阮世華，宋麗平

（莆田學(xué)院　數(shù)學(xué)與金融學(xué)院，福建　莆田　351100）

最大模原理是解析函數(shù)特有的性質(zhì).最大模最小模原理是解析函數(shù)論中最有用的定理之一,具有許多重要的應(yīng)用.

1　單復(fù)變函數(shù)的最大模、最小模原理及其推論

定理1（最大模原理[1]）設(shè)函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，則|f(z)|在D內(nèi)任何點(diǎn)都不能達(dá)到最大值，除非在D內(nèi)f(z)恒等于常數(shù).

最大模原理說明了解析函數(shù)在區(qū)域邊界上的最大?？梢韵拗茀^(qū)域內(nèi)的最大模.則也是解析函數(shù)特有的性質(zhì).

由此原理我們不難得出下面幾個(gè)推論：

推論1[1]設(shè)（1）函數(shù)f(z)在有界區(qū)域D內(nèi)解析，在閉區(qū)域=D+?D上連續(xù)；

則除 f(z)為常數(shù)的情形外，|f(z)|＜M(z∈D).

推論2（最小模原理[1]）若區(qū)域D內(nèi)不恒為常數(shù)的解析函數(shù)f(z)，在D內(nèi)的點(diǎn)z0有f(z0)≠0，則|f(z0)|不可能是|f(z)|在D內(nèi)的最小值.

那么對應(yīng)的最小模原理的推論：

推論3[1]設(shè)（1）函數(shù)f(z)在有界區(qū)域D內(nèi)解析，在有界閉區(qū)域=D+?D上連續(xù)；

（2）f(z)≠0(z∈D)；

（3）存在 m＞0 使 |f(z)|≥M(z∈D)，則除 f(z)為常數(shù)外，|f(z)|＞m(z∈D).

推論 4設(shè)（1）函數(shù) f(z)在區(qū)域 D 內(nèi)解析，（2）f(z)≠0(z∈D)；則除f(z)為常數(shù)外，|f(z)在D內(nèi)既不能達(dá)到最大值，也不能達(dá)到最小值.

2　多元復(fù)變函數(shù)的最大模、最小模原理及其推論

我們分別用Cn和Rn表示n個(gè)復(fù)變數(shù)和實(shí)變數(shù)的空間，Cn=Rn+iRn，Rn空間中的點(diǎn)用 x=(x1,x2,…,xn)，y 等表示，Cn空間中相應(yīng)的點(diǎn)用 z=(z1,z2,…,zn)=x+iy，ζ，…表示.

定義1[2]函數(shù)f(z)稱為在點(diǎn)z0∈Cn全純，如果在這點(diǎn)的某一個(gè)鄰域存在所有一階偏導(dǎo)數(shù)，α=1,2,…,n.即如果滿足Cauchy-Riemann條件,α=1,2,…,n.

其中 f=u+ivn,zα=xα+iyα.

因此，函數(shù)f(z)在Riemann意義下在z0∈Cn全純，如果它在這點(diǎn)的某一鄰域分別對每一個(gè)變量全純（當(dāng)固定其余變量時(shí)）.

定理2[2]若f(z)在域D?Cn全純，在D中一非空開子集上為零，則f(z)在D恒等于零.

定理3（最大模原理[2]）如果f(z1,z2,…,zn)在區(qū)域D?Cn內(nèi)全純，在閉區(qū)域=D+?D上連續(xù)，則除了f(z1,z2,…,zn)為常數(shù)的情形外，那么|f(z1,z2,…,zn)|只能在D的邊界上取最大值.

證明實(shí)際上只要證明，如果|f(z)|在D內(nèi)的一點(diǎn)a=(a1,a2,…,an)達(dá)到其極大值，則f(z)在D內(nèi)為常數(shù).根據(jù)定理2，只需證明f(z)在一包含于D的多圓柱Dn(a,r)為常數(shù)即可.設(shè)b=(b1,b2,…,bn)為 Dn(a,r)的任一點(diǎn)，據(jù)假設(shè)，|f(a1,an-1,…,an)|≥|f(a1,an-1,…,an)|，當(dāng) |zn-an|＜rn.應(yīng)用單復(fù)變函數(shù)的最大模原理知，f(a1,an-1,…,an)為常數(shù)，故有 f(a1,an-1,…,an)=f(a1,…,an-1,bn).再應(yīng)用最大模原理于單復(fù)變數(shù)函數(shù)f(a1,an-2,…,zn-1,bn)，可知f(a1,…,an-2,bn-1,bn)=f(a1,…,an-2,an-1,bn).如此繼續(xù)，最后得出 f(a1,…,an-1,an)=f(b1,…,bn-1,bn),故 f(z)在 Dn(a,r)為常數(shù).

同樣的，我們可以由這個(gè)最大模原理推出對應(yīng)的最小模原理.

定理4（最小模原理） 若區(qū)域D?Cn內(nèi)不恒為常數(shù)的全純函數(shù)f(z)，在D內(nèi)的點(diǎn) z0有f(z0)≠0，則|f(z0)|不可能是|f(z0)|在D內(nèi)的最小值.

證明（反證法）假設(shè)|f(z0)|是|f(z)|在D內(nèi)的最小值.因?yàn)閒(z0)≠0，所以f(z)在D?Cn為恒不為零.則是在內(nèi)的最大值，且在D內(nèi)全純.則由最大模原理在D內(nèi)恒為常數(shù).所以假設(shè)不成立，所以|f(z0)|不可能是|f(z)|在D內(nèi)的最小值.

則有下面的推論

推論5設(shè)（1）函數(shù)f(z)在有界區(qū)域D?Cn內(nèi)全純，在有界閉區(qū)域=D+?D上連續(xù)；

（2）f(z)≠0(z∈D);

則除 f(z)為常數(shù)外，|f(z)|＞m(z∈D).

定義 2[2]設(shè) Dα為 zα(α=1,2,…,n)平面的有界區(qū)域，當(dāng) z1,z2,…,zn彼此無關(guān)地分別在D1,D2,…,Dn上變動(dòng)時(shí)，復(fù)數(shù)組(z1,z2,…,zn)的全體所構(gòu)成的Cn中的區(qū)域，稱為廣義多圓柱區(qū)域，以(D1,D2,…,Dn)表示之，即(D1,D2,…,Dn)=D1×D2×…×Dn.

這時(shí)D=D1×D2×…×Dn的整個(gè)邊界?D由以下的點(diǎn)組成

zα∈?Dα,(z1, …,zα-1,zα+1, …,zn)∈1×…α-1×α+1…×n，α=1,2,…,n.

而 n 維可定向的曲面 τ=?D1×?D2×…×?Dn稱為廣義多圓柱域的特征流形，它是D域的邊界上的一部分.

特別的，有下面的結(jié)論

定理5[2]若函數(shù)f(z)在廣義多圓柱域D=D1×D2×…×Dn上全純，且在仍然連續(xù)，則|f(z)|在D的特征流形上達(dá)到其最大值.

類似的，我們可以得到下面結(jié)論

定理6若（1）在廣義多圓柱域D=D1×D2×…×Dn上不恒為常數(shù)的全純函數(shù)f(z)，且在仍然連續(xù)；

（2）f(z)≠0(z∈D)；

則|f(z)在D的特征流形上達(dá)到其最小值.

3　應(yīng)用

3.1　證明調(diào)和函數(shù)的極值原理

定理7[3]一個(gè)在區(qū)域D內(nèi)不為常數(shù)的調(diào)和函數(shù)，不可能在這區(qū)域的內(nèi)點(diǎn)達(dá)到最大值或最小值.

證明假定調(diào)和函數(shù)u(z)不為常數(shù)，且在區(qū)域D的內(nèi)點(diǎn)z0處達(dá)到最大值.設(shè)圓盤 |z-z0|＜ρ(0＜ρ＜+∞)在區(qū)域 D 內(nèi).做出在|z-z0|＜ρ內(nèi)解析的函數(shù) f(z)，使其實(shí)部為 u(z).顯然，f(z)不為常數(shù).于是在|z-z0|＜ρ解析的函數(shù)ef(z)（不為常數(shù)）的模在z0達(dá)到最大值eu(z0),與最大模原理相矛盾.因此u(z)在z0不可能達(dá)到最大值.考慮函數(shù)e-f(z)，可以證明u(z)在區(qū)域D內(nèi)一點(diǎn)也不可能達(dá)到最小值.

注：類似的，我們可得到次調(diào)和函數(shù)也是滿足極大值原理[2].但由于多于一個(gè)復(fù)變量時(shí)調(diào)和函數(shù)和全純函數(shù)的實(shí)部不是等價(jià)的，因此我們就不涉及這方面的問題.

而關(guān)于單復(fù)變量的最值原理的應(yīng)用還有很多方面[4-8]，比如利用它證明代數(shù)學(xué)基本定理、證明函數(shù)有零點(diǎn)存在、證明函數(shù)為常數(shù)、證明函數(shù)為分式線性函數(shù)等等.已經(jīng)有很多的文章做了非常詳細(xì)的證明，在此就不再詳述.

下面我們看一個(gè)多復(fù)變量最值的應(yīng)用.

3.2　證明Cn中全純域的圓盤性質(zhì)

復(fù)數(shù)平面C1上任一開集都是全純域，但在Cn中并非如此的.特別的，單位圓盤在復(fù)數(shù)平面上是很有代表性的區(qū)域，它的重要性質(zhì)就是它是一個(gè)全純域.下面我們來看一下Cn中的全純域的圓盤性質(zhì).

定義3[2]我們稱Cn中的域D具有圓盤性質(zhì)，如果對C1中的圓盤Δ，存在一簇映射

定理8[2]若D?Cn為全純域，則D具有圓盤性質(zhì).

證明設(shè) {φv}為圓盤性質(zhì)定義中的一簇映射，取K=設(shè)D為全純域，因而全純凸.則對任何f∈A(D),z∈φv(Δ)，由極大值原理可知

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