練利鋒

(重慶第二師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息工程學(xué)院,重慶 400065)

1 引言及預(yù)備知識

設(shè) (S,+,·)是 (2,2)-型代數(shù),其中 “+” 和 “·” 是二元運(yùn)算.稱 (S,+,·)是半環(huán),若S滿足:

(1)(S,+)和 (S,·)是半群;

(2)(S,+,·)滿足等式x(y+z)≈xy+xz和(x+y)z≈xz+yz.

設(shè)ρ是半環(huán)(S,+,·)上的等價關(guān)系.如果ρ還滿足:

則稱ρ是半環(huán)(S,+,·)上的同余關(guān)系.

半環(huán)可以看作是由分配律聯(lián)系著的同一非空集合上的兩個半群,因此,從半環(huán)的加法半群或乘法半群出發(fā)是研究半環(huán)的一種思路.格林關(guān)系在半群理論發(fā)展過程中扮演著非常重要的角色,而半環(huán)的乘法半群和加法半群都有各自的格林關(guān)系,將(S,+)上的格林L(R,D)關(guān)系記為上的格林L(R,D)關(guān)系記為因此對半環(huán)的乘法半群和加法半群的格林關(guān)系的研究是有意義的.許多代數(shù)學(xué)者對半群(半環(huán))上的格林關(guān)系進(jìn)行了研究.例如:文獻(xiàn)[1]對半群上的格林關(guān)系進(jìn)行了研究,文獻(xiàn)[2]對完全正則半群上的格林關(guān)系進(jìn)行了研究,文獻(xiàn)[3]研究了冪等元半環(huán)的乘法班群上的格林D關(guān)系,文獻(xiàn)[4]主要研究了冪等元半環(huán)上的格林L關(guān)系,文獻(xiàn)[5-11]主要對冪等元半環(huán)上及其相關(guān)半環(huán)上的格林關(guān)系進(jìn)行了刻畫,得到了一些有趣的結(jié)論.然而,大多數(shù)情況下,格林關(guān)系并不是同余關(guān)系,但我們發(fā)現(xiàn)用格林關(guān)系的開同余代替同余關(guān)系本身更加方便.

設(shè)S是半環(huán),若S滿足恒等式:

則對任意的a∈S,由aan?2a=a且aan?2=an?1=an?1a可知 (S,·)是完全正則半群.因此將滿足(1),(2),(3)這三個附加恒等式的所有半環(huán)作成的簇記為CR(n,1).

設(shè)S是半環(huán),ρ為S上的等價關(guān)系.用ρ⊕表示包還在ρ中的(S,+)上最大的同余關(guān)系,稱其為由ρ確定的(S,+)上的開同余.類似的,由ρ確定的(S,·)上的開同余記為ρ⊙.由文獻(xiàn) [6]可知,

盡管ρ⊕和ρ⊙是半群 (S,+)與 (S,·)上的同余關(guān)系,但它們并不是半環(huán)(S,+,·)上的同余關(guān)系.稱ρ⊕為加法開同余,ρ⊙為乘法開同余.并稱(S,+,·)上的包含在ρ中的最大的同余關(guān)系為S上的開同余,記為ρ?.

設(shè)S∈CR(n,1).則由文獻(xiàn)[1]易得(S,+)和(S,·)上的和可分別表示為:

本文主要研究半環(huán)類CR(n,1)上格林關(guān)系的同余,并得到了一些有趣的結(jié)論.

2 CR(n,1)中半環(huán)上格林關(guān)系的開同余

引理 2.1[9]設(shè)ρ為半環(huán)S上的等價關(guān)系,則ρ的開同余ρ?為ρ?=(ρ⊕)⊙,或等價的有

下面主要考慮半環(huán)類CR(n,1)中半環(huán)上的一些特殊的開同余,也就是半環(huán)上格林關(guān)系的開同余.

由文獻(xiàn)[1]可知,對于任意半環(huán)(S,+,·),是(S,+)上的右同余,是(S,+)上的左同余,且與都是(S,·)上的同余關(guān)系.同樣,文獻(xiàn)[8]證明了是半環(huán)S上的同余關(guān)系.因此,它們的開同余可表示成下面的簡單形式.

引理 2.2設(shè)(S,+,·)∈CR(n,1),則與可簡單的表示為:

?a,b∈ S.

引理 2.3設(shè) (S,+,·)∈CR(n,1),則?a,b∈S,有

定理 2.1設(shè)S,T為任意半環(huán),φ:S→T為滿同態(tài),則且a,b∈S.若在S中 (a,b)∈S,則在T中 (aφ,bφ)∈T.

證明我們只證明類似可證.為了方便設(shè)0φ=0,1φ=1.

設(shè)在S中,則

于是

從而可知在T中有 (aφ,bφ)∈χ.

設(shè)(a,b)∈˙L?,對于任意的p,q∈T0,r1,r2∈T1.存在x,y∈S0,u,v∈S1,使得

已知在S中,

而由φ是同態(tài)映射可知,在T中,

即

因此在T中,

文獻(xiàn)[8]利用半環(huán)S的加法半群(S,+)上的格林關(guān)系的開同余給出了半環(huán)左、右約簡的概念,類似的,我們也可以借助半環(huán)的乘法半群(S,·)上的格林關(guān)系的開同余定義半環(huán)的左、右約簡.

定義 2.1如果是半環(huán)S上的恒等關(guān)系,則稱S為左約簡的,對偶的,如果是半環(huán)S上的恒等關(guān)系,則稱S為右約簡的.

定理 2.2設(shè)(S,+,·)∈CR(n,1),則分別是左、右約簡的.

證明設(shè)且φ:S→T為自然同態(tài)映射,令0φ=0,1φ=1.

設(shè)?a,b∈S,使得在T中滿足由于為半環(huán)T上的同余關(guān)系,因此對于任意的x,y∈S0,u∈S1且

于是可得

因此存在r1,r2∈S1,使得

從而可知

[1]Petrich M,Reilly N R.Completely Regular Semigroup[M].New York:Wiley,1999.

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