吳學(xué)軍

摘要：數(shù)學(xué)探究學(xué)習(xí)的一般原理從內(nèi)涵到形式、從結(jié)構(gòu)到機(jī)制、從自身特征到相關(guān)因素，涉及眾多的內(nèi)容。數(shù)學(xué)探究學(xué)習(xí)是指學(xué)生自己或合作共同體針對要學(xué)習(xí)的概念、原理、法則或要解決的數(shù)學(xué)問題主動地思考、探索的學(xué)習(xí)活動，強(qiáng)調(diào)的是一種主動參與的學(xué)習(xí)方式。數(shù)學(xué)探究學(xué)習(xí)的典型活動是數(shù)學(xué)推理，這是數(shù)學(xué)學(xué)科的探究學(xué)習(xí)區(qū)別于其他學(xué)科探究學(xué)習(xí)的根本所在。

關(guān)鍵詞：探究性學(xué)習(xí)；概念；原理；問題解決

中圖分類號：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1992-7711（2017）10-0075

概括地說，數(shù)學(xué)探究學(xué)習(xí)是指學(xué)生自己或合作共同體針對要學(xué)習(xí)的概念、原理、法則或要解決的數(shù)學(xué)問題主動地思考、探索的學(xué)習(xí)活動，強(qiáng)調(diào)的是一種主動參與的學(xué)習(xí)方式。對于展開的途徑、問題的程度和類別則不作過多限定。就是說，數(shù)學(xué)探究學(xué)習(xí)可以在不同的層次上進(jìn)行，既可以對一般性的學(xué)習(xí)內(nèi)容或問題展開探究，也可以針對數(shù)學(xué)學(xué)科的某個主題由學(xué)生形成自己的問題或活動意向，或者由教師提出問題，并創(chuàng)設(shè)探索所需的情境和途徑，之后，學(xué)生針對問題特點通過直觀思維、邏輯推理、精確計算等數(shù)學(xué)活動，形成自己的假設(shè)，并通過反思、觀察和必要的數(shù)學(xué)實驗活動檢驗假設(shè)，直至解決問題，在探究活動的基礎(chǔ)上建構(gòu)起對數(shù)學(xué)知識的理解和有關(guān)的方法、技能。

數(shù)學(xué)探究學(xué)習(xí)的典型活動是數(shù)學(xué)推理，這是數(shù)學(xué)學(xué)科的探究學(xué)習(xí)區(qū)別于其他學(xué)科探究學(xué)習(xí)的根本所在。就當(dāng)前而論，首要的問題是要改變那種把數(shù)學(xué)探究學(xué)習(xí)窄化為走出課堂、調(diào)查實踐的“專題性研究”的觀點，而應(yīng)在較為廣泛的意義上，立足于學(xué)生的日常學(xué)習(xí)，將探究學(xué)習(xí)作為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本方式加以提倡，這樣才能真正發(fā)揮數(shù)學(xué)探究學(xué)習(xí)的效力，改變數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中過分倚重模仿、識記和重復(fù)演練的現(xiàn)狀。

所謂數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的探究學(xué)習(xí)是指在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的環(huán)境下，學(xué)生圍繞正常的教學(xué)內(nèi)容，就某些數(shù)學(xué)概念、原理、問題，以探究的形式學(xué)習(xí)新知識的過程。這個過程包括：設(shè)置情境，提出問題，思考、探討問題的結(jié)論，給出解釋或證明。這種探究學(xué)習(xí)形式有三個突出特點：一是教師的全程監(jiān)控指導(dǎo)；二是探究內(nèi)容的相對穩(wěn)定性；三是時間和空間的固定性。因此，它屬于一種有結(jié)構(gòu)的“定向式探究”（相對于開放式探究而言），即由教師提供探究內(nèi)容并確定探究程序，學(xué)生尋找答案、發(fā)現(xiàn)聯(lián)系的探究過程。

雖然在探究過程中需要教師提供大量幫助，但學(xué)生在觀察和分析數(shù)學(xué)事實、建立假設(shè)、歸納和演繹推理及做出結(jié)論時，教師起著引導(dǎo)而不是包辦代替的作用。也就是說，在定向探究活動中，教師只是為學(xué)生的主動探究活動搭建一定的“腳手架”，并沒有鋪平學(xué)習(xí)的道路，學(xué)生需要發(fā)揮主觀能動性，親自體驗探索、研究的過程。

根據(jù)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容的特點，數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的探究學(xué)習(xí)又可大致分為三種主要的類型，即數(shù)學(xué)概念的探究學(xué)習(xí)、數(shù)學(xué)原理的探究學(xué)習(xí)、數(shù)學(xué)問題解決的探究學(xué)習(xí)。由于概念、原理、問題解決的學(xué)習(xí)各有其特色之處，即便都采用類似的探究模式展開，也會呈現(xiàn)出較為明顯的差異。因此，有必要針對各自的特點進(jìn)行對比分析。

一、數(shù)學(xué)概念的探究學(xué)習(xí)

數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的基本過程是：接觸到新的數(shù)學(xué)對象，學(xué)生首先根據(jù)自己的觀察抽取對象的主要特征，然后提取相關(guān)經(jīng)驗結(jié)構(gòu)與新的數(shù)學(xué)對象類比，若吻合，則保留原有概念，但擴(kuò)充了原有概念的范例；若不吻合，則修改原有概念以使其適應(yīng)新的信息。新概念產(chǎn)生后必須經(jīng)過應(yīng)用階段的檢驗才能被學(xué)生接受，若運用成功，新概念框架形成；若運用不成功，則還需要進(jìn)一步的檢驗和修正?？梢姡@是主動建構(gòu)、逐漸形成的過程。大多數(shù)的數(shù)學(xué)概念是適于采用探究學(xué)習(xí)方式進(jìn)行的。這一探究的過程大致涉及四個階段：

設(shè)置相關(guān)情境→尋求本質(zhì)特征→解釋概念框架→精致、拓展與驗證

很明顯，數(shù)學(xué)概念的探究學(xué)習(xí)是需要教師設(shè)計和引導(dǎo)的。同樣的數(shù)學(xué)概念既可以通過教師的講授間接獲得，也可以設(shè)計成學(xué)生的探究活動直接獲得。雖然并不是所有數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)都適于采用探究的方式，但現(xiàn)實數(shù)學(xué)課堂中對一些可以而且應(yīng)該采用探究方式獲取的概念還沒有引導(dǎo)到有效的探究層面。

二、數(shù)學(xué)原理的探究學(xué)習(xí)

數(shù)學(xué)原理的學(xué)習(xí)主要是在概念學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，對概念間的關(guān)系或一些并不明顯的數(shù)學(xué)事實進(jìn)行“再發(fā)現(xiàn)”與認(rèn)同的過程。如“等腰三角形的兩底角相等”的學(xué)習(xí)是在掌握“等腰三角形”“底角”等概念的基礎(chǔ)上，對“相等”關(guān)系的認(rèn)識；而“三角形的內(nèi)角和等于180。”的學(xué)習(xí)則是要“再發(fā)現(xiàn)”這一數(shù)學(xué)事實。

一些數(shù)學(xué)原理是在生活實踐或數(shù)學(xué)實驗的基礎(chǔ)上歸納推理的結(jié)果，如“勾股定理”；而另一些數(shù)學(xué)原理則是對抽象的數(shù)學(xué)對象演繹推理的結(jié)果，如“實系數(shù)方程的虛根成對定理”。所有這些數(shù)學(xué)原理的學(xué)習(xí)可以通過適當(dāng)?shù)男问交蛘w、或局部的通過探究活動進(jìn)行“再發(fā)現(xiàn)”其基本過程如下：

設(shè)置情境→展開探究→發(fā)現(xiàn)原理→探求證明→證明原理 研究原理

首先根據(jù)原理的特點創(chuàng)設(shè)合適的探究情境（如實驗情境、辨析情境等）使學(xué)生能夠通過自己的努力體驗到原理的合理性，然后探求證明思路，從邏輯上給出嚴(yán)格的證明，逐漸過渡到心理意義上的認(rèn)同，再通過進(jìn)一步的使用、驗證、分析研究原理。

三、數(shù)學(xué)問題解決的探究學(xué)習(xí)

實際上，數(shù)學(xué)探究可歸類于問題或?qū)儆诮怆y題范疇。而解決數(shù)學(xué)問題的過程本質(zhì)上就是一個探究過程。這可以反映在解決數(shù)學(xué)問題的幾個主要階段中：

理解問題→規(guī)劃并施行→反思與拓展

理解問題，即是要探尋問題所呈現(xiàn)的信息的實質(zhì)以及相關(guān)聯(lián)系，這是一個反復(fù)揣摩、逐步精致的求索過程；規(guī)劃并施行，即是根據(jù)對問題的理解調(diào)動自己頭腦中已有的“解題知識塊”，并進(jìn)行必要的重組或“再構(gòu)造”，規(guī)劃出解題路徑并嘗試執(zhí)行，這是深入思考、不斷摸索的過程。

需要說明的是，雖然數(shù)學(xué)課堂學(xué)習(xí)中可以探究的內(nèi)容不外乎概念、原理、問題解決等方面，但并不是所有的概念、原理、問題解決等內(nèi)容都是適于采用探究學(xué)習(xí)方式進(jìn)行的。而且由于課堂時間和空間的限制，即使一些適于探究的學(xué)習(xí)內(nèi)容也不見得就能全面鋪開，有時只可能是部分地進(jìn)行。

（作者單位：江蘇省新沂市新店中學(xué) 221400）endprint