趙宏艷

摘 要：復(fù)變函數(shù)與積分變換是工科類學(xué)生的專業(yè)基礎(chǔ)課。它的承接性很強(qiáng)、研究?jī)r(jià)值很高同時(shí)應(yīng)用范圍極廣。然而，學(xué)生們?cè)趯W(xué)習(xí)過程中的問題較多。部分學(xué)生感到高深難懂，學(xué)起來畏縮不前;部分學(xué)生視其為高等數(shù)學(xué)的重復(fù)，感覺食之無味;還有部分學(xué)生認(rèn)為它脫離現(xiàn)實(shí)，如空中樓閣，學(xué)而無用。作者在教學(xué)過程采用滲透教學(xué)史的方法，適當(dāng)穿插相關(guān)史實(shí)，既活躍了課堂氣氛，又豐富了學(xué)生的數(shù)學(xué)體驗(yàn)，加深了學(xué)生的課堂記憶。結(jié)果表明，該方法取得了較好的教學(xué)效果。

關(guān)鍵詞：復(fù)變函數(shù);積分變換;課堂教學(xué);數(shù)學(xué)史

中圖分類號(hào)：O174.5

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

復(fù)變函數(shù)與積分變換是工科專業(yè)學(xué)生的重要的專業(yè)基礎(chǔ)課。這門課的主要內(nèi)容是電子電氣、信息工程、熱學(xué)和流體力學(xué)類專業(yè)課的基礎(chǔ)，因此，在專業(yè)學(xué)習(xí)中具有舉足輕重的地位。然而，筆者在教學(xué)過程中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)存在著較多問題。本文接下來將從學(xué)生反映的主要問題出發(fā)，針對(duì)特定問題，給出具體的數(shù)學(xué)史范例和講解過程，詳細(xì)介紹該史實(shí)與知識(shí)點(diǎn)的邏輯關(guān)聯(lián)以及教學(xué)效果。最后給出結(jié)論。

問題一： 部分學(xué)生反映，高等數(shù)學(xué)的函數(shù)、導(dǎo)數(shù)等都可以有直觀解釋，而復(fù)數(shù)似乎沒有直觀對(duì)應(yīng)，接受和理解上有難度。

對(duì)策：穿插講解復(fù)數(shù)的由來和整個(gè)復(fù)變函數(shù)體系的發(fā)展過程，會(huì)收到較好的課堂效果。復(fù)數(shù)、虛數(shù)這兩個(gè)名詞，都是人們?cè)诮夥匠虝r(shí)引入的。1545年，意大利米蘭數(shù)學(xué)家卡爾丹發(fā)表了《關(guān)于代數(shù)的大法》一書，公布了三次方程的一般解法，第一次將負(fù)數(shù)的平方根寫到公式中。在卡爾丹發(fā)表著作約100年后，在1637年，法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡爾寫了《幾何學(xué)》一書，使得虛數(shù)這個(gè)名稱流傳于世。又過了約140年，在1777年，德國(guó)數(shù)學(xué)家歐拉在《微分公式》一書中首創(chuàng)了用符號(hào)i 作為虛數(shù)的單位。30年后，在1806年，德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯公布了虛數(shù)的圖像表示法。又過了約30年，還是高斯，首提“復(fù)數(shù)”。至此，復(fù)數(shù)理論才完整系統(tǒng)地建立起來。

負(fù)數(shù)開方的提出到完整復(fù)數(shù)理論的建立，經(jīng)歷了近三百年的時(shí)光，是卡爾丹、笛卡爾、歐拉、高斯等數(shù)學(xué)家們前赴后繼、辛勤耕耘的成果。詳細(xì)了解這一史實(shí)后，學(xué)生們?nèi)菀桩a(chǎn)生共鳴，既有來之不易的珍惜感，又有能與久仰其名的偉人名家的思想比肩而行的驕傲感。無論是哪種情感，灌注在書本里，冰冷的文字就會(huì)變得鮮明生動(dòng)，理解并記憶也就容易得多。

問題二： 復(fù)變函數(shù)的概念、復(fù)積分、復(fù)級(jí)數(shù)涉及的部分概念和公式與高等數(shù)學(xué)一致，一些學(xué)生反映，這些內(nèi)容無非是高等數(shù)學(xué)的重復(fù)。

對(duì)策：對(duì)于這種情況，可以適當(dāng)講解些二者不同之處，加強(qiáng)辨析。復(fù)變函數(shù)以解析函數(shù)作為主要研究對(duì)象，柯西-黎曼定理是復(fù)變函數(shù)論的重要內(nèi)容之一，該定理也被稱為達(dá)朗貝爾-歐拉方程[1]。早在1752年，達(dá)朗貝爾就已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了這兩個(gè)方程，并將它們寫進(jìn)了他的一篇關(guān)于流體力學(xué)的論文中。25年后，1777年，歐拉向彼得堡科學(xué)院提交了一篇論文，論文中考慮了一類復(fù)變函數(shù)的積分，這類函數(shù)滿足上述兩個(gè)方程。這兩個(gè)方程在柯西和黎曼研究流體力學(xué)時(shí)，分別作了更詳細(xì)的研究，通過不同的推導(dǎo)方法得到該方程組與復(fù)變理論之間的重要聯(lián)系。這個(gè)定理的出現(xiàn)，揭示了復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)和實(shí)函數(shù)可導(dǎo)的根本不同。復(fù)函數(shù)要想可導(dǎo)，實(shí)部虛部需要滿足比較嚴(yán)苛的條件，而實(shí)函數(shù)則不用。復(fù)函數(shù)從本質(zhì)上是兩個(gè)函數(shù)共同作用的結(jié)果，研究起來自然要比實(shí)函數(shù)更為復(fù)雜。

通過史實(shí)來解釋基本概念上的差異，可以讓學(xué)生清楚地認(rèn)識(shí)到復(fù)變函數(shù)絕對(duì)不是高等數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)單重復(fù)，它從最基礎(chǔ)的研究對(duì)象開始，就已經(jīng)構(gòu)建了與實(shí)變函數(shù)完全不同的結(jié)構(gòu)體系。

問題三：有些學(xué)生反映，復(fù)變函數(shù)與積分變換脫離我們的現(xiàn)實(shí)生活，無法實(shí)際應(yīng)用。

對(duì)策：復(fù)變函數(shù)與積分變換有較為復(fù)雜的應(yīng)用領(lǐng)域，如飛機(jī)機(jī)翼的結(jié)構(gòu)問題的解決[2]。但它的應(yīng)用絕不僅限于此，復(fù)變函數(shù)在通信領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用。快速傅里葉變換（FFT）使數(shù)字信號(hào)處理從理論走向?qū)嵱?，F(xiàn)FT 的出現(xiàn)大大減少了離散傅立葉變換的運(yùn)算量，使實(shí)時(shí)的數(shù)字信號(hào)處理成為可能，極大促進(jìn)了該學(xué)科的發(fā)展。所以，不管是我們使用家用電器，用手機(jī)問候遠(yuǎn)方的朋友，還是使用衛(wèi)星電視觀看電視劇，我們無時(shí)無刻不在接觸著這位很抽象而無處不在的朋友——復(fù)變函數(shù)。

通過對(duì)學(xué)生的反饋進(jìn)行深入分析，筆者將問題主要?dú)w納為三個(gè)方面，站在學(xué)生的角度從學(xué)科的抽象性、內(nèi)容與高等數(shù)學(xué)部分相似性以及應(yīng)用領(lǐng)域的難以理解等方面進(jìn)行闡述，提出引入數(shù)學(xué)史的辦法，介紹了具體的數(shù)學(xué)史實(shí)，針對(duì)以上三個(gè)問題充分展開，提供了解決思路和方法。實(shí)踐表明，結(jié)合數(shù)學(xué)史學(xué)習(xí)復(fù)變函數(shù)與積分變換課程取得了良好的教學(xué)效果，值得推廣。

參考文獻(xiàn)：

[1]李躍武，周瑞宏. 從歷史的角度引入柯西-黎曼方程[J].高等數(shù)學(xué)研究，2009（4）：121-123.

[2]鐘玉泉.復(fù)變函數(shù)論（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2013.