陳愛蘭

摘 要：“植樹問題”是新課程改革后，小學(xué)數(shù)學(xué)教材新增的一塊內(nèi)容，因?yàn)橄鄬Κ?dú)立，經(jīng)常被教師選作教研課的內(nèi)容，也有多位名師曾展示過這節(jié)課，研究眾多。怎么樣讓教師的思考轉(zhuǎn)變成學(xué)生的思考和體驗(yàn)，而不是為了標(biāo)新立異？怎樣“全景式”構(gòu)建植樹問題的模型？以三次實(shí)踐為線索展開，呈現(xiàn)所作的探索與思考。

關(guān)鍵詞：植樹問題；全景式；問題模型

“植樹問題”本質(zhì)上是關(guān)于點(diǎn)數(shù)、間隔距離、間隔數(shù)三者關(guān)系的問題，在日常生活中比較常見，但不同“植樹方法”的模型有細(xì)微差別，因而學(xué)生學(xué)習(xí)起來普遍感到比較困難。原來安排在人教版實(shí)驗(yàn)教科書四年級下冊“數(shù)學(xué)廣角”學(xué)習(xí)時，教材按直線上種樹、封閉線上種樹兩大類，“兩端都種”“兩端都不種”“只種一端”和“方陣問題”四小類分課時教學(xué)。2011年《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》修訂后，“植樹問題”調(diào)整到五年級上冊“數(shù)學(xué)廣角”單元，刪除了“方陣問題”，代之以“封閉種樹”，基本還是按兩大類、四小類一步一小類“分鏡頭”式教學(xué)。教材這樣編排，學(xué)生理解起來是容易多了，知識的聯(lián)系卻不緊密，學(xué)習(xí)的實(shí)踐性、探究性不強(qiáng)，體驗(yàn)不足，要記憶的東西卻不少，因而遺忘也很快。

有沒有可能，通過素材重組，改變教材的呈現(xiàn)順序和分類方法，在一節(jié)課的時間和空間里，使植樹問題的所有模型得以簡潔建構(gòu)？適逢機(jī)遇，筆者進(jìn)行了實(shí)踐與探索。

一、“植樹問題”教學(xué)嘗試及帶來的思考

【實(shí)踐與探索】2017年10月13日，互助共同體上課在自己學(xué)校和兄弟學(xué)校進(jìn)行了多次磨課。下面是第三次上課的課堂表述：

（一）課堂描述

1.情境引入，揭示課題

呈現(xiàn)三個情境：從中間剪斷紙條；大橋柱子與鐵鏈；圓形水池欄桿。引導(dǎo)畫圖表示。

歸結(jié)并揭題：總距離÷間隔距離=間隔數(shù)

板書：植樹問題

2.問題探究，建立模型

（1）呈現(xiàn)第一層次探究問題：學(xué)校要美化校園，需在20 m長的線上每隔5 m植一棵樹，可以怎樣植樹？想一想后用簡潔的方法畫一畫…

嘗試后展示幾個典型信息，引導(dǎo)思考：同樣是4個間隔，有什么不同？

用紙條直觀演示化封閉為開放，引導(dǎo)學(xué)生初步分成三種基本情況。

（2）呈現(xiàn)第二層次探究問題：如果是在25 m、30 m、35 m…的線上，每隔5 m植一棵呢？還是先畫一畫，再說一說。

引導(dǎo)學(xué)生通過觀察思考，借助數(shù)據(jù)計(jì)算驗(yàn)證，得出三個基本模型。

3.初步運(yùn)用，體會關(guān)鍵

師：解決植樹問題，你覺得需要注意什么？

4.反思學(xué)習(xí)，課堂小結(jié)

師：這節(jié)課，我們共同研究了什么？你有什么感想？

（二）教學(xué)反思

第一層次為初步研究，由于受到引入環(huán)節(jié)暗示，探究方向更為明確，表示探究成果抽象度更高了，利用實(shí)物畫圖的只占班級學(xué)生，至少能畫出一種植樹方法的占。第二個層次為深入研究，經(jīng)過第一次研究后的分類和思考，的學(xué)生有選擇地很順利完成了畫圖、小組討論等活動。通過材料重組，只用了兩個關(guān)聯(lián)問題引導(dǎo)學(xué)生去探究，就得到了植樹問題所有信息，打破了教材3課時的編排方式，避免了同一層次學(xué)習(xí)過程短時間內(nèi)過多地簡單重復(fù)。而且教材例題被改編成練習(xí)，更高凸顯了“審題方法”“植樹情況與相應(yīng)文字描述轉(zhuǎn)換”的感悟。探究已經(jīng)比較得法，為什么模型的提煉和理解還是讓部分學(xué)生遲遲作不出反應(yīng)？假如數(shù)據(jù)大了怎么辦？如何“全景式”構(gòu)建？

（三）改進(jìn)對策

1.關(guān)注植樹問題包含的數(shù)學(xué)思想

本次實(shí)踐中，模型建立產(chǎn)生短暫卡殼現(xiàn)象，在于有時根據(jù)表象建模，激烈易產(chǎn)生偏差，這里“兩端都種”“兩端都不種”導(dǎo)致的理解歧義。所以教學(xué)要由憑借表象和數(shù)據(jù)計(jì)算建立模型，過渡到依據(jù)內(nèi)在思想理解、歸納規(guī)律。這個內(nèi)在規(guī)律就是“一一對應(yīng)”思想。

2.素材組織利用還需改進(jìn)和深挖潛在價(jià)值

實(shí)踐中，應(yīng)該說幾個素材在承載知識、驅(qū)動探究、運(yùn)用鞏固等方面起到了不同的作用，還是比較適切的。好的素材，如果沒有一條線索把它們串聯(lián)起來，也不過是散亂的“珍珠”。串聯(lián)植樹問題相關(guān)材料是問題的數(shù)學(xué)本質(zhì)，而非“種樹”。需要思考的是，怎么提供素材，怎么為學(xué)生建構(gòu)模型、體驗(yàn)方法、感悟思想做好服務(wù)，怎么更好地現(xiàn)實(shí)“全景整合”。

【幾次教學(xué)實(shí)踐觸發(fā)的思考】“植樹問題”需要怎么“創(chuàng)新地教”。

（1）抓住知識前情，關(guān)注學(xué)生起點(diǎn)。改版前和改版后的人教版教材，都是直接用“校園植樹”情境引入的，貼近現(xiàn)實(shí)，可離學(xué)生的經(jīng)驗(yàn)并非是最靠近的，而且也不具突破難點(diǎn)的作用。第二次課堂實(shí)踐的引入情境貼近學(xué)情，但是還沒有最切合植樹問題的知識情境及學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn)。所以，引入應(yīng)該從學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn)“間隔排列”和知識前情“一一對應(yīng)”做起。

（2）重組材料，精簡模型。僅靠教材的三個例題是有局限性的，模型的外延應(yīng)該再擴(kuò)展一些才能豐富模型的內(nèi)涵。這樣就需要重組材料，設(shè)計(jì)一些任務(wù)，讓學(xué)生合作探究，形成不同的學(xué)習(xí)資源，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分類比較、分析交流，形成植樹問題知識的“全景”，從整體出發(fā)，建立精簡的模型。上面的實(shí)踐有這樣的發(fā)展趨勢，但還不夠，還要創(chuàng)設(shè)更大的思維空間。

（3）滲透思想方法，溝通模型。通過兩次教學(xué)實(shí)踐，植樹問題的幾個模型雖然有些變化，通過引導(dǎo)得當(dāng)，學(xué)生完全可以把它們溝通起來，從而使學(xué)習(xí)產(chǎn)生質(zhì)的飛躍。很遺憾，兩次實(shí)踐都沒有突破。如果再次教學(xué)，就需要引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)和經(jīng)歷過程，感悟和理解模型包含的共性東西，以它為統(tǒng)領(lǐng)溝通全部模型，使三個模型再升華為一個數(shù)學(xué)思想，這就是“一一對應(yīng)”思想。

二、“全景整合式”構(gòu)建植樹問題模型的構(gòu)想

基于以上思考，把教學(xué)目標(biāo)設(shè)定個為：（1）知識技能上，能感悟并歸納說明三種不同情況的植樹棵數(shù)和間隔數(shù)之間的關(guān)系；（2）過程方法上，能憑借數(shù)形結(jié)合的手段，通過獨(dú)立思考、觀察交流、特點(diǎn)歸類等方法，研究發(fā)現(xiàn)三種植樹問題的模型，感受對應(yīng)思想；（3）情感體驗(yàn)上，在嘗試、思考、交互學(xué)習(xí)中體驗(yàn)成功感，增強(qiáng)學(xué)習(xí)自信。

學(xué)習(xí)總策略設(shè)想為：以教材整合重組為手段，通過探究生成資源，改變教材一個課題一個知識點(diǎn)的“小鏡頭”編排形式，從知識整體出發(fā)，把植樹問題的幾個模型組合在一起，創(chuàng)建一個大背景，形成大思維空間；以實(shí)際運(yùn)用和對應(yīng)思想為紐帶，溝通模型，感悟植樹問題的本質(zhì)。兩方面的綜合，就是本文所講的“全景整合式”構(gòu)建。

“全景式”構(gòu)建植樹問題模型，包含的意思可用下面結(jié)構(gòu)圖表示。

三、“全景整合式”構(gòu)建植樹問題模型的實(shí)踐與探索

【第三次實(shí)踐與探索】2017年10月28日，互助共同體數(shù)學(xué)賽課活動。

（一）課堂描述

1.材料引入，明確任務(wù)

呈現(xiàn)三個材料，引導(dǎo)學(xué)生觀察、思考、交流。

（1）□△□△□△□△…□△□△如果□有68個，則△有（ ）個。

師追問：一個□、一個△間隔循環(huán)排列，還可以理解成□和△怎樣對應(yīng)？

板書：間隔一一對應(yīng)

（2）□△□△□△□△…□△□如果□有78個，則△有（ ）個。

（3）如果□有88個，則△有（ ）個。

師：誰能再解釋一下，△為什么要少1個？

師：和前面的排列形式不同，還是一一對應(yīng)的嗎？

過渡，揭示課題。

2.引導(dǎo)研究，建立模型

（1）第一層次問題研究：某校組織各班植樹綠化校園，在植樹中他們遇到一個問題。需要在20 m長的線上植樹，每隔5 m植一棵，植得有形些，可以怎么植？需要多少樹苗？

學(xué)生嘗試用自己的方法畫圖，教師巡視并收集信息。

反饋學(xué)生信息，引導(dǎo)評價(jià)。

導(dǎo)思：同樣是4個間隔，有什么不同？補(bǔ)充板書：總距離÷間隔距離=間隔數(shù)。

學(xué)生歸納“兩端都種，兩端都不種，只種一段，種成圓形”4種情況。

師追問：種成圓形就是首尾相連封閉種樹，要是展開來，你覺得和之前哪種最有聯(lián)系？

學(xué)生猜測后，把直線植樹、封閉植樹的四種情形合并分類為三種基本類型。

師追問：封閉種，只能種成圓形嗎？

（2）第二層次問題研究：如果是在25 m、30 m、35 m…的線上，每隔5 m植一棵，可以怎么植？需要多少棵樹苗？

學(xué)生選擇一種栽法操作，教師巡視收集信息，反饋整理，小組討論后全班交流。

抓住時機(jī)，指個別同學(xué)上黑板用彩色箭頭表示“一一對應(yīng)”。

師追問：如果距離再長一些，還有這樣的規(guī)律嗎？

3.初步運(yùn)用，感悟關(guān)鍵

呈現(xiàn)編自例題的問題，引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立練習(xí)：（1）同學(xué)們在長100 m的小路一邊植樹，從頭到尾每隔5 m栽一棵。一共要栽多少棵樹（2）大象館和猴山之間相距60 m。要在兩館間的小路兩旁栽樹，相鄰兩棵樹距離是3 m。一共要栽多少棵樹？

（3）小明家門前有一條35 m的小路，要在路的一旁每隔5 m栽樹，起點(diǎn)不栽，終點(diǎn)要栽。一共要栽樹多少棵？

引導(dǎo)感悟：想一想，解決植樹問題，需要先求出什么？關(guān)鍵要弄清什么？

4.實(shí)踐運(yùn)用，體會本質(zhì)

呈現(xiàn)練習(xí)：邊默讀邊思考，這里什么是“間隔”？什么是“樹”？問題怎么解決？

（1）5路公共汽車的行駛路線全長12 km，相鄰兩站之間路程都是1 km。共設(shè)有幾個車站？

（2）馬拉松比賽全程約42 km。平均每3 km設(shè)置一處飲水服務(wù)點(diǎn)（起點(diǎn)不設(shè)，終點(diǎn)要設(shè)），全程一共有多少處這樣的服務(wù)點(diǎn)？

5.反思總結(jié)：這節(jié)課你學(xué)到了什么？我們是怎么研究的？

（二）教學(xué)反思

首先，這次實(shí)踐不再用情境引入，而是選擇數(shù)學(xué)特征更強(qiáng)的素材，即三角形和正方形的有序排列。有直線排列，也有封閉排列，有剛好對應(yīng)的，也有不完全對應(yīng)的。與第二次實(shí)踐比，優(yōu)越之處在于：既隱含有“植樹”的不同方式，又蘊(yùn)含著“對應(yīng)思想”。這樣就做到了知識前情、學(xué)習(xí)起點(diǎn)和方法指導(dǎo)兼顧。讓學(xué)生通過觀察、比較和思考，受到暗示，有所感悟，為即將展開的探究作了鋪墊。

其次，延續(xù)了第二次實(shí)踐中利用大問題分層推進(jìn)探究的做法，但在討論中有意識地引導(dǎo)學(xué)生從“一一對應(yīng)”角度建立模型，有效消除了“兩端都種”要“+2”“兩端都不種”就“-2”的尷尬。也避免了通過數(shù)據(jù)計(jì)算驗(yàn)證模型的局限性，對模型本質(zhì)的揭示更清晰。通過追問，想象“更長距離植樹”具有同樣規(guī)律，擴(kuò)大了概念的外延，思維的空間更大了，模型構(gòu)建更科學(xué)。通過操作觀察、小組合作、討論交流，用課堂生成的資源，自然地呈現(xiàn)了植樹問題模型“家族的全體成員”，知識整體性更強(qiáng)。

再次，全課從感受思想方法開始，到經(jīng)歷對應(yīng)思想建構(gòu)模型的過程，然后感悟運(yùn)用關(guān)鍵，接著增加了生活中的“植樹問題”拓展體驗(yàn)，整個過程形成“植樹問題”學(xué)習(xí)的“全貌”。通過學(xué)習(xí)學(xué)生不但知道了植樹問題是與“種樹”有關(guān)的問題，而且感悟到了生活中“非種樹”的問題，只要是與間隔距離、間隔數(shù)和點(diǎn)數(shù)有關(guān)，它也是“植樹問題”。這就由一個問題的學(xué)習(xí)上升為一類問題的學(xué)習(xí)，所以，植樹問題模型的建立是“全景整合式”的，比前幾次實(shí)踐更完整、更合理。

（三）改進(jìn)對策

1.從新舊知識聯(lián)系的角度出發(fā)，借助“平均分”融會貫通總距離、間隔距離和間隔數(shù)之間的關(guān)系

“每隔x”植一棵，和經(jīng)驗(yàn)中的“平均分”聯(lián)系最緊密，植樹問題和平均分都有“不重復(fù)、不遺漏”的相同含義在里面。

2.從構(gòu)建大問題、增強(qiáng)思考性角度看，可以和實(shí)踐中那樣還是放在探究環(huán)節(jié)

關(guān)鍵是，當(dāng)組織反饋后，挖掘?qū)W生信息時，教師不要越位，盡量減少“教”和“給”的痕跡，把握契機(jī)，利用適時追問，引導(dǎo)學(xué)生就素材進(jìn)行再思考，解決機(jī)制的感悟問題。

總之，無論是關(guān)注過程還是材料重組，無論是學(xué)法指導(dǎo)還是放手探究，無論是感悟關(guān)鍵還是體驗(yàn)思想方法，前提都是站在知識的整體角度去把握教材，研究學(xué)習(xí)資源的內(nèi)在線索，在精簡高效思想指導(dǎo)下串小問題為“全景式”。關(guān)鍵還是要針對合適的教學(xué)目標(biāo)，充分挖掘材料的多重價(jià)值和相互聯(lián)系，從而讓系列素材暴露出學(xué)習(xí)內(nèi)容的數(shù)學(xué)本質(zhì)。

事實(shí)上有許多課的教學(xué)都存在與“植樹問題”類似的情況，怎么繼承和創(chuàng)新尤為重要。比如：“乘法口訣”教學(xué)、“大數(shù)的認(rèn)識”教學(xué)、“三角形特征”教學(xué)、“用字母表示數(shù)”教學(xué)、“方程與解決問題”教學(xué)、“長方體和正方體的認(rèn)識”教學(xué)、“分?jǐn)?shù)加減法”教學(xué)、“分?jǐn)?shù)乘法”教學(xué)等。只要我們認(rèn)真分析，深入思考，勇于實(shí)踐，就有可能實(shí)現(xiàn)某塊知識的“全景式”教學(xué)，就有可能做出少許的自我超越。

編輯 段麗君