號。圖3~6分別為8 Grms和20 Grms條件下目標(biāo)峭度值為1.9和7.9的超高斯偽隨機(jī)信號時域波形和幅值概率密度。通過模擬具有指定功率譜密度，峭度值為2和8的超高斯激勵信號，為后面結(jié)構(gòu)在超高斯激勵下的響應(yīng)分析計算提供數(shù)據(jù)支撐。

圖3 8Grms下模擬的超高斯偽隨機(jī)信號（K=1.9）

圖4 8Grms下模擬的超高斯偽隨機(jī)信號（K=7.9）

圖5 20Grms下模擬的超高斯偽隨機(jī)信號（K=1.9）

圖6 20Grms下模擬的超高斯偽隨機(jī)信號（K=7.9）

1.2 結(jié)構(gòu)動力學(xué)有限元方程及求解

在電子產(chǎn)品的振動篩選試驗時，將電路板簡化為薄板結(jié)構(gòu)，其薄板結(jié)構(gòu)如圖7所示受到試驗臺的基礎(chǔ)加速度激勵信號，結(jié)構(gòu)受到基礎(chǔ)振動時結(jié)構(gòu)總位移由支座位移ug（t）和相對支座位移ui（t）兩部分組成[8]，則支座加速度為d2ug（t）/dt2，取一個微元體進(jìn)行分析。

圖7 薄板單元網(wǎng)格及節(jié)點編號

平衡方程：

初始條件：

式中：ui，t和 ui，tt分別是 ui對時間 t的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)，ρ是密度。

由虛功原理結(jié)構(gòu)的平衡方程為：

將邊界條件帶入得：

取單元微分體的插值函數(shù)為N，節(jié)點的位移為u，則單元的位移為：

將公式代入公式，可得單元的運(yùn)動微分方程（不考慮阻尼影響）：

r為基礎(chǔ)激勵影響系數(shù)向量，它的維數(shù)等于單元的自由度數(shù)，當(dāng)單元自由度方向與基礎(chǔ)加速度方向相同時，r相應(yīng)的值為1，其余為0.

如果基礎(chǔ)激勵的加速度為a，則：

針對采用直接積分法進(jìn)行求解。直接積分法進(jìn)行求解的前提是要給定初始時的數(shù)值，它是將運(yùn)動微分方程進(jìn)行離散分解，由給定的初始時的位移、速度、加速度的相應(yīng)表達(dá)式和載荷條件，得到后續(xù)各時間點的響應(yīng)的方法。有不少的方法都是直接積分法，例如Newmark法、Wilson-θ法和中心差分法等。一般來說，對于結(jié)構(gòu)動力學(xué)問題，通常采用Newmark積分法，它是一種相對穩(wěn)定的方法，所求結(jié)果的穩(wěn)定性很高。

Newmark積分法采用以下假設(shè)，在t~t+Δt時間區(qū)域內(nèi)，則有：

式中：α1和β是按積分精度和穩(wěn)定性要求而決定的參數(shù)。

Newmark方法中時間t+Δt的位移ut+Δt是通過t+Δt的運(yùn)動方程求得：

將公式代入公式可得到ut，ut計算ut+Δt的公式：

2 算例分析

針對薄板進(jìn)行HASS試驗振動載荷分析，薄板的長為 12 cm，寬 8 cm，厚2 mm，密度 ρ=2 740 kg/m3，泊松比μ=0.33，彈性模量E=72 GPa，板兩邊固定，振動的方向與板垂直，振動量級為8 Grms和20 Grms，不考慮阻尼的影響。

將求出的超高斯隨機(jī)信號作為振動激勵，根據(jù)Newmark原理，運(yùn)用MATLAB進(jìn)一步分析HASS超高斯隨機(jī)振動下的響應(yīng)。

如圖7所示，板的截面對稱且兩長邊固定，采用正六面體單元將板分為70個節(jié)點，24個單元，由結(jié)構(gòu)對稱性取結(jié)構(gòu)左下角1/4單元下表面進(jìn)行分析，其它節(jié)點可由對稱得到，表1是板上下表面1/4節(jié)點對應(yīng)編號。由板的加載條件及約束條件可得，最大位移點在板非約束邊中點，即4節(jié)點。圖8~11是20 Grms振動應(yīng)力篩選下部分節(jié)點在某篩選時間段內(nèi)的總位移響應(yīng)。圖12~15是8 Grms振動應(yīng)力篩選下部分節(jié)點在某篩選時間段內(nèi)的總位移響應(yīng)。

表1 板上下表面部分節(jié)點編號

由圖8和圖12可知，在振動篩選過程中，即4節(jié)點的位移最大，這是由于對于節(jié)點4在篩選過程中，相比于其他節(jié)點受到的約束最小，因此其振動響應(yīng)位移最大。20 Grms振動應(yīng)力篩選下節(jié)點的位移大于8 Grms下對應(yīng)節(jié)點位移，這是由于在將振動量級模擬生成超高斯激勵時，20 Grm下的模擬激勵峰值大于8 Grms，進(jìn)而對結(jié)構(gòu)產(chǎn)生振動激勵就越大，因此其結(jié)構(gòu)響應(yīng)位移大于8 Grms下對應(yīng)節(jié)點位移。

圖8 20Grms篩選下節(jié)點4總位移

圖9 20Grms篩選下節(jié)點5總位移

圖10 20Grms篩選下節(jié)點27總位移

圖11 20Grms篩選下節(jié)點28總位移

圖12 8Grms篩選下節(jié)點4總位移

圖13 8Grms篩選下節(jié)點5總位移

圖14 8Grms篩選下節(jié)點27總位移

圖15 8Grms篩選下節(jié)點28總位移

圖16~17是20 Grms振動應(yīng)力篩選下部分節(jié)點的等效應(yīng)力響應(yīng)，圖18~19是8 Grms振動量級下部分節(jié)點的等效應(yīng)力響應(yīng)。表2是20 Grms振動應(yīng)力篩選下部分節(jié)點最大應(yīng)力。

圖16 20Grms篩選下節(jié)點2應(yīng)力

圖17 20Grms篩選下節(jié)點28應(yīng)力

圖18 8Grms篩選下節(jié)點2應(yīng)力

圖19 8Grms篩選下節(jié)點28應(yīng)力

表2 20Grms振動量級下部分節(jié)點最大應(yīng)力（MPa）

由表2和圖20可知，2節(jié)點的等效應(yīng)力最大，為26.418 MPa.這是由于板兩長邊固定約束，最大應(yīng)力點位于約束邊的角點處。20 Grms振動應(yīng)力篩選下節(jié)點的應(yīng)力大于8 Grms下對應(yīng)節(jié)點應(yīng)力。此外，從約束區(qū)域到薄板中間非約束區(qū)域，等效應(yīng)力依次減小，而且薄板中心位置的等效應(yīng)力最小。通過以上數(shù)據(jù)對比分析可得，在振動篩選過程中，振動量級越大，結(jié)構(gòu)的等效應(yīng)力越大。同等條件下，振動量級越大篩選效果越好。

圖20 各節(jié)點等效應(yīng)力變化趨勢

3 結(jié)束語

本文利用二次相位調(diào)制控制激勵峭度的方法進(jìn)行了HASS試驗隨機(jī)振動載荷的數(shù)值模擬，建立了薄板結(jié)構(gòu)在振動載荷條件下的動力學(xué)有限元方程，并利用MATLAB對薄板在HASS試驗隨機(jī)振動載荷的響應(yīng)進(jìn)行數(shù)值計算分析，得到以下結(jié)論：

（1）對于薄板結(jié)構(gòu)，在HASS試驗隨機(jī)振動載荷條件下，受約束最小的位置位移最大，而受約束最大的位置等效應(yīng)力最大，而且從約束區(qū)域到非約束區(qū)域的等效應(yīng)力依次呈遞減趨勢。

（2）從不同的振動量級來看，對于同一結(jié)構(gòu)，其振動量級越大，結(jié)構(gòu)同等位置的等效應(yīng)力越大，故其振動量級越大篩選效果越好，從而更易暴露裝備中的深層缺陷，進(jìn)一步提高裝備的可靠性。