丁　彪，鄭傳超，鄒曉龍，陳團(tuán)結(jié)，鄭南翔

(1.中交第一公路勘察設(shè)計(jì)研究院有限公司，陜西 西安 710065;2.長安大學(xué) 教育部特殊地區(qū)公路工程重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西 西安 710064)

0　引　言

針對(duì)加載順序和加載幅值對(duì)材料性能影響的研究主要集中在金屬領(lǐng)域，如低-高荷載作用下材料表現(xiàn)為“鍛煉效應(yīng)”，高-低荷載條件下表現(xiàn)為“過載效應(yīng)”，相應(yīng)的研究成果在航天航空以及機(jī)械制造領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用[1-3]。而對(duì)于黏彈性材料，由于其特有的屬性，以致于其相關(guān)力學(xué)行為有別于金屬材料，國內(nèi)外少數(shù)學(xué)者也作了相應(yīng)的研究，如羅文波通過試驗(yàn)揭示了應(yīng)變加載歷史對(duì)聚乙烯和聚丙烯的應(yīng)力松弛行為的影響[4]。Heymans對(duì)線黏彈性范圍內(nèi)的材料卸載初期的應(yīng)力隨時(shí)間反而增大的現(xiàn)象進(jìn)行了研究，并通過分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)黏彈性模型進(jìn)行解釋[5]。朱正佑等借助于黏彈性材料的三維分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)型本構(gòu)關(guān)系建立了黏彈性Timoshenko梁的靜、動(dòng)力學(xué)數(shù)學(xué)模型，同時(shí)分析了、階躍荷載作用下梁的準(zhǔn)靜態(tài)力學(xué)行為[6]?？傊?，黏彈性材料在加卸載過程中所表現(xiàn)的力學(xué)行為引起越來越多學(xué)者的興趣。瀝青混合料作為黏彈性材料，其在變幅荷載作用下的反應(yīng)如何，值得我們?nèi)ミM(jìn)一步探討，筆者從傳統(tǒng)的Burgers模型出發(fā)求解出瀝青混合料在變幅交變應(yīng)變作用下的解析解，分析無損狀態(tài)下材料的應(yīng)力變化規(guī)律，同時(shí)，借助于四點(diǎn)彎曲小梁疲勞試驗(yàn)，研究加卸載過程對(duì)材料應(yīng)力的影響，并且分析了高低順序作用時(shí)對(duì)應(yīng)的低應(yīng)變控制的初始階段應(yīng)力出現(xiàn)反彈的原因。

1　理論基礎(chǔ)

本研究采用Burgers模型來描述瀝青混合料的材料變化屬性，由于Burgers模型在求解應(yīng)力過程中所用的應(yīng)變?yōu)檫B續(xù)函數(shù)，而本試驗(yàn)中應(yīng)變?cè)谇昂髢呻A段是變化的，因此，需要借助于單位階躍函數(shù)將分段的應(yīng)變寫成連續(xù)應(yīng)變的形式再做相應(yīng)的變換，所用的相關(guān)理論和函數(shù)如下。

1.1　Bursers模型基本方程

Burgers模型為一個(gè)麥克斯威爾模型和開爾文模型的串聯(lián)，如圖1：

圖1　Burgers模型Fig. 1　Burgers model

假定麥克斯威爾模型和開爾文模型的伸長分別為ε1、ε2，兩者之和即為伯格斯模型的伸長ε，假設(shè)伯格斯模型的總拉應(yīng)力是σ，則

(1)

聯(lián)立消去ε1、ε2，即得到伯格斯模型的流變方程為

(2)

1.2　heaviside函數(shù)

令y=heavisde(x)，則當(dāng)x<0時(shí)，y的值為0；當(dāng)x>0時(shí)，y的值為1；當(dāng)x=0時(shí)，y=0.5[7]。

1.3　分段函數(shù)的單位階躍函數(shù)表達(dá)式

假設(shè)分段函數(shù)為[8]

(3)

式中：f1(t)和f2(t)分別為[0，t0)和[t0，+∞)上的連續(xù)函數(shù)，則有

f(t)=f1(t)[u(t)-u(t-t0)] +f2(t)·u(t-t0)

(4)

2　無損變幅交變應(yīng)變條件下瀝青混合料的應(yīng)力求解

變幅交變應(yīng)變作用示意圖如圖2。

圖2　變幅交變應(yīng)變作用示意Fig. 2　Schematic diagram of variable amplitude alternating strain

(5)

依據(jù)式(3)和式(4)得

u(t)+(B-A)u(t-t1)+(A-B)cosωt×u(t-t1)]

(6)

將(6)式進(jìn)行拉氏變換得

(7)

則

(8)

則

(9)

(10)

對(duì)(10)進(jìn)行拉氏反變換得

q1cost1ω+q1p1ωsint1ω+q2p2ω3sint1ω-q2ωsint1ω)

sin[ω(t-t1)] +heavside(t-t1)ω(A-B)

(q2p2ω2cost1ω-q2ωcost1ω+q1p1ωcost1ω+q1p2ω2sint1ω-q1sint1ω-q2p1ω2sint1ω)cos[ω(t-t1)]+Aω(q2p1ω2-q1p2ω2+q1)sinωt-Aω2(q1p1+

(11)

為驗(yàn)證式(11)的合理性，取相應(yīng)的參數(shù)代入：

假設(shè)取t1=1 000 s，t=2 000 s，取參數(shù)E1=7 000 MPa，E2=20 000 MPa，k1=10 000 000(MPa·s)，k2=140 000(MPa·s)，則：p1=1 936 s，p2=10 000 s2，q1=10 000 000(MPa·s)，q2=70 000 000(MPa·s2)。

計(jì)算過程中頻率為10 Hz，周期為0.1 s，圖3和圖4分別為不同加載順序條件下的應(yīng)力變化理論解，當(dāng)t1=1 000 s時(shí)，應(yīng)變發(fā)生階躍，其不同加載順序和加載幅值下的應(yīng)力變化值見表1。

圖3　高低順序加載下瀝青混合料的應(yīng)力理論解Fig. 3　Stress theoretical solution of asphalt mixture under high-low loading sequence

圖4　低高順序加載下瀝青混合料的應(yīng)力理論解Fig. 4　Stress theoretical solution of asphalt mixture under low-high loading sequence

表1　應(yīng)變變幅時(shí)其對(duì)應(yīng)的應(yīng)力變化理論解Table 1　Theoretical solution of stress change corresponding to the change of strain amplitude

由表1中的計(jì)算結(jié)果可以看出，在無損狀態(tài)條件下，應(yīng)變變幅時(shí)，其應(yīng)力變化絕對(duì)值近似為Δσ=E1(B-A)。

3　變幅交變應(yīng)變控制條件下應(yīng)力變化試驗(yàn)研究

3.1　試驗(yàn)材料

試驗(yàn)過程中采用SMA13級(jí)配瀝青混凝土，SBS改性瀝青的技術(shù)指標(biāo)見表2[9]。

表2　SBS改性瀝青技術(shù)指標(biāo)Table 2　Technical indicators of SBS modified asphalt

SMA13級(jí)配采用規(guī)范規(guī)定的級(jí)配中值。馬歇爾試驗(yàn)結(jié)果見表3[9]，結(jié)合謝倫堡析漏試驗(yàn)和肯塔堡飛散試驗(yàn)、車轍試驗(yàn)等驗(yàn)證其路用性能，得出SMA13最佳油石比為6.0%。用此油石比拌合混合料SMA13馬歇爾試驗(yàn)性能參數(shù)。

表3　馬歇爾試驗(yàn)結(jié)果Table 3　Marshall test results

3.2　試驗(yàn)儀器及方案介紹

試驗(yàn)采用UTM-100材料試驗(yàn)系統(tǒng)。采用應(yīng)變控制模式，加載波形為半正矢波。試驗(yàn)中所采用的小梁的尺寸為380 mm長×63.5 mm寬×50 mm高。

試驗(yàn)在15 ℃溫度下進(jìn)行，加載頻率為10 Hz，為保證試件表面的溫度達(dá)到試驗(yàn)溫度，試驗(yàn)之前將試件放置在環(huán)境箱中保溫12 h。

試驗(yàn)分兩級(jí)加載，每級(jí)荷載10 000次，試驗(yàn)過程中分別記錄兩級(jí)荷載加載過程中的初始應(yīng)力和終止應(yīng)力。

3.3　變幅應(yīng)變控制條件下瀝青混合料的應(yīng)力變化

3.3.1試驗(yàn)結(jié)果

結(jié)果顯示，低高應(yīng)變順序作用下，應(yīng)力在兩階段都隨荷載作用次數(shù)的增加而減小，這與理論解所得的變化規(guī)律相似；高低應(yīng)變順序作用下，則出現(xiàn)兩種情況，在400 με作用下應(yīng)力隨著時(shí)間的增大而減小，而在200 με條件下，應(yīng)力隨著荷載作用次數(shù)的增加先增大后減小，分別見圖5～圖6。

圖5　15 ℃(600+400)με中400 με對(duì)應(yīng)的應(yīng)力變化Fig. 5　Stress vriation corresponding to 400 με under 15 ℃(600+400)με

圖6　15 ℃(600+200)με中200 με對(duì)應(yīng)的應(yīng)力變化Fig. 6　Stress variation corresponding to 200 με under 15 ℃(600+200) με

3.3.2應(yīng)變階躍時(shí)瀝青混合料的應(yīng)力變化

表4　15 ℃變幅試驗(yàn)條件下應(yīng)力變化Table 4　Stress change under variable amplitude test at 15 ℃

4　理論解和試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比分析

為了便于說明問題，將卸載過程中低應(yīng)變控制階段的最大應(yīng)力取名為“平衡應(yīng)力”，用σ0表示，高應(yīng)變控制末尾階段應(yīng)力為σ1，低應(yīng)變控制初始應(yīng)力為σ2，A和B分別表示第1級(jí)和第2級(jí)應(yīng)變，則σ2=σ1+E1(1-D)(B-A)，如圖7[9]：

當(dāng)D值越大時(shí)，應(yīng)力下降的幅度就越小。

圖7　考慮損傷的高-低荷載條件下應(yīng)力變化示意Fig. 7　Schematic diagram of stress change under high-low load conditions with the consideration of damage

5　結(jié)　論

1) 基于Burgers模型，假設(shè)荷載作用下其內(nèi)部的黏彈性參數(shù)沒有變化，求解出變幅交變應(yīng)變控制條件下瀝青混合料的應(yīng)力解析解，為研究隨機(jī)荷載譜作用下路面應(yīng)力狀態(tài)提供理論基礎(chǔ)。

2) 借助于疲勞試驗(yàn)，研究變幅交變條件下瀝青混合料的應(yīng)力變化情況，

試驗(yàn)結(jié)果顯示：先低后高的順序加載過程中，應(yīng)力在兩階段都隨著加載次數(shù)的增加而減??；先高后低的加載順序加載過程中，當(dāng)?shù)蛻?yīng)變階段與高應(yīng)變比較接近時(shí)，應(yīng)力在兩階段都隨著加載次數(shù)的增加而減小，當(dāng)?shù)蛻?yīng)變與高應(yīng)變相差幅度較大時(shí)，應(yīng)力在低應(yīng)變初始階段先增加后減小。

3) 通過分析高低順序作用下理論解的變化規(guī)律可以發(fā)現(xiàn)，低應(yīng)變控制的初始階段會(huì)出現(xiàn)應(yīng)力反彈的現(xiàn)象，并且存在一個(gè)最大值“平衡應(yīng)力”；當(dāng)試驗(yàn)中高低應(yīng)變比較接近時(shí)，初始應(yīng)力在平衡應(yīng)力上方，則應(yīng)力隨著荷載作用次數(shù)的增加而減小，當(dāng)?shù)蛻?yīng)變與高應(yīng)變相差較大時(shí)，則初始應(yīng)力在平衡應(yīng)力下方，應(yīng)力表現(xiàn)為先增加后減小。

參考文獻(xiàn)(References)：

[1]李亞智，肖健，尹建軍，等.有機(jī)玻璃疲勞裂紋超載遲滯效應(yīng)的試驗(yàn)研究[J].西北工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2004，22(6)：705-709.

LI Yazhi，XIAO Jian，YIN Jianjun，et al.Experimental study of fatigue crack overload retardation in PMMA[J].JournalofNorthwesternPolytechnicUniversity，2004，22(6)：705-709.

[2]BUCKNALL C B，DUMPLETON P.Acceleration of FCP in toughened PMMA following a step increase in load amplitude[J].InternationalJournalofFatigue，1987，9(2)：103-108.

[3]蔣薈，楊曉華.預(yù)腐蝕后拉伸超載對(duì)LC4CS鋁合金疲勞性能的影響[J].中國工程科學(xué)，2006，8(2)：44-46.

JIANG Hui，YANG Xiaohua.Influence of tensile overload on fatigue life of LC4CS Al-alloy after corrosion[J].EngineeringScience，2006，8(2)：44-46.

[4]羅文波，楊挺青.固態(tài)高聚物的應(yīng)力松弛行為[J].高分子材料科學(xué)與工程，2002，18(2)：97-99.

LUO Wenbo，YANG Tingqing.Stress relaxation behavior of solid polymers[J].PolymerMaterialsScienceandEngineering，2002，18(2)：97-99.

[5]HEYMANS N.Fractional calculus description of non-linear viscoelastic behavior of polymers[J].NonlinearDynamics，2004，38：221-231.

[6]朱正佑，李根國，程昌鈞.具有分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)本構(gòu)關(guān)系的黏彈性Timoshenko梁的靜動(dòng)力學(xué)行為分析[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)，2002，23(1)：1-10.

ZHU Zhengyou，LI Genguo，CHENG Changjun.Quasi-static and dynamical analysis for viscoelastic Timshenko beam with fractional derivative constitutive relation[J].AppliedMathematicsandMechanics，2002，23(1)：1-10.

[7]李書波，張渡淮.Heaviside函數(shù)的非標(biāo)準(zhǔn)分析表示[J].哈爾濱科學(xué)技術(shù)大學(xué)學(xué)報(bào)，1987(2)：120-121.

LI Shubo，ZHANG Duhuai.The representation of Heaviside function in nonstandard analysis[J].JournalofHarbinUniversityofScienceandTechnology，1987(2)：120-121.

[8]祁劍衢.利用單位階躍函數(shù)求拉氏變換[J].長春工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2008，29(1)：118-120.

QI Jianqu.A method of to get Laplace transform with unit step function[J].JournalofChangchunUniversityofTechnology(NaturalScienceEdition)，2008，29(1)：118-120.

[9]丁彪.考慮加載歷史的瀝青混合料疲勞損傷性能研究[D].西安：長安大學(xué)，2015.

DING Biao.StudyontheFatigueDamagePerformanceofAsphaltMixturewithConsideringLoadingHistory[D].Xi’an：Chang’an University，2015.