馮崇和

【編者按】《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011年版）》中要求數(shù)學(xué)課程要特別注重發(fā)展學(xué)生的“應(yīng)用意識”和“創(chuàng)新意識”?；诖?，現(xiàn)行教材中，對于引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決問題環(huán)節(jié)做了重點設(shè)計。一線教師對學(xué)生將現(xiàn)實問題抽象為數(shù)學(xué)問題能力的培養(yǎng)也給予了應(yīng)有的關(guān)注。本期話題圍繞學(xué)生應(yīng)用意識培養(yǎng)策略展開探討。

數(shù)學(xué)應(yīng)用是指人們用數(shù)學(xué)思想、方法解決實際問題的顯性過程，但它不等同于數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，也不等同于“應(yīng)用數(shù)學(xué)”。根據(jù)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識的形成過程，我們可以用一張圖表示（圖1）。

數(shù)學(xué)應(yīng)用→數(shù)學(xué)應(yīng)用能力→數(shù)學(xué)應(yīng)用意識→數(shù)學(xué)意識

數(shù)學(xué)應(yīng)用能力是指應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法解決問題的思維和策略，它包含兩個方面：其一，解數(shù)學(xué)題的能力；其二，將生活中的實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題來處理的能力。數(shù)學(xué)應(yīng)用意識是一種從數(shù)學(xué)角度，用數(shù)學(xué)眼光觀察、分析周圍生活問題的積極的心理傾向和思維反應(yīng)，具有可培養(yǎng)的主觀能動性。數(shù)學(xué)意識是指個體在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)活動中形成的對數(shù)學(xué)的認識，影響著個體的活動方式，它是數(shù)學(xué)教學(xué)所追求的最終境界?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011年版）》（以下簡稱《課程標準》）對數(shù)學(xué)應(yīng)用意識作了具體化的描述：一方面，有意識利用數(shù)學(xué)概念、原理和方法解釋現(xiàn)實世界中的現(xiàn)象，解決現(xiàn)實世界中的問題；另一方面，認識到現(xiàn)實生活中蘊藏著大量與數(shù)量和圖形有關(guān)的問題，這些問題可以抽象成數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)的方法予以解決。

基于以上認知和要求，筆者結(jié)合教學(xué)實踐，從現(xiàn)實問題“數(shù)學(xué)化”、數(shù)學(xué)內(nèi)部“規(guī)律化”、數(shù)學(xué)知識“現(xiàn)實化”三個維度，簡述小學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識的培養(yǎng)策略。

一、依托背景——現(xiàn)實問題“數(shù)學(xué)化”

斯托利亞指出，一個完整的數(shù)學(xué)活動可以分為：經(jīng)驗材料的數(shù)學(xué)組織化，數(shù)學(xué)材料的邏輯組織化，數(shù)學(xué)理論的應(yīng)用三個階段。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，我們要關(guān)注知識的產(chǎn)生背景和實際應(yīng)用，讓學(xué)生經(jīng)歷知識的產(chǎn)生、形成、應(yīng)用全過程。一般來說，知識的產(chǎn)生來源于現(xiàn)實生活的需要和數(shù)學(xué)內(nèi)部本身的需要。只有基于以上兩點需求的背景依托，才能真正地落實現(xiàn)實問題的“數(shù)學(xué)化”。

1. 生活背景。

例如，教學(xué)“乘法分配律”（蘇教版四年級下冊，圖2）一課時，我們可以讓學(xué)生自主借助生活背景，理解“乘法分配律”等式左右兩邊相等的道理。

絕大多數(shù)教師是按“生活引入—觀察猜想—舉例驗證—歸納概括”這樣的環(huán)節(jié)進行本課的教學(xué)，忽略了生活背景的價值。背景價值不僅僅是“引入”作用，更重要的是在學(xué)生發(fā)現(xiàn)“（6+4）×24=6×24+4×24”后，思考“等號左右兩邊的算式相等的理由有哪些？”經(jīng)過學(xué)生獨立思考、合作交流后，也就能找出相等的理由了：（1）計算結(jié)果都是240（根）；（2）解決的是同一個問題，殊途同歸；（3）雖然先算的內(nèi)容不一樣（順序不一樣），但是最后都是求四、五年級一共要領(lǐng)多少根跳繩；（4）左邊表示“10個24”，右邊表示“6個24與4個24的和，也是10個24”。其中，理由（1）～（3）都是利用生活背景進行詮釋的，理由（4）是從數(shù)學(xué)本質(zhì)的角度進行詮釋的。這樣學(xué)生經(jīng)歷了從生活經(jīng)驗到數(shù)學(xué)經(jīng)驗，從具體背景到算式意義，從帶量理解到無量抽象的過程，體會了生活背景的價值及限制，有利于更好地理解乘法分配律的本質(zhì)，真正地讓學(xué)生經(jīng)歷分配律產(chǎn)生的現(xiàn)實需要，從而有效落實從生活到數(shù)學(xué)的橫向數(shù)學(xué)化。

2. 圖形背景。

教學(xué)“乘法分配律”一課，在讓學(xué)生說明等式左右兩邊相等的環(huán)節(jié)，教師追問：“除了以上4個方面的理由外，還有其他的理由嗎？”引導(dǎo)學(xué)生深入思考，經(jīng)過學(xué)生的思考與交流后，得到如下方法予以詮釋（圖3）：長方形A與長方形B的面積之和等于大長方形的面積，所以（6+4）×24=6×24+4×24。

這樣，學(xué)生在“圖形背景”與“算式本質(zhì)”的關(guān)聯(lián)比較中，利用的是數(shù)與形的有效結(jié)合，依托的是直觀的圖形背景，水到渠成地理解了乘法分配律的意義，也實現(xiàn)了從直觀到抽象的數(shù)學(xué)化過程，真正地給學(xué)生呈現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識的形成過程，體會數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用價值。

二、關(guān)注結(jié)構(gòu)——數(shù)學(xué)內(nèi)部“規(guī)律化”

培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，不僅僅要關(guān)注數(shù)學(xué)與現(xiàn)實生活的聯(lián)系，也要關(guān)注“數(shù)學(xué)現(xiàn)實”在學(xué)習(xí)過程中的價值。只有關(guān)注“數(shù)學(xué)現(xiàn)實”，才能引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，從整體上建構(gòu)數(shù)學(xué)體系，從而實現(xiàn)“從數(shù)學(xué)到數(shù)學(xué)”的內(nèi)部發(fā)展，實現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科知識結(jié)構(gòu)與整體思維結(jié)構(gòu)的無縫鏈接。

1. 知識技能結(jié)構(gòu)。

在教學(xué)“三角形內(nèi)角和”（人教版四年級下冊）一課時，學(xué)生通過量、剪、拼、折等操作活動，經(jīng)歷“猜想—驗證”的探究過程，得出結(jié)論。為了增強學(xué)生的應(yīng)用意識，教師可緊緊抓住“三角形內(nèi)角和是180度”這一數(shù)學(xué)現(xiàn)實，立刻進行追問：“如果是四邊形，它的內(nèi)角和又是多少度呢？五邊形、六邊形……”因為學(xué)生有了“三角形內(nèi)角和180度”的知識基礎(chǔ)和轉(zhuǎn)化思想的已有經(jīng)驗，學(xué)生通過進一步的思考探究、比較交流，完善了多邊形內(nèi)角和的知識體系，從而在串聯(lián)遷移中實現(xiàn)從一個知識點到一類知識的整體認知，即由點及面，由特殊到一般的抽象過程。

2. 思想方法結(jié)構(gòu)。

無疑，數(shù)學(xué)的課堂是數(shù)學(xué)化思考的課堂，一節(jié)有思考的數(shù)學(xué)課是不斷向前推進和向上生長的。當學(xué)生發(fā)現(xiàn)多邊形內(nèi)角和的規(guī)律時，教師可以再進一步追問：“還有沒有其他方法？”教師將學(xué)生思維再一次引向深入、求異、創(chuàng)新。學(xué)生再次的合作討論交流，迸發(fā)出創(chuàng)新思維火花，得到如下詮釋的方法（圖4）。

通過不同方法的聯(lián)系、呈現(xiàn)，學(xué)生會發(fā)現(xiàn)不管用哪一種方法，它們的本質(zhì)都是利用轉(zhuǎn)化思想將多邊形的內(nèi)角和轉(zhuǎn)化成三角形的內(nèi)角和，它們的數(shù)學(xué)現(xiàn)實都是三角形的內(nèi)角和。

本課中的前一環(huán)節(jié)，實現(xiàn)的是知識技能的結(jié)構(gòu)化，側(cè)重的是一類知識的結(jié)構(gòu)化，而后一環(huán)節(jié)則是圍繞轉(zhuǎn)化思想，實現(xiàn)的是學(xué)習(xí)方法的結(jié)構(gòu)化，側(cè)重的是用數(shù)學(xué)思想方法解決問題的思維和策略的結(jié)構(gòu)化，從而推動“數(shù)學(xué)到數(shù)學(xué)”的內(nèi)部發(fā)展，數(shù)學(xué)內(nèi)部關(guān)聯(lián)的規(guī)律化。這個過程不僅是數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用過程，更是數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用過程，自然學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識也就有效增強。

三、應(yīng)用模型——數(shù)學(xué)知識“現(xiàn)實化”

學(xué)習(xí)的目的在于“用”，而數(shù)學(xué)模型正是用數(shù)學(xué)知識來解決實際問題的一座橋梁。應(yīng)用意識強調(diào)學(xué)生有意識地利用數(shù)學(xué)概念、原理和方法解釋現(xiàn)實生活中的現(xiàn)象，解決現(xiàn)實問題。這里的意識是一種主動意識，是主動應(yīng)用數(shù)學(xué)知識的過程，一是培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、提出數(shù)學(xué)問題能力的過程；二是要突出學(xué)生能主動地運用數(shù)學(xué)方法分析問題、解決問題的過程。弗萊登塔爾認為，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的本質(zhì)，要凸顯數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識“現(xiàn)實化”的過程。數(shù)學(xué)知識現(xiàn)實化的過程，恰恰是一個應(yīng)用數(shù)學(xué)模型的過程。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中要加強數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用，讓學(xué)生主動地找到數(shù)學(xué)模型與現(xiàn)實問題的關(guān)聯(lián)，培養(yǎng)學(xué)生主動地“用數(shù)學(xué)”的意識，進而落實數(shù)學(xué)意識的培養(yǎng)。

1. 釋模。

數(shù)學(xué)知識現(xiàn)實化，意味著學(xué)生要主動地運用數(shù)學(xué)模型去解釋現(xiàn)實世界、刻畫現(xiàn)實問題。因此，在一個數(shù)學(xué)知識教學(xué)完成后，教師要引導(dǎo)學(xué)生主動地去思考現(xiàn)實生活中有哪些問題屬于這一知識點，這一知識點和哪些現(xiàn)實現(xiàn)象是相關(guān)的。同時還要求學(xué)生主動地應(yīng)用知識去分析、解釋這些現(xiàn)實問題是否合理。

2. 用模。

發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識，一方面要展示數(shù)學(xué)知識的來龍去脈，盡量揭示知識產(chǎn)生的背景和知識的實際應(yīng)用，使學(xué)生經(jīng)歷知識的形成過程和應(yīng)用過程。另一方面，鼓勵學(xué)生主動地運用數(shù)學(xué)知識解決問題，主動尋求數(shù)學(xué)知識的實際背景；在生活中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題，設(shè)計解決問題的方案，尋求合理解決問題的策略。例如，在教學(xué)完“圓的面積”一課（人教版六年級上冊）后，可以設(shè)計如下一組問題：

（1）在一張正方形紙中畫一個最大的圓，圓的面積是正方形面積的幾分之幾？（圖5）

（2）明明在大小相同的正方形內(nèi)設(shè)計了一個的圖案，其中涂色部分的面積相等嗎？為什么？（圖6）

（3）用三張同樣大小的正方形紙，按下面方式剪出不同規(guī)格的圓片，剪完后哪張紙剩下的廢料多？你有什么發(fā)現(xiàn)？（圖7）

三個問題層層遞進，從簡單到復(fù)雜，從基礎(chǔ)到應(yīng)用，從封閉到開放，學(xué)生在分析解決問題的過程中，需要主動思考、主動應(yīng)用數(shù)學(xué)模型，真正地去建構(gòu)數(shù)學(xué)知識，掌握學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一般方法，使現(xiàn)實問題“數(shù)學(xué)化”，從而形成學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的關(guān)鍵能力。

總之，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，需要讓學(xué)生經(jīng)歷“現(xiàn)實問題數(shù)學(xué)化”“數(shù)學(xué)內(nèi)部規(guī)律化”“數(shù)學(xué)知識現(xiàn)實化”的實踐路徑，一方面關(guān)注數(shù)學(xué)的產(chǎn)生背景和實踐應(yīng)用，另一方面重視數(shù)學(xué)的抽象過程和嚴謹邏輯，使學(xué)生既能理解數(shù)學(xué)與外部化背景關(guān)系，也能體味數(shù)學(xué)的內(nèi)在聯(lián)系。這樣的過程既凸顯數(shù)學(xué)知識的現(xiàn)實應(yīng)用，又注重發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力，從而使學(xué)生擁有用數(shù)學(xué)的眼光看世界、用數(shù)學(xué)的思維分析世界和用數(shù)學(xué)的語言表達世界的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

（作者單位：福建省廈門市教育科學(xué)研究院）