喬　興

（大慶師范學(xué)院　教師教育學(xué)院，黑龍江　大慶　163712）

1　引言

文獻(xiàn)[1][2]中用補(bǔ)充變量方法建立了此可修系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，并用Laplace變換分析了系統(tǒng)的可用度，得到了一系列有意義的結(jié)果.但上述結(jié)論的取得依賴于如下兩個(gè)條件：條件（1）該系統(tǒng)存在唯一非負(fù)時(shí)間依賴弱解.條件（2）該時(shí)間依賴解是漸近穩(wěn)定的[3].當(dāng)故障后的修復(fù)時(shí)間服從指數(shù)分布時(shí)，上面兩個(gè)條件成立.當(dāng)故障后的修復(fù)時(shí)間服從任意分布時(shí)，上面提到的兩個(gè)條件是否成立仍有待于研究.作者的意圖是提出兩個(gè)條件成立的結(jié)論，為此類可修系統(tǒng)的可靠性研究提供嚴(yán)格的理論基礎(chǔ).在文獻(xiàn)[4]中柳等人給出了系統(tǒng)唯一非負(fù)解是0本征值所對(duì)應(yīng)的本征向量的結(jié)論，即驗(yàn)證了上面條件（1）成立.在本文中我們通過研究算子的譜點(diǎn)分布，檢驗(yàn)了算子的譜點(diǎn)除虛軸上0點(diǎn)外均位于左半復(fù)平面，得到了該系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性分析，即證明了上面提到的條件（2）.

2　模型描述

文獻(xiàn)[5]中作者已經(jīng)給出了系統(tǒng)的解唯一存在的結(jié)論.在本文中我們將給出該可修復(fù)系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性分析過程.有了上面的準(zhǔn)備，可得描述此模型的積分—微分方程組[6]：

其中i=0時(shí)刻代表1個(gè)部件工作、2個(gè)部件熱儲(chǔ)備的狀態(tài).i=1時(shí)刻代表1個(gè)部件工作、1個(gè)部件發(fā)生故障、1個(gè)部件熱儲(chǔ)備狀態(tài).i=2時(shí)刻代表1個(gè)部件工作、2個(gè)部件發(fā)生故障的狀態(tài).i=3時(shí)刻代表3個(gè)部件均發(fā)生故障的狀態(tài).i=4時(shí)刻代表該系統(tǒng)處于常規(guī)故障的狀態(tài).i=5時(shí)刻代表該系統(tǒng)處于人為故障的狀態(tài).λ代表運(yùn)行系統(tǒng)由自身原因引起的損壞率.λci代表在狀態(tài)i時(shí)刻系統(tǒng)的常規(guī)故障率(i=0,1,2).λhi代表在狀態(tài)i時(shí)刻系統(tǒng)的人為故障率(i=0,1,2).α代表熱儲(chǔ)備部件的損壞率.μ代表運(yùn)行部件的常數(shù)修復(fù)率.Pi(t)代表t時(shí)刻該系統(tǒng)處于狀態(tài)i的概率(i=0,1,2).Pi(x,t)代表t時(shí)刻該系統(tǒng)處于狀態(tài)i且已修時(shí)間為 x 的概率，(x,t)∈[0,∞)×[0,∞).μi(x)代表時(shí)刻系統(tǒng)處于狀態(tài)i時(shí)的修復(fù)率，且滿足

下面用巴拿赫空間中的抽象柯西問題來刻畫上面積分——微分方程組，為方便，記：

顯然(X,||·||)為巴拿赫空間.取算子A的定義域如下：

D(A)= ｛ P∈X|Pi(x)(i=3,4,5)是絕對(duì)連續(xù)的函數(shù)，

則系統(tǒng)方程（1）—（6）可描述為巴拿赫空間中的一個(gè)抽象柯西問題（ACP）：

3　解的漸近性

為了在后面的論證過程中方便，我們先給出兩個(gè)非常有用的引理.

引理1設(shè)部件壽命是非負(fù)的連續(xù)型隨機(jī)變量x，其分布函數(shù)是Gi(x)，密度函數(shù)是gi(x)且Gi(0)=0，則有：則當(dāng){γ∈C|Reγ＞0 或 γ=ia,a∈R,a≠0}時(shí)，有 |g|＜1.

定理10是算子A+E的簡單本征值.證明考慮如下方程組得：

引理2記g=

將（14）代入（7）并聯(lián)立（8）—（9）可得：

(-a0+λc0+λh0)P0+(μ+λc1+λh1)P1+(λ+λc2+λh2)P2=0，

(λ+2α)P0-a1P1+μP2=0，

(λ+α)P1-a2P2=0，

容易驗(yàn)證上述方程的系數(shù)行列式的值為0，并且當(dāng) P0＞0 時(shí)，P1,P2均大于零.同時(shí)由 P0＞0 和 a0,a1,a2的表達(dá)式知Pi(x),i=3,4,5均是非負(fù)的，因此向量P*=(P0,P1,P2,P3(x),P4(x),P5(x))是算子A+E的0本征值對(duì)應(yīng)

定理 2{γ∈C,Reγ＞0 或 γ=ia,a∈R,a≠0}?ρ(A+E).

證明對(duì)任意給定的 γ∈C，Reγ＞0或 γ=ia，a∈R，a≠0,=(y0,y1,y2,y3(x),y4(x),y5(x))∈X.解方程(γI-A-E)P=y→得

解（18）得

因?yàn)?yi(x)∈L1[0,∞)i=3,4,5，結(jié)合引理 2有：

故 Pi(x)∈L1[0,∞),i=3,4,5.將其代入（15）并聯(lián)立（16）—（17）有：

其中：gi=

當(dāng) Reγ＞0 或者 γ=ia,a∈R,a≠0 時(shí)，有 |gi|＜1，故可得上面方程組的系數(shù)矩陣是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣.根據(jù)文獻(xiàn)[7]可知，系數(shù)行列不等于零.從而當(dāng)→=(y0,y1,y2,y3(x),y4(x),y5(x))≠0 有：P=(P0,P1,P2,P3(x),P4(x),P5(x))≠0即上述方程存在唯一解，故R(γ-A-E)=X，又因?yàn)?I-A-E)是閉算子，由文獻(xiàn)[8]可知(γ-A-E)-1存在且有界，即{γ∈C,Reγ＞0 或 γ=ia,a∈R,a≠0}屬于算子A+E的預(yù)解集.

上述結(jié)論對(duì)于其它各科教師當(dāng)然也是成立的．更一般地說，這也正是醫(yī)生、律師等具有較強(qiáng)實(shí)踐性質(zhì)的專業(yè)人員何以需要較長見習(xí)期的主要原因，即是工作的復(fù)雜性與不確定性，從而就不可能被完全納入任一固定的理論框架．這也就是指，即使相關(guān)人士已較好地掌握了相關(guān)的專業(yè)知識(shí)，仍然不可能通過這些知識(shí)的簡單應(yīng)用就能有效地解決所面臨的各種問題，而必須主要依靠自身的創(chuàng)造性勞動(dòng)，包括相關(guān)知識(shí)的創(chuàng)造性應(yīng)用．

推論1ACP存在非負(fù)的穩(wěn)定解.

在定理2中，我們證明了算子A+E的所有譜點(diǎn)除虛軸上0點(diǎn)外均位于左半復(fù)平面.同時(shí)P*是算子A+E的0本征值的0本征向量，故P*是非負(fù)的，所以P*是ACP的非負(fù)的穩(wěn)定解.

定理3令P*是算子A+E的0本征值的本征向量且滿足||P*||=1，取Q=(1,1,1,1,1,1)，則ACP的時(shí)間非負(fù)依賴解P(x,t)，當(dāng)時(shí)間t趨于無窮時(shí)趨于系統(tǒng)的非負(fù)穩(wěn)定解P*：

其中P0是方程初始值.

由[9]可知，定理3的結(jié)論是強(qiáng)連續(xù)半群穩(wěn)定性的一個(gè)結(jié)果.故此，我們就驗(yàn)證了A+E的0本征值的本征向量P*是ACP的唯一非負(fù)的穩(wěn)定解且滿足

參考文獻(xiàn)：

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